已知正弦电流i的波形如题图所示.docx
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已知正弦电流i的波形如题图所示
已知正弦电流i的波形如题图所示
4.1已知正弦电流i的波形如题图所示,ω=1000rad/s。
试写出解析式,并求出从计时起点到第一个正的最大值的时间t1。
解:
100sin(100t,)mAit6
由得100,100sin(1000,),100mA,ti1t16
即sin(1000,),1t16
,,,,1000,1000亦即,,,,,tt1162263
3.14,故,s,ms,1.047mst130003
4.2
(1)已知正弦电压的振幅为311V,频率为100Hz,初相为π/4,试写出其解析式,并绘出波形图。
(2)已知工频正弦电流的初相为π/6,t=T/6时电流值为10A,写出它的解析式,并绘出波形图。
,解
(1)(t),sin(2f,),311sin(628t,),2202sin(628t,)V,uu,mu44
2,,,,
(2)i(t),sin(2ft,)A,sin(t,)A,sin(314t,)A,IIImmm6T66
T2,,,则i(),sin(,,)AIm6T66
2T,,即10,sin(,,)ImT66
,,或10,sin(,),10,sin()IImm362
10A故Im
则i(t),10sin(314t,)A6
波形图分别如图
题4.2解图
4.3如图所示为u和i的波形,问u和i的初相各为多少?
相位差为多少?
若将计时起点向右移π/3,u和i初相如何变化?
相位差是否改变?
u和i哪一个超前?
解由u和i的波形在图上起点的位置可知,
,,,,,2,,,,,则,,,,(,),,因此i超前u,当计时起点向右移时,,,,,,iuiuiu333333
,,22‘’,,,,,即坐标原点右移时,即坐标原点右移到u波形的起点位置,则0,,,,iuiu333仍是i超前u。
可见相位差不随计时起点的移动而改变。
4.4
(1)设电流i(t)=Imsin(ωt+2π/3)A。
t=0时,i=0.433A,求它的有效值。
i(t),106A1
(2)一个正弦电流,已知I=20A,f=60Hz,t1=1/720秒时,,求其解析式。
解
(1)
若能求出,则可求出I,因此求是关键。
IImm
2,i(0),sin(,0,)AIm3
2,即0.433,sin()Im3
0.4330.433则,,,0.5AIm23sin(),32
故I,0.707,0.707,0.5,0.35AIm
(2)解题思路:
在已知I和f的前提下,求得初相,就可写出解析式,因此求是关键。
写出电流的解析式,并,i将其变成初相为未知量的方程,就可解.,,ii,,,,i(t),2Isin(2ft,),202sin(120t,)Aii
11,i(),202sin(120,,)Ai720720,
202sin(,),106i6
3则sin(,),,i62,,2,,,(或),i633
,
则,(或),i62
,故i(t),202sin(120t,)A6
或i(t),202sin(120t,)A,2
u(t),2202sin100πtV,i(t),52sin(100πt,30:
)A4.5已知将i分解为两个同频率正弦量,一
个和u同相,另一个与u的相位差为90?
。
写出两个分量的解析式。
解解题思路:
在已知初相和f的前提下,求得有效值就可写出相应的解析式,为此求有效值是关
键。
作出电压和电流的相量图,
,I,4.5按题意将分解为两个分量:
和由题解图可知,,IIar
5,cos30:
5,0.866,4.33AIa
5,sin30:
2.5AIr
(t),4.332sin100tA则ia
(t),2.5sin(100,t,90:
)ir
题4.5解图
u(t),1002sin(100πt,120:
)V,Bu(t),1002sin100πtV,4.6三个正弦量电压A
u(t),1002sin(100πt,120:
)V,C
试求:
(1)uB+uC;
(2)uB-uC;(3)uA+uB+uC;(4)-uA+uB-uC。
,对应的相量分别为uuuABC
,,100,0:
V,100,j0VUA解
100,,120:
V,,50,j503,UB
100,120:
V,,50,j503,UC
,,,,,,,,,,U,U;
(2)U,U;(3)U,U,U;(4),U,U,U4.7试作相量图求题4.6中的
(1)BCBCABCABC
P,,,,参照教材例解法(),以为参考相量先作出、、的相量图,984.72UUUUAABC再按矢量加法的三角形法则,根据题意,作出所求的相量,如题解图所示。
4.7
,,,()、、组成等边三角形,1UUUABC
V,,,,,,,100,180:
UUUBCA
,,,,,,、、组成底角为的等腰三角形,的辐角为
(2),,30:
UUUUUUBCBCBC(),120:
30:
,90:
模值为
V2,cos30:
2,100,3/2,1003UB
V则,,,,1003,,90:
UUBC
()、、组成封闭的等边三角形,则,,,3UUUABC
,,,,,,,,,,0UUUUUABCAA
()、、组成等边三角形,则4,,,,,UUUACB
,,,,,UUUACB解,,,,,,2,200,,120:
,,,,,,UUUUUUABCBBB
题4.7解图
4.8求下列电流的有效值:
i(t),10sin,t,102cos(,t,45:
)A
(1)1
i(t),8sin2t,6cos2tA
(2)2
解
(1)
,(t),10sint,102sin(t,45:
,90:
)i1
,,10sint,102sin(t,135:
)A
10,0:
,102,135:
10,10,j10,10,90:
,Im1
1010,,90:
A,,,7.07A则,I1I122
(2)
8,0:
,6,90:
8,j6,10,36.9:
,Im2
10,,7.07A则I22
用作相量图的方法。
分别如题4.8解图(a)、(b)所示
题4.8解图4.95μF电容器端电压的波形如题图所示。
(1)试绘出关联参考方向下电流的波形;
(2)试确定t1=2μs和t2=10μs时电容储能。
解
(1)按所给的电压波形分为三段来计算:
两段是线性关系、线性上升时对t求导为正
的常数,线性下降时对t求导为负的常数,保持恒定的一段,对t的求导为零。
1
0,t,1ms,
310,du,u.,610i,C,C,5,,,50mA10,6dt,t1,102.
1ms,t,4ms,
dui,C,0dt
3.
4ms,t,5ms,
310,du,u,610i,C,C,,5,,,,50mA10,6dt,t1,10作出电流的波形如题4.9解图所示。
题4.9解图
12
(2)电容的电场储能由其他电压决定,由(t),C(t)和电压的波形确定出;WuC2
1.
2s,时,t1
21,6,10,3u,10mV,,,5,,,2.5,J,(10)W1010C102
2.
10s时,,t2u,0,,0WC
4.10题图中,若Uab=150V,求各电容上的电压。
解
并联的等效电容cc23
,,,2,4,8Fccc2323
按两电容串联时的分压关系,,两端电压分别为cc231
1150,,150,,16.7VU238,19
8,,150,133.3VU19
4.11线圈的L=10mH,电流波形如题图中所示。
作出关联参考方向下电压uL的波形。
解1.
1ms,t,0,
di,i10,3,L,L,10,,,0.1Vu10Ldt,t12.
0,t,3ms,
di,i,L,L,0uLdt,t
3.
3ms,t,4ms
di,i0,10,3,L,L,10,,,,0.1Vu10Ldt,t1作出电压的波形如题4.11解图所示。
题4.11解图
4.12在题图中,电路已经稳定,试求:
(1)电容器C两端的电压;
(2)流过电感L的电流。
题4.12解图
的电路,如题4.12解图所示。
解把原电路改画为计算,UILC
0.80.81,,2,,2,A
(1)I1(13)0.84.83,,
1依KVL,得,,3,2,2,5VUC3
222,,,,
(2)2A,1AII12,32,10.81.2,0.8,32
22则,,,,1,0.4AII322,35
,,2,0.4,2.4A依KVL,得IIIL13
2duLduCC4.13试证明题图中的uS和uC的关系式为LC,,,u,uCSdtRdt
题4.13解图
解给原图中标注各支路电流及如题4.13解图所示,依KVL和KCL,有uL
,,uuuLCs
且,,i,,uuiiCRRC
根据电阻、电感元件的VAR,有
ddiuuuCCR,,,,L,,CiuiRLCRRdtdt
d(,)diiiRCL,,,L,,即uuuuCSCSdtdt
ddiiCRL,L,,代入,得uuCSdtdt
duuCCd(C)d()dtRL,L,,即uuCSdtdt
2
dLduucCLC,,,亦即uu2CSRdtdt
u(t),2002sin(100πt,2π/3)V4.14一个“220V100W”的灯泡,电压
(1)
写出电流的解析式;
(2)求20小时消耗的电能;(3)电压降低20V,求它的电流和功率
10022,,解
(1)i(t),2sin(100t,),0.452sin(100t,)A,,20033
(2)由于实际电压等于额定电压,灯泡的功率P=100W,W=0.1KW,所以,消耗的电能
,,,W=Pt=0.120=2KWh(度)
2
U(3)电压降低20V后的值为200V,依可求出灯泡的电阻,P,R
22
U220R,,,484,P100
\200UI,,,0.413A则R484
\,UI,200,0.413,82.6WP
u(t),2002sin(100πt,2π/3)V4.15把的电压作用于电阻略去不计,L=0.8H的线圈。
(1)试求线圈的电流、无功功率、磁场储能的最大值;
(2)如果电压有效值不变,频率变为150Hz,无功功率为多少,并比较两种情况下电压与电流相位差。
,L,2,fL,314,0.8,251.2,解XL
U,220251.2,0.876A
(1)线圈的电流IXLL
无功功率,U,220,0.876,192.7V,AQILL
2112磁场储能最大值,L,,0.8,,0.614JW(0.8762)ImLm22
(2)频率变为150Hz,是原来的3倍,则感抗为原来的3倍,电压不变,则电流是原来的1/3,无功
\1功率亦为原来的1/3,即,,192.7,64.23VarQL3
0两种情况下元件的性质未变,所以,电压、电流的相位差不变,电压比电流超前90
u(t),66002sin(100,t,2,/3)V4.16电阻不计,C=10μF的电容的电压。
求:
(1)电流、无功功率和电场储能的最大值;
(2)在计时起点后经过T/3时电压和电流的瞬时值。
511110,,,,,318.5,解X,6C,C,fC2314314,10,10
(1)电容的电流
U,,6600/318.5,20.7AICXC
无功功率,U,6600,20.7,136.7KV,AQICC
211,26电场储能最大值,C,,10,,435.6JWU10(66002)Cmm22
(2)写出电流的解析式,再将t=T/3分别代入电压和电流的解析式中。
,,2,,i(t),20.72sin(100t,,),20,.72sin(100t,)A326
,,TT2,i(),20.72sin(100,,),20.72sin(,)33636,,20.72sin(),29.3A2
TT,,,222u(),66002sin(100,,),66002sin(,),0,33333
4.17一个电感元件的L=0.05H,两端与50Hz的正弦电源相连接时,电流的有效值为7A。
(1)如将一个电容元件连接到同样的电源上,电流仍为7A试求电容值;
(2)如果电源电压不变,频率为400Hz,这两个元件的电流应变为多少?
,L,2,fL,314,0.05,15.7,解XL
U,I,7,15.7,109.9电感的电压XL
1
(1)由题意可知,,,15.7,XXCL,C
111C,,,,202.8,F则314,15.74929.8,XC
(2)电压不变,频率变为400Hz时,是原来的8倍,则电感的感抗是原来的8倍,
1\\,电容的容抗是原来的1/8,,I,7,0.875A,8,I,8,7,56AII8
4.18日光灯等效电路如题图所示,已知灯管电阻R1=280Ω,镇流器的电阻R=20Ω,电感L=1.66H。
电源为市电,电压U=220V,求电路中总电流I及各部分电压U1、URL。
解解题思路:
计算出电路的总阻抗和镇流器的阻抗,再由伏安特性模值的关系计算出电ZZRL
流I,然后计算出各部分的电压。
,L,2,fL,314,1.66,521.24,XL
镇流器的阻抗
2222,,,,,521.6,20521.24ZRXRLL
电路总的阻抗
2222Z,,,,,601.4,R(,)300521.24XRL1
则总电流
U220I,,,0.37AZ601.4
灯管的电压,I,280,0.37,103.6VUR11
镇流器的电压,I,0.37,521.6,193VUZRLRL
4.19电风扇的电动机绕组中,串联一电感进行调速,等效电路如题图所示,R=190Ω,XL=260
Ω,,,220V,f=50Hz,要URL=180V,问串联的LX值应为多少?
解解题思路:
先由电动机绕组的端电压与阻抗计算出电流I,由总电压和I计算出总阻抗
,Z然后由Z与各阻抗的关系求出感抗,最后计算出。
电动机绕组的阻抗LLxx
2222,,,,190260ZRXRLL
36100,67600,103700,322,
180URLI,,,0.56A电流322ZRL
U220总的阻抗Z,,,392.9,I0.56
22又因Z,,(,,)RXLLX
2222,,,,,,260,Z392.9190LRXXL所以
343.9,260,83.9,
83.983.9则,,,0.267H,267mHLX,314
4.20C=0.01μF的电容与R=5.1kΩ的电阻串联接在、f=1180Hz的电源上。
u(t),22sin,tV
电阻的电压为uR。
试求:
(1)u,;
(2)uR比u超前或滞后的角度。
画出相量图。
解解题思路:
先计算出总的阻抗值和阻抗角,再计算出电流I和,并写出的解析式,ZUuRCRR由解析式确定出超前的相角。
比uuR
111,,,X,,26C,,C2fC,1180,2,,1010
184,,,1.35,,,13.5K,10101180,6.28
Z,R,j,5.1,j13.5,14.1,,69.3:
K,XC
,U2,0:
,I,,,0.14,69.3:
mAZ14.4,,69.3:
,,RI,5.1,0.14,69.3:
0.71,69.3:
V,UR
(1)(t),0.712sin(2,,1180t,69.3:
),0.712sin(7410t,69.3:
)VuR
(2)由于电压u的初相为零,因此比u超前的相角为,相量图如题4.20解图所示。
69.3:
uR
题4.20解图
4.21用三表(电压表、电流表、功率表)法,可测出电感线圈的电阻和电感,电路图如题图所示。
电源为工频电源。
三表的读数分别为15V、1A、10W,试求R和L的值。
解解题思路:
电压表可视为开路,电流表可视为短路。
应注意,功率表测量出电路的有功功率就是电阻R的功率,由功率和电流可计算出电阻。
由电压和电流可求出总阻抗,再由与ZZRLRL
,LR和出的直角三角形关系求出,最后由的关系计算出电感L。
XXXLLL
UP2由计算出电感线圈的电阻,电感线圈的阻抗.,,15,,,10,P,RRZI2RLII
22,,又因ZRXRLL
2222所以L,,,,,,,125,11.2,1510XZRLRL
XLL,,11.2/314,0.0357H,35.7mH则,
4.22R=10Ω,L=0.211H,C=65μF的串联电路接220V的工频正弦电源上。
已知t=0时的电源电
压为155.5V,试求T/4时i、uR、uL、uC的值。
解作出电路的相量模型如题4.22解图所示,其中
,,L,2fL,314,0.211,66.3,XL
111,,,,49,X,6CC2fC,,314,65,10
Z,10,j(66.3,49),10,j17.3,20,60:
设
(),2202sin(,),311sin(314,),ut,ttV依题给条件,有,,uu
155.5sin,,0.5,u311
取其中的锐角,则,30:
u
u(t),2202sin(314t,30:
)V
,U220,30:
,I,,,11,,30:
AZ20,60:
,,,RI,10,11,,30:
110,,30:
VUR
,,,jI,j66.3,11,,30:
729.3,60:
VXULL
,,,,jI,,j49,11,,30:
539,,120:
VXUCC
i(t),112sin(315t,30:
)A
(t),1102sin(314t,30:
)VuR
(t),729.32sin(314t,60:
)VuL
(t),5392sin(314t,120:
)VuC
,,,,T2/T,,,(),,,,90:
,442422,,Ti(),112sin(90:
30:
),112sin60:
13.47A4
T(),1102sin(90:
30:
),1102sin60:
134.7VuR4
T(),729.32sin(60:
,60:
),729.32sin150:
515.6VuL4
T(),5392sin(90:
120:
),5392sin(,30:
),,381.1VuC4
u(t),102sin(314t,30:
)V4.23在R、L、C串联电路中,电源电压,R=10Ω,XL=15
,IΩ,XC=5Ω,求此电路的复阻抗Z,电流,电压、,并画出相量,,,URULUC
图。
,U,10,30:
V,解由题给条件可写出计算出Z,然后求出各元件的电压相量。
Z,R,jX,R,j(,),10,j10,102,45:
XXLC
,U10,30:
,I,,,0.707,,15:
AZ102,45:
,,RI,0.707,,15:
V,UR
,,jI,j15,0.707,,15:
10.6,75:
V,XLUL
,j,,j5,0.707,,15:
3.5,,105:
V,XCUC
相量图如题4.23解图所示。
题4.23解图
,,阻抗Z1=40+j30Ω、Z2=20,j20Ω、Z3=60+j80Ω相串联。
试求:
4.24电源电压U,100,30:
V
(1)总的复阻抗;
,I
(2)电路电流;
,,,UUU312(3)、、,并作相量图
40,j30,50,37:
,,20,j20,202,,45:
ZZ12
60,j80,100,53:
Z3
(1)Z,,,,(40,20,60),j(30,20,80),30(4,j3),150,37:
ZZZ123
,U100,30:
,
(2)I,,,0.667,,7:
A解Z150,37:
,(3),I,50,37:
,0.667,,7:
33.3,30:
V,Z1U1
,,I,202,,45:
,0.667,,7:
18.85,,52:
V,Z2U2
,,I,100,53:
,,,7:
66.7,46:
V,Z3U3
作相量图如题4.24解图所示。
题4.24解图
4.25
(1)试证明题图(a)中L=C/,G2+(ωC)2,时,端口电压、电流同相。
(2)题图(b)中,已知
i(t)=4sin10tA,uab=200sin(10t-53?
),,求R和C。
1)求证思路:
端口电压、电流同相的前提是复阻抗Z必须呈纯阻性。
因此求Z是关键。
解(
Z,j,,对于,先计算出复阻抗,再利用其倒数求Z比较简便。
XZZLGCGC
,G,jCYGC
,11G,jCGC,,,,,jZ222222222GC,G,jC,,,,,,YGCGCGCGC
GC,Z,j,,,j(L,)XZ222222LGC,,,,GCGC
C,,当L,时,有ImZ,0,则电路呈纯电阻性,u与i同相。
222,G,C
(2)解题思路:
由和可求出复导纳,另外再按R、C并联关系求出复导纳,两个复导,,UImmab
纳应相等,通过比较即可求出R、C的值。
由题中两个解析式可知
4,0:
A,Im
,,200,,53:
VUmab
,4,0:
ImY,,,0.02,53:
0.012,j0.016S200,,53:
,Umab
1依Y,,j,C,R
两个复导纳的实部与虚部相比较,得
11,,,C,0.016R0.01210.016则R,,83.3,,C,,0.0016F,1600,F0.01210
34.26RC并联电路中,已知R=10kΩ,C=0.2μF,,试求总i(t),102sin(10t,60:
)mAC电流i,并画出相量图。
解作出电路的模型如题4.26解图(a)所示。
113,,,5,,,5k,10XC3,6,C,0.2,1010
,,,,U,,,,j,,j5,10,60:
50,,30:
VXUUICCRC
,50,,30:
UR,,,,5,,30:
AIRR10
,,,I,,,5,,30:
,10,60:
4.33,j2.5,5,J8.66IIRC
9.33,j6.16,11.2,33.4:
mA
3i(t),11.22sin(t,33.4:
)mA10
相量图如题4.26解图(b)所示。
题4.26解图
114.27R、L、C并联电路中,电压电流为关联参考方向,R=25Ω,L=50mH,C=50μF,端口G,,,0.04SR25,,,,,III电流,ω=1000rad/s,试求、、和。
I,5,0:
AUCRL11,,,,0.02SBXLL解解题思路:
先计算出复导纳Y,再按伏安关系的相量形式计算总电流和各支路电流的相量。
L,50,
1,,C,,50,,0.05S,3,3BC1010XC
3,6Y,G,j(,),0.04,j0.03,0.05,37:
,BBCL1010
,I5,0:
,U,,,100,,37:
VY0.05,37:
,,GU,0.04,100,,37:
4,,37:
A,IR
,,,jU,0.02,100,,(37:
,9