1、已知正弦电流i的波形如题图所示已知正弦电流i的波形如题图所示4.1 已知正弦电流i的波形如题图所示,=1000rad/s。试写出解析式, 并求出从计时起点到第一个正的最大值的时间t1。 ,解: ,100sin(100t,)mAit6,由得 100,100sin(1000,),100mA,ti1t16,即 sin(1000,),1t16,1000,1000亦即 ,,tt11622633.14,故 ,s,ms,1.047mst1300034.2 (1) 已知正弦电压的振幅为311V,频率为100Hz,初相为/4, 试写出其解析式,并绘出波形图。 (2) 已知工频正弦电流的初相为/6,t=T/6时电
2、流值为10A,写出它的解析式,并绘出波形图。 ,解 (1)(t),sin(2f,),311sin(628t,),2202sin(628t,)V ,uu,mu442,(2)i(t),sin(2ft,)A,sin(t,)A,sin(314t,)A ,IIImmm6T66T2,则 i(),sin(,)A Im6T662T,即 10,sin(,) ImT66,或 10,sin(,),10,sin() IImm362,10A故 Im,则 i(t),10sin(314t,)A 6波形图分别如图 题4.2解图 4.3 如图所示为u和i的波形,问u和i的初相各为多少? 相位差为多少? 若将计时起点向右移/3,
3、u和i初相如何变化? 相位差是否改变? u和i哪一个超前? 解 由u和i 的波形在图上起点的位置可知,,2,则,(,),,因此i超前u,当计时起点向右移时,,iuiuiu333333,22,即坐标原点右移时,即坐标原点右移到u波形的起点位置,则0,,iuiu333仍是i超前u。可见相位差不随计时起点的移动而改变。4.4 (1) 设电流i(t)=Im sin(t+2/3)A。 t=0时,i=0.433A,求它的有效值。 i(t),106A1 (2) 一个正弦电流,已知I=20A, f=60 Hz, t1=1/720秒时, ,求其解析式。 解 (1) 若能求出,则可求出I,因此求是关键。IImm,
4、2,i(0),sin(,0,)AIm32,即0.433,sin() Im30.4330.433则,0.5AIm23sin(),32故I,0.707,0.707,0.5,0.35AIm(2)解题思路: 在已知I和f的前提下,求得初相,就可写出解析式,因此求是关键。写出电流的解析式,并,i将其变成初相为未知量的方程,就可解. ,ii,i(t),2Isin(2ft,),202sin(120t,)Aii,11,i(),202sin(120,)Ai720720,202sin(,),106i6,3则sin(,),i62 ,2,,,(或),i633,则,(或),i62,故i(t),202sin(120t,)
5、A6,或i(t),202sin(120t,)A,2u(t),2202sin100tV,i(t),52sin(100t,30:)A4.5 已知 将i分解为两个同频率正弦量,一个和u同相,另一个与u的相位差为90?。写出两个分量的解析式。 解 解题思路:在已知初相和f的前提下,求得有效值就可写出相应的解析式,为此求有效值是关键。作出电压和电流的相量图, ,I,4.5按题意将分解为两个分量:和由题解图可知,IIar,5,cos30:,5,0.866,4.33AIa,5,sin30:,2.5A Ir,(t),4.332sin100tA则ia(t),2.5sin(100,t,90:)ir题 4.5 解图
6、 u(t),1002sin(100t,120:)V,Bu(t),1002sin100tV,4.6 三个正弦量电压 Au(t),1002sin(100t,120:)V,C 试求: (1) uB+uC;(2) uB- uC; (3)uA+uB+uC; (4)-uA+uB-uC。 ,对应的相量分别为uuuABC,,100,0:V,100,j0VUA解 ,100,,120:V,50,j503,UB,100,120:V,50,j503,UC,U,U;(2)U,U;(3)U,U,U;(4),U,U,U4.7 试作相量图求题4.6中的(1) BCBCABCABCP,参照教材例解法(),以为参考相量先作出、的
7、相量图,984.72UUUUAABC再按矢量加法的三角形法则,根据题意,作出所求的相量,如题解图所示。4.7,()、组成等边三角形,1UUUABCV,,100,180:,UUUBCA,、组成底角为的等腰三角形,的辐角为(2),30:,UUUUUUBCBCBC(),120:,30:,90:模值为V2,cos30:,2,100,3/2,1003UBV则,,1003,,90:UUBC()、组成封闭的等边三角形,则,3UUUABC,,,,,,0UUUUUABCAA()、组成等边三角形,则4,,UUUACB,,UUUACB解 ,,,,,2,200,,120:,UUUUUUABCBBB题4.7解图 4.8
8、 求下列电流的有效值: i(t),10sin,t,102cos(,t,45:)A (1) 1i(t),8sin2t,6cos2tA (2) 2解 (1) ,(t),10sint,102sin(t,45:,90:)i1,10sint,102sin(t,135:)A ,10,0:,102,135:,10,10,j10,10,90:,Im11010,,90:A,7.07A则, I1I122(2) ,8,0:,6,90:,8,j6,10,36.9:,Im210,7.07A则 I22用作相量图的方法。分别如题4.8解图(a)、(b)所示 题4.8解图 4.9 5F电容器端电压的波形如题图所示。 (1)
9、试绘出关联参考方向下电流的波形; (2) 试确定t1=2s和t2=10s时电容储能。 解 (1)按所给的电压波形分为三段来计算:两段是线性关系、线性上升时对t求导为正 的常数,线性下降时对t求导为负的常数,保持恒定的一段,对t的求导为零。 1 0,t,1ms,310,du,u. ,610i,C,C,5,,50mA10,6dt,t1,102. 1ms,t,4ms,dui,C,0dt3. 4ms,t,5ms,310, du,u,610i,C,C,5,,50mA10,6dt,t1,10作出电流的波形如题4.9解图所示。 题4.9解图 12(2)电容的电场储能由其他电压决定,由(t),C(t)和电压的
10、波形确定出; WuC21. ,2s,时,t121,6,10,3u,10mV,,5,,2.5,J,(10)W1010C1022. ,10s时,,t2 u,0,0WC4.10 题图中,若Uab=150V,求各电容上的电压。 解 ,并联的等效电容cc23,,,2,4,8Fccc2323按两电容串联时的分压关系,两端电压分别为cc2311150,,150,16.7VU238,198,,150,133.3VU194.11 线圈的L=10 mH,电流波形如题图中所示。作出关联参考方向下电压uL的波形。 解 1. ,1ms,t,0,di,i10,3,L,L,10,,0.1Vu10Ldt,t12. 0,t,3
11、ms,di,i,L,L,0uLdt,t3. 3ms,t,4msdi,i0,10,3,L,L,10,,0.1Vu10Ldt,t1作出电压的波形如题4.11解图所示。 题 4.11 解图 4.12 在题图中,电路已经稳定,试求: (1) 电容器C两端的电压; (2) 流过电感L的电流。 题4.12解图 的电路,如题4.12解图所示。 解 把原电路改画为计算,UILC0.80.81,,2,,2,A(1) I1(13)0.84.83,1依KVL,得 ,,3,2,2,5V UC3222,(2) 2A,1A II12,32,10.81.2,0.8,3222则 ,,,,1,0.4A II322,35,,,2
12、,0.4,2.4A依KVL,得 IIIL132duLduCC4.13 试证明题图中的uS和uC的关系式为 LC,,,u,uCSdtRdt题4.13解图 解 给原图中标注各支路电流及如题4.13解图所示,依KVL和KCL,有 uL,,uuuLCs且 ,i,,uuiiCRRC根据电阻、电感元件的VAR,有 ddiuuuCCR,L,C iuiRLCRRdtdtd(,)diiiRCL,,L,,即 uuuuCSCSdtdtddiiCRL,L,,代入,得 uuCSdtdtduuCCd(C)d()dtRL,L,,即 uuCSdtdt2dLduucCLC,,亦即 uu2CSRdtdtu(t),2002sin(
13、100t,2/3)V4.14 一个“220V 100W”的灯泡,电压 (1) 写出电流的解析式; (2) 求20小时消耗的电能; (3) 电压降低20V,求它的电流和功率 10022,解 (1)i(t),2sin(100t,),0.452sin(100t,)A ,20033(2)由于实际电压等于额定电压,灯泡的功率P=100W,W=0.1KW,所以,消耗的电能 ,,W=Pt=0.120=2KWh(度) 2U(3)电压降低20V后的值为200V,依可求出灯泡的电阻, P,R22U220 R,484,P100200UI,0.413A则 R484,UI,200,0.413,82.6WPu(t),20
14、02sin(100t,2/3)V4.15 把 的电压作用于电阻略去不计,L=0.8H的线圈。 (1) 试求线圈的电流、无功功率、磁场储能的最大值; (2) 如果电压有效值不变,频率变为150Hz,无功功率为多少,并比较两种情况下电压与电流相位差。 ,L,2,fL,314,0.8,251.2,解 XL,U,220251.2,0.876A(1)线圈的电流 IXLL无功功率 ,U,220,0.876,192.7V,AQILL2112磁场储能最大值 ,L,,0.8,,0.614JW(0.8762)ImLm22(2) 频率变为150Hz,是原来的3倍,则感抗为原来的3倍,电压不变,则电流是原来的1/3,
15、无功1功率亦为原来的1/3,即 ,,192.7,64.23VarQL30两种情况下元件的性质未变,所以,电压、电流的相位差不变,电压比电流超前 90u(t),66002sin(100,t,2,/3)V4.16 电阻不计,C=10F的电容的电压 。求: (1) 电流、无功功率和电场储能的最大值; (2) 在计时起点后经过T/3时电压和电流的瞬时值。 511110,318.5, 解 X,6C,C,fC2314314,10,10(1) 电容的电流 U,6600/318.5,20.7A ICXC无功功率 ,U,6600,20.7,136.7KV,AQICC211,26电场储能最大值 ,C,,10,,4
16、35.6J WU10(66002)Cmm22(2) 写出电流的解析式,再将t=T/3分别代入电压和电流的解析式中。 ,2,i(t),20.72sin(100t,,),20,.72sin(100t,)A326,TT2,i(),20.72sin(100,,),20.72sin(,)33636 ,20.72sin(),29.3A2TT,222u(),66002sin(100,,),66002sin(,),0,333334.17 一个电感元件的L=0.05H ,两端与50Hz的正弦电源相连接时,电流的有效值为7 A。 (1)如将一个电容元件连接到同样的电源上,电流仍为7A试求电容值; (2) 如果电源
17、电压不变,频率为400Hz,这两个元件的电流应变为多少? ,L,2,fL,314,0.05,15.7,解 XLU,I,7,15.7,109.9电感的电压 XL1(1) 由题意可知 ,15.7,XXCL,C111C,202.8,F则 314,15.74929.8,XC(2) 电压不变,频率变为400Hz时,是原来的8倍,则电感的感抗是原来的8倍,1,电容的容抗是原来的1/8, ,I,7,0.875A,8,I,8,7,56AII84.18 日光灯等效电路如题图所示,已知灯管电阻R1=280, 镇流器的电阻R=20,电感L=1.66H。电源为市电,电压U=220V,求电路中总电流I及各部分电压U1、
18、URL。 解 解题思路:计算出电路的总阻抗和镇流器的阻抗,再由伏安特性模值的关系计算出电ZZRL流I,然后计算出各部分的电压。 ,L,2,fL,314,1.66,521.24, XL镇流器的阻抗 2222,,,,,521.6, 20521.24ZRXRLL电路总的阻抗 2222 Z,,,,,601.4,R(,)300521.24XRL1则总电流 U220I,0.37A Z601.4灯管的电压 ,I,280,0.37,103.6VUR11镇流器的电压 ,I,0.37,521.6,193VUZRLRL4.19 电风扇的电动机绕组中,串联一电感进行调速, 等效电路如题图所示,R=190,XL=260
19、,,220V, f=50Hz, 要URL=180V,问串联的LX值应为多少? 解 解题思路:先由电动机绕组的端电压与阻抗计算出电流I,由总电压和I计算出总阻抗,Z然后由Z与各阻抗的关系求出感抗,最后计算出。电动机绕组的阻抗LLxx2222,,,, 190260ZRXRLL,36100,67600,103700,322,180URLI,0.56A电流 322ZRLU220总的阻抗 Z,392.9, I0.5622又因 Z,,(,,)RXLLX2222,260,Z392.9190LRXXL所以 ,343.9,260,83.9,83.983.9则 ,0.267H,267mH LX,3144.20 C
20、=0.01F的电容与R=5.1k的电阻串联接在 、f=1180Hz 的电源上。u(t),22sin,tV电阻的电压为uR。 试求:(1)u,; (2)uR比u超前或滞后的角度。 画出相量图。 解 解题思路:先计算出总的阻抗值和阻抗角,再计算出电流I和,并写出的解析式,ZUuRCRR由解析式确定出超前的相角。 比uuR111,X,26C,C2fC,1180,2,1010184,,,1.35,,13.5K,10101180,6.28Z,R,j,5.1,j13.5,14.1,,69.3:K,XC,U2,0:,I,0.14,69.3:mAZ14.4,,69.3:,,RI,5.1,0.14,69.3:,
21、0.71,69.3:V,UR(1) (t),0.712sin(2,,1180t,69.3:),0.712sin(7410t,69.3:)VuR(2) 由于电压u的初相为零,因此比u超前的相角为,相量图如题4.20解图所示。 69.3:uR题4.20解图 4.21 用三表(电压表、电流表、功率表)法,可测出电感线圈的电阻和电感,电路图如题图所示。电源为工频电源。三表的读数分别为15V、1A、10W,试求R和L的值。 解 解题思路:电压表可视为开路,电流表可视为短路。应注意,功率表测量出电路的有功功率就是电阻R的功率,由功率和电流可计算出电阻。由电压和电流可求出总阻抗,再由与ZZRLRL,LR和出
22、的直角三角形关系求出,最后由的关系计算出电感L。 XXXLLLUP2由计算出电感线圈的电阻,电感线圈的阻抗. ,15,10,P,RRZI2RLII22,,又因 ZRXRLL2222所以 L ,125,11.2,1510XZRLRLXLL,11.2/314,0.0357H,35.7mH则 ,4.22 R=10 ,L=0.211H,C=65F的串联电路接220V的工频正弦电源上。已知t=0时的电源电压为155.5 V,试求T/4时i、 uR、uL、uC的值。 解 作出电路的相量模型如题4.22解图所示,其中 ,L,2fL,314,0.211,66.3,XL111,49, X,6CC2fC,314,
23、65,10Z,10,j(66.3,49),10,j17.3,20,60:,设 (),2202sin(,),311sin(314,),ut,ttV依题给条件,有,uu155.5sin,0.5,u311取其中的锐角,则 ,30:,uu(t),2202sin(314t,30:)V,U220,30:,I,11,,30:AZ20,60:,,RI,10,11,,30:,110,,30:VUR,,jI,j66.3,11,,30:,729.3,60:VXULL,,jI,j49,11,,30:,539,,120:VXUCCi(t),112sin(315t,30:)A(t),1102sin(314t,30:)Vu
24、R(t),729.32sin(314t,60:)VuL(t),5392sin(314t,120:)VuC,T2/T,(),90:,442422,Ti(),112sin(90:,30:),112sin60:,13.47A4T(),1102sin(90:,30:),1102sin60:,134.7VuR4T(),729.32sin(60:,60:),729.32sin150:,515.6VuL4T(),5392sin(90:,120:),5392sin(,30:),381.1VuC4u(t),102sin(314t,30:)V4.23 在R、L、C串联电路中,电源电压 , R=10 ,XL=15,
25、I,XC=5,求此电路的复阻抗Z,电流 , 电压 、 , 并画出相量,URULUC图。 ,U,10,30:V,解 由题给条件可写出计算出Z,然后求出各元件的电压相量。 Z,R,jX,R,j(,),10,j10,102,45:,XXLC,U10,30:,I,0.707,,15:AZ102,45:,,RI,0.707,,15:V, UR,,jI,j15,0.707,,15:,10.6,75:V,XLUL,j,j5,0.707,,15:,3.5,,105:V,XCUC相量图如题4.23解图所示。 题4.23解图 , ,阻抗Z1=40+j30、Z2=20,j20、Z3=60+j80相串联。 试求: 4
26、.24 电源电压 U,100,30:V(1) 总的复阻抗; ,I (2) 电路电流 ; ,UUU312 (3) 、 、 ,并作相量图 ,40,j30,50,37:,20,j20,202,,45:,ZZ12,60,j80,100,53:,Z3(1)Z,,,(40,20,60),j(30,20,80),30(4,j3),150,37:,ZZZ123,U100,30:,(2)I,0.667,,7:A解 Z150,37:,(3),I,50,37:,0.667,,7:,33.3,30:V,Z1U1,,I,202,,45:,0.667,,7:,18.85,,52:V,Z2U2,,I,100,53:,,7:
27、,66.7,46:V,Z3U3作相量图如题4.24解图所示。 题4.24解图 4.25 (1) 试证明题图(a)中L=C/,G2+(C)2,时, 端口电压、 电流同相。(2) 题图(b)中,已知i(t)=4sin10t A,uab=200sin(10t-53?),,求R和C。 1)求证思路:端口电压、电流同相的前提是复阻抗Z必须呈纯阻性。因此求Z是关键。解 (Z,j,,对于,先计算出复阻抗,再利用其倒数求Z比较简便。 XZZLGCGC,G,jCYGC,11G,jCGC,jZ222222222GC,G,jC,,YGCGCGCGCGC,Z,j,,,j(L,)XZ222222LGC,,GCGCC,当
28、L,时,有ImZ,0,则电路呈纯电阻性,u与i同相。222,G,C(2)解题思路:由和可求出复导纳,另外再按R、C并联关系求出复导纳,两个复导,UImmab纳应相等,通过比较即可求出R、C的值。由题中两个解析式可知 ,4,0:A,Im,,200,,53:VUmab,4,0: ImY,0.02,53:,0.012,j0.016S200,,53:,Umab1依Y,,j,C,R两个复导纳的实部与虚部相比较,得 11,C,0.016R0.012 10.016则R,83.3,C,0.0016F,1600,F0.0121034.26 RC并联电路中,已知R=10k,C=0.2F, ,试求总i(t),102
29、sin(10t,60:)mAC电流i,并画出相量图。 解 作出电路的模型如题4.26解图(a)所示。 113,5,,5k,10XC3,6,C,0.2,1010,U,j,j5,10,60:,50,,30:VXUUICCRC,50,,30:UR,,5,,30:AIRR10,I,,,5,,30:,10,60:,4.33,j2.5,5,J8.66 IIRC,9.33,j6.16,11.2,33.4:mA3i(t),11.22sin(t,33.4:)mA10相量图如题4.26解图(b)所示。 题4.26解图 114.27 R、L、C并联电路中,电压电流为关联参考方向, R=25 ,L=50 mH,C=50F,端口G,0.04SR25,III电流 ,=1000 rad/s,试求 、和。 I,5,0:AUCRL11,0.02SBXLL解 解题思路:先计算出复导纳Y,再按伏安关系的相量形式计算总电流和各支路电流的相量。 L,50,1,C,,50,,0.05S,3,3BC1010XC3,6Y,G,j(,),0.04,j0.03,0.05,37:,BBCL1010,I5,0:,U,100,,37:VY0.05,37: ,,GU,0.04,100,,37:,4,,37:A,IR,,jU,0.02,100,,(37:,9
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