新版湘教版初一数学七年级下册 第三章 全章教案教学设计.docx

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新版湘教版初一数学七年级下册第三章全章教案教学设计

多项式的因式分解

教学目标

1、知识与技能：

使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.

2、过程与方法：

通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系。

3、情感态度与价值观：

培养学生的观察能力和语言概括能力.

教学重点

1.理解因式分解的意义.

2.识别分解因式与整式乘法的关系.

教学难点

通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.

教学目标

一、预学

（一）、创设问题情境,引入新课

计算（a+b）（a－b）

a2－b2=（a+b）（a－b）成立吗？

那么如何去推导呢？

这就是我们即将学习的内容：

因式分解的问题.

（二）、讲授新课

1.讨论6能被2整除吗？

你是怎样想的？

与同伴交流.

6能被2整除.

因为6=3×2

其中有一个因数为2，所以6能被2整除..6还能被哪些正整数整除？

还能被3整除.

从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.

二.探究

你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？

与同伴交流.

观察x2－x与x2－1这两个代数式.

三、精导

（1）计算下列各式：

①（m+4）（m－4）=__________;②（y－3）2=__________;

③3x（x－1）=__________;④m（a+b+c）=__________;

⑤a（a+1）（a－1）=__________.

（2）根据上面的算式填空：

①3x2－3x=（）（）;②m2－16=（）（）;

③ma+mb+mc=（）（）;④y2－6y+9=（）2.

能分析一下两个题中的形式变换吗？

在

（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；

在

（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式.

在

（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；

在

（2）中由多项式变成整式乘积的形式是因式分解.

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式

四、提升

由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？

由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？

你还能举一些类似的例子加以说明吗？

由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是整式乘法，由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反.

由（a+b）（a－b）=a2－b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2－b2=（a+b）（a－b）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反.

如：

（1）m（a+b+c）=ma+mb+mc

（2）ma+mb+mc=m（a+b+c）

联系：

等式

（1）和

（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.

区别：

等式

（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.

等式

（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.

所以，因式分解与整式乘法是互逆方向的变形.

5.例题：

下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？

（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;

（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;

（3）a2－4=（a+2）（a－2）;

（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.

（1）左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，不是因式分解；

（2）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；

（3）和

（2）相同，是因式分解；

（4）不是因式分解，左右都是和形式。

例解方程：

x2-1=0

解把方程左端的多项式因式分解，得

（x-1）（x+1）=0

从而得

x+1=0或x-1=0,

即x=-1或x=1.

因此方程的解是x=-1或x=1.

五、课堂练习连一连

解：

六.课时小结

本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是互逆方向的变形.

提公因式法

教学目标：

会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法分解多项式的因式.

重点难点：

重点：

用提公因式法分解因式.

难点：

确定多项式中的公因式.

教学过程：

一、创设情境，导入新课

1．如图，我们学校篮球场的面积是ma+mb+mc，长为a+b+c，

宽为多少呢？

这个问题实际上就是求（am+bm+cm）÷（a+b+c）=______

为了解决这个问题请你先思考：

2．如图，某建筑商买了一块宽为m的矩形地皮，被分成了三

块,矩形宽度分别是a，b，c，这块地皮的面积是多少？

提问：

把ma+mb+mc写成m（a+b+c）叫什么运算？

怎样分解因式？

这节课我们来学习第一个方法-------提公因式法

二、合作交流，探究新知

1．公因式的概念

（1）式子：

am，bm，cm，是由哪些因式组成的？

指出：

其中m是他们的公共的因式，叫公因式

（2）你能指出下面多项式中各项的公因式吗？

；（5）

2．提公因式法

把ma+mb+mc分解成：

ma+mb+mc=m（a+b+c），用到什么依据？

这种因式分解有什么特点？

用到了乘法分配律，特点：

把各项的公因式提出放到括号外面，叫提公因式法.

3．应用举例

例1把因式分解

强调：

（1）公因式确定后，另一个因式怎么确定？

（2）某一项全部提出后，还有因数“1”

例2把因式分解.

强调：

（1）首项系数是负数时，取其绝对值找最大公因数.

（2）首项为负时，最好提出负号.

例3把因式分解

强调：

公因式确定的方法：

1、系数：

取各系数的最大公约数.如果绝对值较大，可以分解质因数求最大公因数；如：

求48、36的最大功因数48=，36=，那么就是他们的最大公约数

2、对于字母，取各项都有的，指数最低的.如：

与，取做为公因式的字母因式

3、公因式确定后，另一个因式可以用多项式除以公因式.

考考你：

1.a²x+ay-a³xy在分解因式时，应提取的公因式（）

A.a²B.aC.axD.ay

2.下列分解因式正确的个数为（）

（1）5y³+20y²=5y（y²+4y）

（2）a²b-2ab²+ab=ab（a-2b）（3）–a²+3ab-2ac=-a（a+3b-2c）

（4）-2x²-12xy²+8xy³=-2x（x+6y²-4y³）

A.1B.2C.3D.4

三、应用迁移，巩固提高

1．提公因式法在计算方面的应用

例4如图，a=4.6cm，b=1.3cm，求阴影部分的面积.

2．提公因式法在证明中的应用

例5必能被45整除吗？

试说明理由.

四、课堂练习，巩固提高

五、课堂小结，拓展提高.

这节课我们学习了因式分解的什么方法？

应注意什么？

提公因式法

【教学目标】

　1、知识与技能：

⑴在具体情境中认识公因式

⑵通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式

2、过程与方法：

⑴树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。

⑵树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力。

3、情感、态度与价值观：

在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。

【教学重点、难点】

　1．教学重点∶掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。

⒉．教学难点∶正确地找出公因式

【教学过程】

㈠预学

如图8－1，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是3.7m,如何计算这块菜园的面积呢？

3.8

列式：

3.7×3.8+3.7×6.2（学生思考后列式）

3.7有简便算法吗?

=3.7×（3.8+6.2）

3.7=3.7×10=37（m2）

6.2图8-1

在这一过程中,把3.7换成m,3.8换成a,6.2换成b,于是有:

ma＋mb=m（a＋b）

利用整式乘法验证:

m（a＋b）=ma＋mb

㈡探究

让学生观察多项式：

ma+mb

（让学生说出其特点：

都有m，含有两种运算乘法、加法；然后教师规范其特点，从而引出新知。

）

各项都含有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式。

注意：

公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式。

又如：

b是多项式ab-b2各项的公因式

2xy是多项式4x2y-6xy2z各项的公因式

让学生说出公因式，学生可能会说是2或者是x、y、2x、2y、2xy等，最后一起确定公因式2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法。

㈢精导

指出下列各多项式中各项的公因式（以抢答的形式）

⑴ax+ay-a（a）

⑵5x2y3-10x2y（5x2y）

⑶24abc-9a2b2（3ab）

⑷m2n+mn2（mn）

⑸x（x-y）2-y（x-y）（x-y）

说明:

本活动也可以改为寻找公因式游戏如:

（根据提供的多项式和整式,寻找出这个多项式的公因式.）

⑴ax+ay-a⑵5x2y3-10x2y⑶24abc-9a2b2⑷m2n+mn2⑸x（x-y）2-y（x-y）

a,x,y5xy,5x2y3,5x2y3abc,9ab,3abmn,m2n,mn2x（x-y）,y（x-y）,（x-y）

游戏规则:

准备好写有整式和多项式的纸牌,学生分为四组,每组选四个同学游戏,其中3个同学举一组题中的整式牌,第四个根据组员建议寻找出题中的公因式,并说明理由。

显然由定义可知，提取公因式法的关键是如何正确地寻找确定公因式的方法：

（可以由学生讨论总结，然后教师进行归纳）

⑴公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时）

⑵字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂

根据分配律，可得m（a+b）=ma+mb逆变形，使得到ma+mb的因式分解形式：

ma+mb=m（a+b）这说明多项式ma+mb各项都含有的公因式可提到括号外面，将多项式ma+mb写成m（a+b）的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

　　　定义：

一般地，如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提取公因式法。

㈣例题教学，运用新知

例1．把3pq3+15p3q分解因式

通过上面的练习，学生会比较容易地找出公因式，所以这一步还是让学生来操作。

然后在黑板上正确规范地书写提取公因式法的步骤。

事后总结出提取公因式的一般步骤分两步：

第一步：

找出公因式；第二步：

提取公因式

解：

3pq3+15p3q=3pq×q2+3pq×5p2=3pq（q2+5p2）

让学生口答：

把2x3+6x2分解因式

【学生在探究、交流中能获得一些初步概念和技能，但真正达到掌握知识与技能，还需要教师示范，学生模仿性学习，经过规范化的示范，就能逐步培养学生严谨的思维，正确的计算能力。

】

说明：

⑴应特别强调确定公因式的两个条件,以免漏取.

　⑵刚开始讲,最好把公因式单独写出。

①以显提醒②强调提公因式③强调因式分解

例2．把4x2-8ax+2x分解因式（让学生做，教师下去观察并选择有代表性的解答。

）

学生可能出现的解答：

①4x2-8ax+2x=x（4x-8a+2）②4x2-8ax+2x=2（2x2-4ax+x）

③4x2-8ax+2x=2x（2x-4a）④4x2-8ax+2x=2x（2x-2a+1）

⑤4x2-8ax+2x=2x（2x-8ax+2x）

教师出示学生的解答，可先让学生自行点评，找出分解因式的错误，而且这些错