传热学第四版课后题答案第四章.docx
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传热学第四版课后题答案第四章
第四章
复习题
1、试简要说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想与步骤。
2、试说明用热平衡法建立节点温度离散方程的基本思想。
3、推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散方程的过程十分相似，为什么前者得到的是精确描述，而后者解出的确实近似解。
4、第三类边界条件边界节点的离散那方程，也可用将第三类边界条件表达式中的一阶导数用差分公式表示来建立。
试比较这样建立起来的离散方程与用热平衡建立起来的离散方程的异同与优劣。
5．对绝热边界条件的数值处理本章采用了哪些方法？
试分析比较之．
6．什么是非稳态导热问题的显示格式？
什么是显示格式计算中的稳定性问题？
7．用高斯－塞德尔迭代法求解代数方程时是否一定可以得到收敛德解？
不能得出收敛的解时是否因为初场的假设不合适而造成？
t
3tni
5tni
1tni
2
8．有人对一阶导数
xn,i
2
x2
你能否判断这一表达式是否正确，为什么？
一般性数值计算
4-1、采用计算机进行数值计算不仅是求解偏微分方程的有力工具，而且对一些复杂的经验公式及用无穷级数表示的分析解，也常用计算机来获得数值结果。
试用数值方法对
Bi=0.1,1,10的三种情况计算下列特征方程的根
n（n
1,2
6）:
tann
Bi,n
1,2,3
n
Fo
a
0.2
2
并用计算机查明，当
时用式（3-19）表示的级数的第一项代替整个级数（计
算中用前六项之和来替代）可能引起
的误差。
解：
ntann
Bi，不同Bi下前六个根如下表所示：
Bi
μ1
μ2
μ3
μ4
μ5
μ6
0.1
0.3111
3.1731
6.2991
9.4354
12.5743
15.7143
1.0
0.8603
3.4256
6.4373
9.5293
12.6453
15.7713
10
1.4289
4.3058
7.2281
10.2003
13.2142
16.2594
Fo=0.2及0.24
时计算结果的对比列于下表：
Fo=0.2
x
Bi=0.1
Bi=1
Bi=10
第一项的值
0.94879
0.62945
0.11866
前六和的值
0.95142
0.64339
0.12248
比值
0.99724
0.97833
0.96881
Fo=0.2
x
0
Bi=0.1
Bi=1
Bi=10
第一项的值
0.99662
0.96514
0.83889
前六项和的值
0.994
0.95064
0.82925
比值
1.002
1.01525
1.01163
Fo=0.24
x
Bi=0.1
Bi=1
Bi=10
第一项的值
0.94513
0.61108
0.10935
前六项的值
0.94688
0.6198
0.11117
比值
0.99814
0.98694
0.98364
Fo=0.24
x0
Bi=0.1
Bi=1
Bi=10
第一项的值
0.99277
0.93698
0.77311
前六项和的值
0.99101
0.92791
0.76851
比值
1.00177
1.00978
1.00598
4-2、试用数值计算证实，对方程组
x12x22x31
x1x2x33
2x12x2x35
用高斯-赛德尔迭代法求解，其结果是发散的，并分析其原因。
解：
将上式写成下列迭代形式
x1
1/25
2x2
x3
x2
1/21
2x3
x1
x3
3x1
x2
假设x2,x3初值为0，迭代结果如下：
迭代次数
0
1
2
3
4
x1
0
2.5
2.625
2.09375
2.6328125
x2
0
-0.75
0.4375-
1.171875
1.26171825
x3
0
1.25
-0.0625
2.078125
-0.89453125
显然，方程迭代过程发散
因为迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总大于或等于式中其他变量的系数绝对值代数和。
4-3、试对附图所示的常物性，无内热源的二维稳态导热问题用高斯-赛德尔迭代法计算
t1,t2,t3,t4之值。
解：
温度关系式为：
t1
1/4t2
t3
40
30
t2
1/4t1
t4
20
30
t3
1/4t1
t4
30
15
t4
1/4t2
t3
10
5
开始时假设取t1
0
t20
20℃；t30
t40
15℃
得迭代值汇总于表
迭代次数
0
20
20
15
15
1
26.25
22.8125
21.5625
14.84375
2
28.59375
23.359375
22.109375
15.1171875
3
28.8671875
23.49609375
22.24607565
15.18554258
4
28.93554258
23.53027129
22.28027129
15.20263565
5
28.95263565
23.53881782
22.28881782
15.20690891
6
28.9569089
23.54095446
22.290955445
15..20797723
其中第五次与第六次相对偏差已小于
104迭代终止。
4-4、试对附图所示的等截面直肋的稳态导热问题用数值方
法求解节点2
，3
的温度。
图中
t0
850C,tf
250C,h
30W/（m2.K）.肋高H=4cm,纵
剖面面积AL
4cm2,导热系数
20W/（m.K）。
解：
对于
2点可以列出：
t1
t2
t3
t4
2h
x（t1
t2）
0;
节点2：
x
x
t2
t3
h（tf
t1）2h
x
t3）
0
x
（tf
节点3：
2
2
。
由此得：
t1
t2
t3
t2
2h
x2
（t1
t2）
0
t2
t3
h
x2
h
t3）0
（tf
t3）
2（tf
，
，
t2
t1
t3
2hxH2
tf
2
2hxH2
t3
t2
htf
hx2
tf
1
hhx2
2
2
h
x2
30
0.022
0.06
t2
t1
t2
0.12tf
20
0.01
2
0.12
，
，于是有：
t3
t2
30/20tf
0.03tf
t2
1.5tf
0.03tf
t2
1.53tf
1
30/20
0.03
2.53
＝
2.53，代入得：
2.12t2
t1
t2
1.53tf
0.12tf
5.3636t2
2.53t1t2
1.53tf
0.3036tf，
2.53
，
4.3636t2
2.53t1
1.8336tf，t2
2.53tf
1.8336tf
4.3636
，
t2
2.53
85
1.8336
25
215.05
45.84
59.8C
4.3636
4.3636
59.79
，
t3
59.8
1.53
25
38.8C
2.53
38.75
。
离散方程的建立
4-5、试将直角坐标中的常物性无内热源的二维稳态导热微分方程化为显式差分格式，并指
出其稳定性条件（xy）。
解：
常物性无内热源二维非稳态方程微分方程为
t
2t
2t
a
2
y2
x
扩散项取中心差分，非稳态项取向前差分：
tni1
tni
a
tni
1
2tni
tni
1
tni
1
2tni
tni
1
x2
y2
所以有
tni1
a
1
1
tni
1
tni
1
12a
1
1
tni
x2
y2
x2
y2
稳定性条件
Fox
Foy
1/2
4-6、极坐标中常物性无内热源的非稳态导热微分方程
为
t
2t
1
t
1
2t
a
2
r
r
r2
2
r
试利用本题附图中的符号，列出节点（i,j）的差分方
程式。
解：
将控制方程中的各阶导数用相应的差分表示式代
替，可得：
t1，jki
tk
t，j
a
tkt，j12tkt，j
tkj11
tkt，j1
tk1，j1
1
ti1，jk
2tki，j
rki1，j
。
r2
rj
2
r
r2
2
j
也可采用热平衡法。
对于图中打阴影线的控制容积写出热平衡式得：
rj
r
tk1
i，j
tki，j
tki1，jtk
i，j
r
tki1，j
tki，j
r
c
rj
rj
tki，j1
tki，j
rj
r
tki，j1
tki,j
rj
r
r
2
r
2
对等式两边同除以
rj
r并简化，可以得出与上式完全一样相同的结果。
4-7、一金属短圆柱在炉内受热厚被竖直地移植到空气中冷
却，底面可以认为是绝热的。
为用数值法确定冷却过程中柱
体温度的变化，取中心角为1rad的区域来研究（如本题附图
所示）。
已知柱体表面发射率，自然对流表面传热系数，环
境温度，金属的热扩散率，试列出图中节点（
1，1），（M,1）
（M,n）及（M,N）的离散方程式。
在
r及z方向上网格是各自
均分的。
解：
应用热平衡法来建立四个节点点离散方程。
节点（1，1）：
t
k
k
1
r
2
k
t
k
r
z
r2
zt
k1
t
k
1，2
t1，1
t2，1
1，1
1，1
1，1
z
2
2
r
2
2
c
2
8
节点（m，1）：
k
k
z
z
t
k
t
k
z
z
t
k
t
k
zt
tm1，1
t
m,1
m11
m1
m2
m1
rm
，
，
rm
，
，
rm
r
crm
r
r
2
r
2
2
z
2
2
kk
m，1tm，1;
节点（m，n）：
tk
tk
r
z
tk
tk
r
3r
r
rm
z
r
3r
r
htmtm，n
0T40T4m，n
r
3r
r
z
tk1
tk
m1，n
m，nrm
2
2
m，n1
m，n
m1
m
2
2
m1
m
2
c
m1
m
2
2
m,n
m，n。
r
z
4
4
4
r
4-8、一个二维物体的竖直表面收液体自然对流冷却，为
考虑局部表面传热系数的影响，表面传热系数采用
hc（tt1）1.25来表示。
试列出附图所示的稳态无内热源物体边界节点（M,n）的温度方程，并对如何求解这一方程提出你的看法。
设网格均分。
解：
利用热平衡法：
hctM，n
tf
tM，n
tf
0.25
，
将h写为h
c
tM，ntf
tM，ntf
0.25
，其中tM，n为上
一次迭代值，则方程即可线性化。
4-9、在附图所示的有内热源的二维导热区域中，一个界
面绝热，一个界面等温（包括节点4），其余两个界面与
温度为tf的流体对流换热，h均匀，内热源强度为。
试列出节点1，2，5，6，9，10的离散方程式。
解：
节点1：
t5t1
x
t2
t1
y
1
xy
1
t1
tf
0
y
2
x
2
4
yh
2
；
t1
t2
y
t3
t2
y
t6
t2
x
1xy
0
节点2：
x
2
x
2
y
2
；
节点5：
t1
t5
y
t9
t5
x
t6
t5
y
1xy
yht5
tf
0
y
2
y
2
x
2
；
t2
t6
x
t7
t6
y
t10
t5
x
t5
t6
y
x
y
0
节点6：
y
x
y
x
；
t5
t9
x
t10
t9
y
1
x
y
x
y
h
t9tf
0
节点9：
y
2
x
2
4
2
2
；
t9
t10
y
t11t10
y
t6
t10
x
1xy
xhh10
tf0
节点10：
x
2
x
2
y
2
。
当x
y以上诸式可简化为：
节点1：
t5
t2
hytf
22
hyt1
1y2
0
2
；
节点2：
2t6
t1
t3
4t2
y2
0
；
2t6
t1
t9
2hytf
22
hyt5
y2
0
节点5：
t7
t10
t5t7
4t6
y2
0
节点6：
；
t5
t10
2hytf
21
hyt9
1y2
0
节点9：
2
；
2t6
t9
t11
2
hy
tf
22
hy
t10
y2
0
节点10：
。
一维稳态导热计算
4-10、一等截面直肋，高
H,厚
，肋根温度为
t0
，流体温度为
tf
，表面传热系数为
h,肋片
导热系数为
。
将它均分成
4个节点（见附图），并对肋端为绝热及为对流边界条件（
h同
侧面）的两种情况列出节点2，3，4
的离散方程式。
设
H=45cm,
10mm,h
50W/（m2.K）,=50W/（m.K）,
t0100℃，tf20℃，计算节点
2，3，4的温度（对于肋端的两种边界条件）
。
解：
采用热平衡法可列出节点2、3、4的离散方程为：
t1
t2
t3
t2
2h
x
t2
tf
0
节点2：
x
x
；
t2
t3
t4t3
2h
x
t3
tf
0
节点3：
x
x
；
t3
t4
h
x
t4
tf
0
节点4：
肋端绝热
x
，
t3
t4
hxt4
tf
ht4
tf0
肋端对流
x
。
x
H
3。
将已知条件代入可得下列两方程组：
其中
肋端绝热
t3
2.045t2
100.9
0
t2
2.045t3
t40.9
0
t3
1.0225t4
0.45
0
肋端对流
t3
2.045t2
100.9
0
t2
2.045t3
t40.9
0
t3
1.0375t4
0.8
0
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