《利用函数性质判定方程解的存在》教学设计.docx
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《利用函数性质判定方程解的存在》教学设计
《利用函数性质判定方程解的存在》教学设计
单元课题：
函数与方程
一、课标要求与教材分析
这一节，是用函数来研究方程，具体研究的是方程的实数解，先是判断方程实数解的存在性，然后是求方程的近似解。
方程f（x）=0的实数解就是函数f（x）的零点，解方程的过
程（求方程的近似解）就是细化函数连续区间的过程。
这样容易看出函数对方程的统领作用，使学生感受函数的核心地位。
学生将通过本节学习，结合实际问题，感受运用函数概念简历模型的过程与方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活中的简单问题。
学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系，并为今后进一步学习函数与不等式等知识奠定了坚实的基础．
二、学情分析
高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位．
例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节内容必须承载的任务．
通过本节学习要让学生意识到“数学可以解决实际问题”并且也认识到“自己的数学知识还有待进一步提高”。
三、教学目标
1．知识与技能目标：
（1）正确认识函数与方程的关系，求方程f（x）=0的实数解就是函数f（x）的零点，体会函数知识的核心作用。
（2）能够利用函数的性质判定方程解得存在性
（3）能够用二分法求方程的近似解，认识求方程近似解方法的意义。
2．过程与方法目标：
在近似计算的学习中感受近似，逼近和算法等数学思想的含义和作用。
3．情感、态度和价值观目标：
通过本节的学习，进一步拓展学生的视野，使他们体会数学不同内容之间是存在一定联系的。
课时课题：
利用函数性质判定方程解的存在
一、教学目标：
（1）知识与技能目标
了解函数零点的概念；理解函数零点与方程的根之间的关系；掌握判断函数零点存在的方法；
（2）过程与方法目标
培养学生独立思考,自主观察和探究的能力；树立数形结合，函数与方程相结合
的思想；
（3）情感态度与价值观目标
培养学生用联系的观点看待问题；感悟由具体到抽象、由特殊到一般地研究方法，
形成严谨的科学态度。
二、教学重点：
函数零点与方程根之间的联系及零点存在的判定定理
三、教学难点：
探究发现零点存在条件，准确理解零点存在性定理
四、教学方法与手段：
实例引入、探究新知、实践探索、总结提炼、总结、反思。
五、使用教材的构想：
倡导积极主动，勇于探索的学习方式，运用数形结合、教师引导——学生探索相结合的教学方法，学生亲身经历、感受来获取知识，培养学生观察、发现、抽象与概括、运算求解等思维过程。
六、教学流程
（一）设置情景，导入新课
1、实例引入
解方程：
（1）2-x=4；
（2）2-x=x．
设计意图：
通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求知的热情．
2、一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系．
填空：
方程
x2-2x-3=0
x2-2x+1=0
x2-2x+3=0
根
x1=-1，x2=3
x1=x2=1
无实数根
函数
y=x2-2x-3
y=x2-2x+1
y=x2-2x+3
图象
图象与x轴的交点
两个交点：
（-1,0），（3,0）
一个交点：
（1,0）
没有交点
问题1：
从该表你可以得出什么结论？
归纳：
判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
方程ax2+bx+c=0（a>0）的根
两个不相等的实数根x1、x2
有两个相等的
实数根x1=x2
没有实数根
函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象
函数的图象与x轴的交点
两个交点：
（x1,0），（x2,0）
一个交点：
（x1,0）
无交点
问题2：
一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？
学生讨论，得出结论：
一元二次方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标．
设计意图：
通过回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数的图像及相应方程的根的关系作准备．
3、一般函数的图象与方程根的关系．
问题3：
其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？
请举例！
师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，现场在课件上展示类似如下函数的图象：
y＝2x－4，y＝2x－8，y＝ln（x－2），y＝（x－1）（x＋2）（x－3）．比较函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论：
方程f（x）＝0有几个根，y＝f（x）的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．
设计意图：
通过各种函数，将结论推广到一般函数，为得到零点概念做好铺垫．
（二）引导探究，获得新知
1、函数零点．
概念：
对于函数y＝f（x），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点．
即兴练习：
函数f（x）=x（x2－16）的零点为（）
A．（0，0），（4，0）B．0，4C．（–4，0），（0，0），（4，0）D．–4，0，4
设计意图：
及时矫正“零点是交点”这一误解．
说明：
①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．
②求函数零点就是求方程f（x）＝0的根．
2、归纳函数的零点与方程根的关系．
问题4：
函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？
（1）联系：
①数值上相等：
求函数的零点可以转化成求对应方程的根；
②存在性一致：
方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．
（2）区别：
零点是对于函数而言，根是对于方程而言．
以上关系说明：
函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础．
练习：
求下列函数的零点：
设计意图：
使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）．
3、零点存在性定理的探索．
问题5：
在怎样的条件下，函数y＝f（x）在区间[a，b]上一定有零点？
探究：
（1）观察二次函数f（x）＝x2－2x－3的图象：
在区间[-2，1]上有零点______；
f（-2）=_______，f
（1）=_______，f（-2）·f
（1）_____0（“＜”或“＞”）．
在区间（2，4）上有零点______；f
（2）·f（4）____0（“＜”或“＞”）．
（2）观察函数的图象：
①在区间（a，b）上___（有/无）零点；f（a）·f（b）___0（“＜”或“＞”）．
②在区间（b，c）上___（有/无）零点；f（b）·f（c）___0（“＜”或“＞”）．
③在区间（c，d）上___（有/无）零点；f（c）·f（d）___0（“＜”或“＞”）．
设计意图：
通过归纳得出零点存在性定理．
4、零点存在性定理：
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）＜0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点．即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．
即兴练习：
下列函数在相应区间内是否存在零点？
（1）f（x）=log2x，x∈[
，2]；
（2）f（x）=ex-1+4x-4，x∈[0，1]．
设计意图：
通过简单的练习适应定理的使用．
（三）例题剖析，巩固新知
例1判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：
（1）已知函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，且f（a）·f（b）<0，则f（x）在区间（a，b）内有且仅有一个零点．（）
（2）已知函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，且f（a）·f（b）≥0，则f（x）在区间（a，b）内没有零点．（）
（3）已知函数y=f（x）在区间[a，b]满足f（a）·f（b）<0，则f（x）在区间（a，b）内存在零点．
（）
请一位学生板书反例，其他学生补充评析，例如：
归纳：
定理不能确定零点的个数；定理中的“连续不断”是必不可少的条件；不满足定理条件时依然可能有零点．
设计意图：
通过对定理中条件的改变，将几种容易产生的误解正面给出，在第一时间加以纠正，从而促进对定理本身的准确理解．
例2：
求函数f（x）＝lnx＋2x－6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1]（n∈Z）．
解法1（借助计算工具）：
用计算器作出x、f（x）的对应值表．
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f（x）
-4.0
-1.3
1.1
3.4
5.6
7.8
9.9
12.1
14.2
由表可知，f
（2）<0，f（3）>0,则f
（2）f（3）<0，这说明函数f（x）在区间（2，3）内有零点．
问题6：
如何说明零点的唯一性？
又由于函数f（x）在（0，+∞）内单调递增，所以它仅有一个零点．
解法2（估算）：
估计f（x）在各整数处的函数值的正负，可得如下
x
1
2
3
4
f（x）
－
－
＋
＋
结合函数的单调性，f（x）在区间（2，3）内有唯一的零点．
解法3：
将方程lnx＋2x－6=0化为lnx=6-2x，分别画出g（x）=lnx与h（x）=6-2x的草图，从而确定零点个数为1．继而比较g
（2）、h
（2）、g（3）、h（3）等的大小，确定交点所在的区间，即零点的区间．
由图可知f（x）在区间（2，3）内有唯一的零点．
设计意图：
通过例题分析，能根据零点存在性定理，使用多种方法确定零点所在的区间，并且结合函数性质，判断零点个数．解法3难度比较大，视学生基础而定．
（四）尝试练习，检验成果
（1）已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
f（x）
23
9
－7
11
－5
－12
－26
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（）
A．5个B．4个C．3个D．2个
（2）方程–x3–3x+5=0的零点所在的大致区间为（）
A．（–2，0）B．（0，1）C．（0，1）D．（1，2）
（3）求方程2-x=x的解的个数，并确定解所在的区间[n，n+1]（n∈Z）．
设计意图：
一方面促进对定理的活用，另一方面与引例相呼应，也是例题方法的巩固，为下一节课作铺垫．
（五）课堂小结
（1）一个关系：
函数零点与方程根的关系：
（2）两种思想：
函数方程思想；数形结合思想．
（3）三种题型：
求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间．
（六）布置作业，独立探究．
1．函数f（x）＝（x＋4）（x－4）（x＋2）在区间[-5，6]上是否存在零点？
若存在，有几个？
2．利用函数图象判断下列方程有几个根：
（1）2x（x－2）＝－3；
（2）ex－1＋4＝4x．
3．结合上课给出的图象，写出并证明下列函数零点所在的大致区间：
（1）f（x）=2xln（x-2）-3；
（2）f（x）＝3（x＋2）（x－3）（x＋4）＋x．
思考题：
方程2-x=x在区间______内有解，如何求出这个解的近似值？
请预习下一节．
设计意图：
为下一节“用二分法求方程的近似解”的学习做准备．
板书设计
1.1利用函数性质判断方程解的存在
1、零点概念：
例2：
…………………………
…………………………
2、方程的根与函数零点的关系：
…………………………
…………………………
…………………………
3、函数零点存在性定理的条件：
练习：
…………………………
…………………………
例1：
…………………………
…………………………
教学反思
本节课从生活实例出发，引导学生意识到的数学来源于生活并且可以运用到生活中，在课堂上采用问题式教学,引导学生自主探究、合作学习、体会知识的形成过程，尽量
创设一个民主、和谐的课堂氛围，使学生感受到他们才是课堂的主人，体现新课标精神，在教学过程中对有些数学思想的渗透还不到位，课后需要进一步加强引导。
七、教师简介
姓名：
张锋职称：
初级学校：
濉溪县第二中学教学特色：
教学严谨
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