已知正弦电流i的波形如题图所示.docx
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已知正弦电流i的波形如题图所示
已知正弦电流i的波形如题图所示
4.1已知正弦电流i的波形如题图所示，ω=1000rad/s。
试写出解析式，并求出从计时起点到第一个正的最大值的时间t1。
解:
100sin（100t，）mAit6
由得100,100sin（1000，）,100mA,ti1t16
即sin（1000，）,1t16
,,,,1000,1000亦即，,,,,tt1162263
3.14,故,s,ms,1.047mst130003
4.2
（1）已知正弦电压的振幅为311V，频率为100Hz，初相为π/4，试写出其解析式，并绘出波形图。
（2）已知工频正弦电流的初相为π/6，t=T/6时电流值为10A，写出它的解析式，并绘出波形图。
,解
（1）（t）,sin（2f，）,311sin（628t，）,2202sin（628t，）V,uu,mu44
2,,,,
（2）i（t）,sin（2ft，）A,sin（t，）A,sin（314t，）A,IIImmm6T66
T2,,,则i（）,sin（，，）AIm6T66
2T,,即10,sin（，，）ImT66
,,或10,sin（，）,10,sin（）IImm362
10A故Im
则i（t）,10sin（314t，）A6
波形图分别如图
题4.2解图
4.3如图所示为u和i的波形，问u和i的初相各为多少?
相位差为多少?
若将计时起点向右移π/3，u和i初相如何变化?
相位差是否改变?
u和i哪一个超前?
解由u和i的波形在图上起点的位置可知，
,,,,,2,,,,,则,,,,（,）,，因此i超前u，当计时起点向右移时，,,,,,iuiuiu333333
,,22‘’,,,,,即坐标原点右移时，即坐标原点右移到u波形的起点位置，则0，,,,iuiu333仍是i超前u。
可见相位差不随计时起点的移动而改变。
4.4
（1）设电流i（t）=Imsin（ωt+2π/3）A。
t=0时，i=0.433A，求它的有效值。
i（t）,106A1
（2）一个正弦电流，已知I=20A,f=60Hz,t1=1/720秒时，，求其解析式。
解
（1）
若能求出,则可求出I，因此求是关键。
IImm
2,i（0）,sin（，0，）AIm3
2,即0.433,sin（）Im3
0.4330.433则,,,0.5AIm23sin（）,32
故I,0.707,0.707，0.5,0.35AIm
（2）解题思路:
在已知I和f的前提下，求得初相，就可写出解析式，因此求是关键。
写出电流的解析式，并,i将其变成初相为未知量的方程，就可解.,,ii,,,,i（t）,2Isin（2ft，）,202sin（120t，）Aii
11,i（）,202sin（120，，）Ai720720,
202sin（，）,106i6
3则sin（，）,,i62,,2,，,（或）,i633
,
则,（或）,i62
,故i（t）,202sin（120t，）A6
或i（t）,202sin（120t，）A,2
u（t）,2202sin100πtV,i（t）,52sin（100πt,30:
）A4.5已知将i分解为两个同频率正弦量，一
个和u同相，另一个与u的相位差为90?
。
写出两个分量的解析式。
解解题思路:
在已知初相和f的前提下，求得有效值就可写出相应的解析式，为此求有效值是关
键。
作出电压和电流的相量图，
，I,4.5按题意将分解为两个分量:
和由题解图可知，，IIar
5，cos30:
5，0.866,4.33AIa
5，sin30:
2.5AIr
（t）,4.332sin100tA则ia
（t）,2.5sin（100,t,90:
）ir
题4.5解图
u（t）,1002sin（100πt,120:
）V,Bu（t）,1002sin100πtV,4.6三个正弦量电压A
u（t）,1002sin（100πt，120:
）V,C
试求:
（1）uB+uC;
（2）uB-uC;（3）uA+uB+uC;（4）-uA+uB-uC。
,对应的相量分别为uuuABC
，,100，0:
V,100，j0VUA解
100，,120:
V,,50,j503，UB
100，120:
V,,50，j503，UC
，，，，，，，，，，U，U;
（2）U,U;（3）U，U，U;（4）,U，U,U4.7试作相量图求题4.6中的
（1）BCBCABCABC
P，，，，参照教材例解法（），以为参考相量先作出、、的相量图，984.72UUUUAABC再按矢量加法的三角形法则，根据题意，作出所求的相量，如题解图所示。
4.7
，，，（）、、组成等边三角形，1UUUABC
V，，，，,,,100，180:
UUUBCA
，，，，，，、、组成底角为的等腰三角形，的辐角为
（2）,,30:
UUUUUUBCBCBC（）,120:
30:
,90:
模值为
V2，cos30:
2，100，3/2,1003UB
V则，，,,1003，,90:
UUBC
（）、、组成封闭的等边三角形，则，，，3UUUABC
，，，，，,，,，,0UUUUUABCAA
（）、、组成等边三角形，则4,,，，，UUUACB
,,，，，UUUACB解,，,,，,2,200，,120:
，，，，，，UUUUUUABCBBB
题4.7解图
4.8求下列电流的有效值:
i（t）,10sin,t，102cos（,t，45:
）A
（1）1
i（t）,8sin2t，6cos2tA
（2）2
解
（1）
,（t）,10sint，102sin（t，45:
，90:
）i1
,,10sint，102sin（t，135:
）A
10，0:
，102，135:
10,10，j10,10，90:
，Im1
1010,，90:
A,,,7.07A则，I1I122
（2）
8，0:
，6，90:
8，j6,10，36.9:
，Im2
10,,7.07A则I22
用作相量图的方法。
分别如题4.8解图（a）、（b）所示
题4.8解图4.95μF电容器端电压的波形如题图所示。
（1）试绘出关联参考方向下电流的波形;
（2）试确定t1=2μs和t2=10μs时电容储能。
解
（1）按所给的电压波形分为三段来计算:
两段是线性关系、线性上升时对t求导为正
的常数，线性下降时对t求导为负的常数，保持恒定的一段，对t的求导为零。
1
0,t,1ms,
310，du,u.,610i,C,C,5，，,50mA10,6dt,t1，102.
1ms,t,4ms,
dui,C,0dt
3.
4ms,t,5ms,
310，du,u,610i,C,C,,5，，,,50mA10,6dt,t1，10作出电流的波形如题4.9解图所示。
题4.9解图
12
（2）电容的电场储能由其他电压决定，由（t）,C（t）和电压的波形确定出;WuC2
1.
2s,时，t1
21,6,10,3u,10mV,,，5，，,2.5，J，（10）W1010C102
2.
10s时，,t2u,0,,0WC
4.10题图中，若Uab=150V，求各电容上的电压。
解
并联的等效电容cc23
,，,2，4,8Fccc2323
按两电容串联时的分压关系，，两端电压分别为cc231
1150,，150,,16.7VU238，19
8,，150,133.3VU19
4.11线圈的L=10mH，电流波形如题图中所示。
作出关联参考方向下电压uL的波形。
解1.
1ms,t,0,
di,i10,3,L,L,10，，,0.1Vu10Ldt,t12.
0,t,3ms,
di,i,L,L,0uLdt,t
3.
3ms,t,4ms
di,i0,10,3,L,L,10，，,,0.1Vu10Ldt,t1作出电压的波形如题4.11解图所示。
题4.11解图
4.12在题图中，电路已经稳定，试求:
（1）电容器C两端的电压;
（2）流过电感L的电流。
题4.12解图
的电路，如题4.12解图所示。
解把原电路改画为计算,UILC
0.80.81,，2,，2,A
（1）I1（13）0.84.83，，
1依KVL，得,，3，2，2,5VUC3
222,,,,
（2）2A,1AII12，32，10.81.2，0.8，32
22则,，,，1,0.4AII322，35
，,2，0.4,2.4A依KVL,得IIIL13
2duLduCC4.13试证明题图中的uS和uC的关系式为LC，,，u,uCSdtRdt
题4.13解图
解给原图中标注各支路电流及如题4.13解图所示，依KVL和KCL,有uL
，,uuuLCs
且,,i,，uuiiCRRC
根据电阻、电感元件的VAR，有
ddiuuuCCR,,,,L,,CiuiRLCRRdtdt
d（，）diiiRCL，,,L，,即uuuuCSCSdtdt
ddiiCRL，L，,代入，得uuCSdtdt
duuCCd（C）d（）dtRL，L，,即uuCSdtdt
2
dLduucCLC，，,亦即uu2CSRdtdt
u（t）,2002sin（100πt，2π/3）V4.14一个“220V100W”的灯泡，电压
（1）
写出电流的解析式;
（2）求20小时消耗的电能;（3）电压降低20V，求它的电流和功率
10022,,解
（1）i（t）,2sin（100t，）,0.452sin（100t，）A,,20033
（2）由于实际电压等于额定电压，灯泡的功率P=100W,W=0.1KW,所以，消耗的电能
，，,W=Pt=0.120=2KWh（度）
2
U（3）电压降低20V后的值为200V,依可求出灯泡的电阻，P,R
22
U220R,,,484,P100
\200UI,,,0.413A则R484
\,UI,200，0.413,82.6WP
u（t）,2002sin（100πt，2π/3）V4.15把的电压作用于电阻略去不计，L=0.8H的线圈。
（1）试求线圈的电流、无功功率、磁场储能的最大值;
（2）如果电压有效值不变，频率变为150Hz，无功功率为多少,并比较两种情况下电压与电流相位差。
,L,2,fL,314，0.8,251.2,解XL
U,220251.2,0.876A
（1）线圈的电流IXLL
无功功率,U,220，0.876,192.7V,AQILL
2112磁场储能最大值,L,，0.8，,0.614JW（0.8762）ImLm22
（2）频率变为150Hz,是原来的3倍，则感抗为原来的3倍，电压不变，则电流是原来的1/3,无功
\1功率亦为原来的1/3，即,，192.7,64.23VarQL3
0两种情况下元件的性质未变，所以，电压、电流的相位差不变，电压比电流超前90
u（t）,66002sin（100,t,2,/3）V4.16电阻不计，C=10μF的电容的电压。
求:
（1）电流、无功功率和电场储能的最大值;
（2）在计时起点后经过T/3时电压和电流的瞬时值。
511110,,,,,318.5,解X,6C,C,fC2314314，10，10
（1）电容的电流
U,,6600/318.5,20.7AICXC
无功功率,U,6600，20.7,136.7KV,AQICC
211,26电场储能最大值,C,，10，,435.6JWU10（66002）Cmm22
（2）写出电流的解析式，再将t=T/3分别代入电压和电流的解析式中。
,,2,,i（t）,20.72sin（100t,，）,20,.72sin（100t,）A326
,,TT2,i（）,20.72sin（100，,）,20.72sin（,）33636,,20.72sin（）,29.3A2
TT,,,222u（）,66002sin（100，,）,66002sin（,）,0,33333
4.17一个电感元件的L=0.05H，两端与50Hz的正弦电源相连接时，电流的有效值为7A。
（1）如将一个电容元件连接到同样的电源上，电流仍为7A试求电容值;
（2）如果电源电压不变，频率为400Hz，这两个元件的电流应变为多少?
,L,2,fL,314，0.05,15.7,解XL
U,I,7，15.7,109.9电感的电压XL
1
（1）由题意可知,,,15.7,XXCL,C
111C,,,,202.8,F则314，15.74929.8,XC
（2）电压不变，频率变为400Hz时，是原来的8倍，则电感的感抗是原来的8倍，
1\\,电容的容抗是原来的1/8,,I，7,0.875A,8，I,8，7,56AII8
4.18日光灯等效电路如题图所示，已知灯管电阻R1=280Ω，镇流器的电阻R=20Ω，电感L=1.66H。
电源为市电，电压U=220V，求电路中总电流I及各部分电压U1、URL。
解解题思路:
计算出电路的总阻抗和镇流器的阻抗,再由伏安特性模值的关系计算出电ZZRL
流I,然后计算出各部分的电压。
,L,2,fL,314，1.66,521.24,XL
镇流器的阻抗
2222,，,，,521.6,20521.24ZRXRLL
电路总的阻抗
2222Z,，,，,601.4,R（，）300521.24XRL1
则总电流
U220I,,,0.37AZ601.4
灯管的电压,I,280，0.37,103.6VUR11
镇流器的电压,I,0.37，521.6,193VUZRLRL
4.19电风扇的电动机绕组中，串联一电感进行调速，等效电路如题图所示，R=190Ω，XL=260
Ω，,,220V，f=50Hz,要URL=180V，问串联的LX值应为多少?
解解题思路:
先由电动机绕组的端电压与阻抗计算出电流I,由总电压和I计算出总阻抗
,Z然后由Z与各阻抗的关系求出感抗,最后计算出。
电动机绕组的阻抗LLxx
2222,，,，190260ZRXRLL
36100，67600,103700,322,
180URLI,,,0.56A电流322ZRL
U220总的阻抗Z,,,392.9,I0.56
22又因Z,，（，,）RXLLX
2222,,,,,,260,Z392.9190LRXXL所以
343.9,260,83.9,
83.983.9则,,,0.267H,267mHLX,314
4.20C=0.01μF的电容与R=5.1kΩ的电阻串联接在、f=1180Hz的电源上。
u（t）,22sin,tV
电阻的电压为uR。
试求:
（1）u,;
（2）uR比u超前或滞后的角度。
画出相量图。
解解题思路:
先计算出总的阻抗值和阻抗角，再计算出电流I和,并写出的解析式，ZUuRCRR由解析式确定出超前的相角。
比uuR
111,,,X,,26C,,C2fC,1180，2，，1010
184,，,1.35，,,13.5K,10101180，6.28
Z,R,j,5.1,j13.5,14.1，,69.3:
K,XC
，U2，0:
，I,,,0.14，69.3:
mAZ14.4，,69.3:
，,RI,5.1，0.14，69.3:
0.71，69.3:
V，UR
（1）（t）,0.712sin（2,，1180t，69.3:
）,0.712sin（7410t，69.3:
）VuR
（2）由于电压u的初相为零，因此比u超前的相角为，相量图如题4.20解图所示。
69.3:
uR
题4.20解图
4.21用三表（电压表、电流表、功率表）法，可测出电感线圈的电阻和电感，电路图如题图所示。
电源为工频电源。
三表的读数分别为15V、1A、10W，试求R和L的值。
解解题思路:
电压表可视为开路，电流表可视为短路。
应注意，功率表测量出电路的有功功率就是电阻R的功率，由功率和电流可计算出电阻。
由电压和电流可求出总阻抗,再由与ZZRLRL
,LR和出的直角三角形关系求出,最后由的关系计算出电感L。
XXXLLL
UP2由计算出电感线圈的电阻,电感线圈的阻抗.,,15,,,10,P,RRZI2RLII
22,，又因ZRXRLL
2222所以L,,,,,,,125,11.2,1510XZRLRL
XLL,,11.2/314,0.0357H,35.7mH则,
4.22R=10Ω，L=0.211H，C=65μF的串联电路接220V的工频正弦电源上。
已知t=0时的电源电
压为155.5V，试求T/4时i、uR、uL、uC的值。
解作出电路的相量模型如题4.22解图所示，其中
,,L,2fL,314，0.211,66.3,XL
111,,,,49,X,6CC2fC,,314，65，10
Z,10，j（66.3,49）,10，j17.3,20，60:
设
（）,2202sin（，）,311sin（314，）,ut,ttV依题给条件，有,,uu
155.5sin,,0.5,u311
取其中的锐角，则,30:
u
u（t）,2202sin（314t，30:
）V
，U220，30:
，I,,,11，,30:
AZ20，60:
，，,RI,10，11，,30:
110，,30:
VUR
，，,jI,j66.3，11，,30:
729.3，60:
VXULL
，，,,jI,,j49，11，,30:
539，,120:
VXUCC
i（t）,112sin（315t,30:
）A
（t）,1102sin（314t,30:
）VuR
（t）,729.32sin（314t，60:
）VuL
（t）,5392sin（314t,120:
）VuC
,,,,T2/T,,,（）,,,,90:
,442422,,Ti（）,112sin（90:
30:
）,112sin60:
13.47A4
T（）,1102sin（90:
30:
）,1102sin60:
134.7VuR4
T（）,729.32sin（60:
，60:
）,729.32sin150:
515.6VuL4
T（）,5392sin（90:
120:
）,5392sin（,30:
）,,381.1VuC4
u（t）,102sin（314t，30:
）V4.23在R、L、C串联电路中，电源电压，R=10Ω，XL=15
，IΩ，XC=5Ω，求此电路的复阻抗Z，电流，电压、，并画出相量，，，URULUC
图。
，U,10，30:
V,解由题给条件可写出计算出Z，然后求出各元件的电压相量。
Z,R，jX,R，j（,）,10，j10,102，45:
XXLC
，U10，30:
，I,,,0.707，,15:
AZ102，45:
，,RI,0.707，,15:
V，UR
，,jI,j15，0.707，,15:
10.6，75:
V，XLUL
,j,,j5，0.707，,15:
3.5，,105:
V，XCUC
相量图如题4.23解图所示。
题4.23解图
，，阻抗Z1=40+j30Ω、Z2=20,j20Ω、Z3=60+j80Ω相串联。
试求:
4.24电源电压U,100，30:
V
（1）总的复阻抗;
，I
（2）电路电流;
，，，UUU312（3）、、，并作相量图
40，j30,50，37:
,,20,j20,202，,45:
ZZ12
60，j80,100，53:
Z3
（1）Z,，，,（40，20，60），j（30,20，80）,30（4，j3）,150，37:
ZZZ123
，U100，30:
，
（2）I,,,0.667，,7:
A解Z150，37:
，（3）,I,50，37:
，0.667，,7:
33.3，30:
V，Z1U1
，,I,202，,45:
，0.667，,7:
18.85，,52:
V，Z2U2
，,I,100，53:
，，,7:
66.7，46:
V，Z3U3
作相量图如题4.24解图所示。
题4.24解图
4.25
（1）试证明题图（a）中L=C/,G2+（ωC）2,时，端口电压、电流同相。
（2）题图（b）中，已知
i（t）=4sin10tA，uab=200sin（10t-53?
）,，求R和C。
1）求证思路:
端口电压、电流同相的前提是复阻抗Z必须呈纯阻性。
因此求Z是关键。
解（
Z,j，,对于,先计算出复阻抗，再利用其倒数求Z比较简便。
XZZLGCGC
,G，jCYGC
,11G,jCGC,,,,,jZ222222222GC,G，jC,,,，，，YGCGCGCGC
GC,Z,j，,，j（L,）XZ222222LGC，，,,GCGC
C,,当L,时，有ImZ,0,则电路呈纯电阻性，u与i同相。
222，G,C
（2）解题思路:
由和可求出复导纳，另外再按R、C并联关系求出复导纳，两个复导，，UImmab
纳应相等，通过比较即可求出R、C的值。
由题中两个解析式可知
4，0:
A，Im
，,200，,53:
VUmab
，4，0:
ImY,,,0.02，53:
0.012，j0.016S200，,53:
，Umab
1依Y,，j,C,R
两个复导纳的实部与虚部相比较，得
11,,,C,0.016R0.01210.016则R,,83.3,,C,,0.0016F,1600,F0.01210
34.26RC并联电路中，已知R=10kΩ，C=0.2μF，,试求总i（t）,102sin（10t，60:
）mAC电流i，并画出相量图。
解作出电路的模型如题4.26解图（a）所示。
113,,,5，,,5k,10XC3,6,C，0.2，1010
，，，，U,,,,j,,j5，10，60:
50，,30:
VXUUICCRC
，50，,30:
UR，,,,5，,30:
AIRR10
，，，I,，,5，,30:
，10，60:
4.33,j2.5，5，J8.66IIRC
9.33，j6.16,11.2，33.4:
mA
3i（t）,11.22sin（t，33.4:
）mA10
相量图如题4.26解图（b）所示。
题4.26解图
114.27R、L、C并联电路中，电压电流为关联参考方向，R=25Ω，L=50mH，C=50μF，端口G,,,0.04SR25，，，，，III电流，ω=1000rad/s,试求、、和。
I,5，0:
AUCRL11,,,,0.02SBXLL解解题思路:
先计算出复导纳Y，再按伏安关系的相量形式计算总电流和各支路电流的相量。
L，50，
1,,C,，50，,0.05S,3,3BC1010XC
3,6Y,G，j（,）,0.04，j0.03,0.05，37:
,BBCL1010
，I5，0:
，U,,,100，,37:
VY0.05，37:
，,GU,0.04，100，,37:
4，,37:
A，IR
，,,jU,0.02，100，,（37:
，9
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