六大基本初等函数图像及其性质.docx
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六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质
、常值函数（也称常数函数）y二C（其中C为常数）；
常数函数（yC）
C0
C0
y」
yC
yj
yo
O
A
O
平行于x轴的直线
y轴本身
定义域R
定义域R
、幂函数yx，x是自变量，是常数;
1）当a为正整数时，函数定义域为区间为X（,），他们图形都经过原点，并当a>1时在原
点处与X轴相切。
且a为奇数时，图形关于原点对称；a为偶数时图形关于y轴对称；
2）当a为负整数时。
函数的定义域为除去X=0的所有实数；
3）当a为正有理数m时，n为偶数时函数的定义域为（0,+8）,n为奇数时函数的定义域为（-
n
8，+8）,函数的图形均经过原点和（1,1）；
4）如果m>n图形于x轴相切，如果mn为奇数时，定义域为去
1），定义域是R；
5）当a为负有理数时，n为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数;
除x=0以外的一切实数。
三、指数函数yax（x是自变量，a是常数且a0,a
［无界函数］
1.
指数函数的图象
2.指数函数的性质；
性质函数f
x
ya（a1）
x
ya（0a1）
定义域
R
值域
（0,+8）
奇偶性
非奇非偶
公共点
过点（0,1）,即x0时，y1
单调性
在（，）是增函数
在（，）是减函数
1）当a1时函数为单调增，当0a1时函数为单调减；
2）不论x为何值，y总是正的，图形在x轴上方；
3）当x0时，y1,所以它的图形通过（0,1）点。
第2页
4.指数的运算法则（公式）；
四、对数函数ylogaX（a是常数且a0,a1），定义域X（0,）［无界］
1.对数的概念：
如果a（a>0,1）的b次幕等于N,就是abN，那么数b叫做以a为底N的对数，
记作logaNb,其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式。
对数函数ylOgaX与指数函数yax互为反函数，所以ylOgaX的图象与yax的图象关于直线yx对称。
2.常用对数：
logioN的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数记作lgN。
3.自然对数：
使用以无理数e2.7182为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数logeN简
记作lnN。
4.对数函数的图象：
yX1y|X1
"：
ylogax（a1）
5.对数函数的性质；
、、性质
函数
ylogax
（a1）
ylogax
（0a1）
定义域
（0,）
值域
R
奇偶性
非奇非偶
公共点
过点（1,0）,即x
1时，y0
单调性
在（0,+8）上是增函数
在（0,+m）上是减函数
1）对数函数的图形为于y轴的右方，并过点（1,0）;
2）当a1时，在区间（0,1）,y的值为负，图形位于x的下方；在区间（1,+）,y值为正，图形位于
x轴上方，在定义域是单调增函数。
a1在实际中很少用到。
6.（选，补充）对数函数值的大小比较
a.底数互为倒数的两个对数函数
ylogaX,ylog1x
a
的函数图像关于x轴对称。
lOg3X
b.1.
b.2.当（0a1）时，a值越大，f（X）loga
的图像越远离x轴。
7.对数运算法则（公式）；
a.如果a>0,a工1,M>0,N>0，那么:
logaMN
lOgaMlogaN
M
logaN
logaMlogaN
logaMn
nlogaM
b.对数恒等式:
logaN
a
（a0且a1,N0）
d.对数运算性质
（1）1的对数是零，即loga10；同理ln10或lg1
X
a
logaX
2
当a1时，a值越大，f（X）
c.换底公式:
（1）logbN
logaNlogab
（a0,a
1,一般常常
换为e或10为底的对数
logbN件）
lgb
即logb
（2）由公式和运算性质推倒的结论:
loganbn
mlogab
⑵底数的对数等于1，即logaa1；同理lne1或lg101
log1x
3
lnNlnb或
五、三角函数
1.正弦函数ysinx,有界函数，定义域x（,），值域y[1,1]
3
图象：
五点作图法：
0,—,,—，2
22
1
了=鈕図r
UX.厂\—一
「i
2.余弦函数ycosx，有界函数，定义域x（,），值域y[1,1]
f性质函数
y
sinx（k
Z）
y
cosx（kZ）
定义域
R
值域
[-1,1]
[-1,1]
奇偶性
奇函数
偶函数
周期性
T2
T2
对称中心
（k,0）
（k—,0）
2
对称轴
xk—
2
（k-,0）
2
在x
2k
—,2k
22
上是增函数
在x
2k
2k上是增函数
单调性
在x
2k
2k3
22
上疋减函数
在x
2k
2k上是减函数
x2k
7时，
/max1
x
2k时，ymax1
最值
x2k
匚时，y
2
min1
x
2k
时，『min1
4.正切函数ytanx，无界函数，定义域
xxk—,（kZ），值域y（y*2
6.正、余切函数的性质;
j、性质函数f、、、
ytanx（kZ）
ycotx（kz）
定义域
xk
2
xk
值域
R
R
奇偶性
奇函数
奇函数
周期性
T
T
单调性
在（一k,—k）上都是增函数
22
在（k,（k1））上都是减函数
对称中心
kc、
（2，。
）
k
（2°
零点
（k,0）
（k—,0）
2
9.正、余割函数的性质;
生质
函数
y
secx（k
Z）
y
cscx（k
Z）
定义域
x
x—k
Xxk
2
值域
（
1][1,
）
（
1][1,
）
奇偶性
偶函数
奇函数
周期性
T2
T2
（2k
-,2k
）（2k
2k
3）
（2k
2k—）
（2k3
2k
2）减
2
2
2
2
单调性
减
（2k
-,2k
2
）（2k
2k
3
2）
（2k
，2kI
）（2k
—,2k
2
）增
增
续表:
性质函数\
ysecx（kZ）
ycscx（kz）
对称中心
（k一，0）
2
（k,0）
对称轴
xk
x—k
2
渐近线
x—k
2
xk
六、反三角函数
1.反正弦函数yarcsinx,无界函数，定义域［-1,1］，值域［0,］
yarcsinx
2.反余弦弦函数yarccosx，无界函数，定义域［-1,1］，值域［0,］
3.反正、余弦函数的性质;
生质
函数
yarcsinx
yarccosx
定义域
[-1,1]
[-1,1]
值域
[0,]
[0,]
奇偶性
奇函数
非奇非偶函数
单调性
增函数
减函数
yarctanx
5.反余切函数yarccotx，有界函数，定义域x（,）,值域o,
d.反余切函数概念：
余切函数ycotx在区间o,
上的反函数称为反余切函数，记为
6.反正、余弦函数的性质;
函数
性质
yarctanx
yarccotx
定义域
R
值域
2，2
0,
奇偶性
奇函数
非奇非偶
单调性
增函数
减函数
1
三角函数公式汇总
一、任意角的三角函数
在角的终边上任取一点P（X,y），记：
rx2y
正弦：
sin
y
余弦：
cos-
r
r
正切：
tan
y
余切：
cot—
X
y
正害U：
sec
r
余害U：
csc—
X
y
、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：
sin
csc
1，cos
sec
1，tancot1
商数关系：
tan
sin
，cot
cos
cos
sin
平方关系：
sin2
cos2
1,1
tan2
222
sec，1cotcsc
三、诱导公式
x轴上的角，口诀：
函数名不变，符号看象限;y轴上的角，口诀：
函数名改变，符号看象限。
四、和角公式和差角公式
sin（
）sin
cos
cos
sin
tan（
）
tan
tan
sin（
）sin
cos
cos
sin
1tan
tan
cos（
）cos
cos
sin
sin
tan（
）
tan
tan
cos（
）cos
cos
sin
sin
1tan
tan
五、二倍角公式
sin2
2sin
cos
tan2
2tan
1tan2
cos2
2cos
.2sin
2cos2
11
2sin2
二倍角的余弦公式常用变形：
（规律：
降幕扩角，升幕缩角）
2
六、三倍角公式
sin3
3sin
4sin3
4sin
sin（—
3
）sin（—）
3
cos3
4cos
3
3cos
4cos
cos（—
3
）cos（§）
tan3
3tan
tan3
tan
tan（3
）tanq）
1
3tan2
sinsin
七、和差化积公式
八、辅助角公式
asinxbcosx\a2b2sin（x
其中：
角的终边所在的象限与点（a,b）所在的象限相同,
b
』cos
、a2b2，
0,0）
周期：
T2
函数yAtan（x），xk
尹Z（A，
为常数，且A0,0）
周期：
T—
十、正弦定理
2R（R为ABC外接圆半径）
abc
sinAsinBsinC
十^一、余弦定理
a2b2c22bccosA
b2a2c22accosB
c2a2b22abcosC
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