四面体外接球的球心半径求法.docx
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四面体外接球的球心半径求法
」、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
2
【原理】：
长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c,则体对角线长为
a2b2c2，几何体的外接球直径2R为体对角线长I即R
【例题】：
在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为1，6,3，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解：
因为：
长方体外接球的直径为长方体的体对角线长
所以：
四面体外接球的直径为AE的长
即：
4R2AB2AC2AD2
4R21232、6216所以R2
球的表面积为S4R216
二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：
直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：
已知三棱锥的四个顶点都在球0的球面上，ABBC且PA7,PB5,PC,51，AC10,求球0的体积。
解：
ABBC且PA7，PB5，PC51，AC10,
因为72,5?
102所以知AC2PA2PC2
所以PAPC所以可得图形为：
在RtABC中斜边为AC
在RtPAC中斜边为AC
OB
OC
OB
OC
OB
OC
在RtABC中0A
在RtPAC中OP
OA，即O为该四面体的外接球的球心
取斜边的中点O,
所以在几何体中OP
1
R-AC5
2
所以该外接球的体积为V
43500
_R
33
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解
【例题】：
已知在三棱锥ABCD中，AD面ABC，BAC120，ABADAC2，求
该棱锥的外接球半径解：
由已知建立空间直角坐标系
A（0,,0）B（2,0,0）D（0，,2）C（1,3，）
设球心坐标为O（x,y,z）则AO
BOCO
DO,由空间两点间距离公式知
x2
z2
（x
2）2
z2
x2y2z2
x2
y2（z2）2
（x
1）2
（y
解得x
所以半径为R
12（33）212
.21
3
【结论】：
空间两点间距离公式:
PQ
，（为X2）2（y1y2）2（乙Z2）2
四、四面体是正四面体
处理球的“内切”
“外接”问题
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。
作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。
解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。
一、棱锥的内切、外接球问题
例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？
分析：
运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。
解：
如图1所示，设点0是内切球的球心，正四面体棱长为称性知，点0也是外接球的球心.设内切球半径为
a.由图形的对r，外接球半径为R.
正四面体的表面积
4-^a2.3a2
4
正四面体的体积Vbcd
AE
.3
a
12
2AB2BE2
32a12
匝3
—a
12
3s表r
VABCD,
ABCD
ST"
23
a
12
..3a2
.6
a
12
在RtBEO中，BO2
BE2EO2，即R2
-a，得R
4
3r
【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四
等分点，即内切球的半径为h（h为正四面体的高），且外接球的半径3h，从而可以通过截面图中
44
RtOBE建立棱长与半径之间的关系。
例2•设棱锥MABCD的底面是正方形，且MAMD,MAAB，如果AMD的面积为1,试求能够放入这个棱锥的最大球的半径•
解：
ABAD,ABMA,AB平面MAD,
由此，面MAD面AC.记E是AD的中点，
从而MEAD.ME平面AC,MEEF
设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球•如图2,得截面图MEF及内切圆O
不妨设
O平面MEF，于是O是MEF
的内心.
O的半径为r,则
2SMEF
EFEMMF
ADEF
EM
2，m—
2
2
r
a
2
12
2
2
a—
a
—
a
X
a
2
2、2
当且仅当
2，即a.2时，等号成立.
a
•••当AD
ME、、2时，满足条件的球最大半径为..2
1.
练习：
一个正四面体内切球的表面积为3，求正四面体的棱长。
（答案为：
2）
【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。
二球与棱柱的组合体问题
1•正方体的内切球：
球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。
设正方体的棱长为a，球半径为R。
如图3，截面图为正方形
EFGH的内切圆，得Ra;
2
球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图
4作截面图，圆0为
正方形
EFGH的外接圆，易得
正方体的外接球：
正方体的八个顶点都在球面上，如图
5，以对角面AA1作截面图得，圆0为矩
.0
形AA1C1C的外接圆，易得RA,0—a。
2
例3.在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直,那么这个球的表面积是.
且PAPBPCa,
解：
由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱,
正方体的对角线长
就是球的直径，连结过点
C的一条对角线CD，则CD过球心0，对角线CD
■:
:
3a
与正方体各棱相切的球:
3a2
<3
S球表面积4a
2
练习：
一棱长为2a的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不
至于变形时的球的体积。
（答案为V—3.2a3—a3）
42
4.构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题
正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。
例4.已知三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点在球0^,上，又知球02与此正三棱柱的5个面都相切，求
球01与球02的体积之比与表面积之比。
分析：
先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。
解：
如图6，由题意得两球心
。
1、。
2是重合的，过正三棱柱的一条侧棱AA和它们的球心作截面,
设正三棱柱底面边长为
a，则R2
-a，正三棱柱的高为
6
h2R2
RtADQ中，得
R12
R1
12a
Sr:
S2
5:
1,V1:
V2551
52
a,
12
（答案为：
4...2R2）
【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。
勾股定理知，假设正四面体的边长为a时，它的外接球半径为—6a。
4
平面向量
重点知识回顾
1.向量的概念：
既有大小又有方向的量叫向量，有二个要素：
大小、方向•
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；②用字母a、bb等表示；③平面向量的坐标表示：
分别取与
x轴、y轴方向相同的两个单位向量ir、：
作为基底。
任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只
rr一r
有一对实数x、y，使得axiyj，（x,y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a（x,y），其中x叫做a
在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地，i（1,0），j（0,1），0（0,0）。
a.x2y2；
若佩花」。
，B（X2,y2），则ABx?
y1，ab..（X2—xj—®—yj2
3.零向量、单位向量：
①长度为0的向量叫零向量，记为0;②长度为1个单位长度的向量，叫单
—►
位向量.（注：
就是单位向量）
|a|
rr
4.平行向量：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a、b、
c平行，记作a〃b〃c.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量
5.相等向量：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量
6.向量的基本运算
（1）向量的加减运算
几何运算：
向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算：
设a=（x1,y1）,b=（x2,y2）则a+b=（x1+X2,y1+y2）a_b=（X1_X2,y1_y2）
（2）平面向量的数量积：
a?
b=abcos
设a=（x1,y1）,b=（x2,y2）则a?
b=X1X2+y1y2
（3）两个向量平行的充要条件//=入
若=（x1,y1）,=（x2,y2），贝U//X1y2-X2y1=0
（4）.两个非零向量垂直的充要条件是丄•=0
设=（x1,y1）,=（x2,y2），贝U丄x1X2+y1y2=0
.向量的加法、减法：
①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
②向量的减法向量
rrrr
a加上的b相反向量，叫做a与b的差。
即：
ab=a+（b）；
r—■-r
差向量的意义：
OA=a,OB=b,则BA=ab
3平面向量的坐标运算：
若a（x1,y1），b（x2,y2），则ab（x1x2,y1y2），
r[r
ab（xiX2,yiy?
），a（x,y）。
4向量加法的交换律：
a+b=b+a；向量加法的结合律：
（a+b）+c=a+（b+c）
7.实数与向量的积：
实数入与向量a的积是一个向量，记作：
入a
（1）|入a|=|入||a|；
（2）入＞0时入a与a方向相同；入＜0时入a与a方向相反；入=0时入a=0；（3）
运算定律入（a）=（入u）a,（入+^）a=入a+口a，入（a+b）=入a+入b
（x＞o）
8向量共线定理向量b与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：
有且只有一个非零实数入，使b=入a。
9.平面向量基本定理：
如果ei,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向
量a，有且只有一对实数入1，入2使a=^1e1+入2e2。
（1）不共线向量q、e2叫做表示这一平面内所有向
量的一组基底；
（2）基底不惟一，关键是不共线；（3）由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进
*■*■
行分解；（4）基底给定时，分解形式惟一.入1,入2是被a,e,e2唯一确定的数量。
—r—r—fc-—tr—fc-—*—fe-—fc-—r
10.向量a和b的数量积：
①a•b=|a|・|b|cos，其中€[0,n]为a和b的夹角。
②|b|cos
称为b在a的方向上的投影。
③a•b的几何意义是：
b的长度|b|在a的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。
④若a=（X1,y1）,b=（x2,y），则a?
bX1X2y°2
⑤运算律：
a•b=b•a,（入a）•b=a•（入b）=入（a•b）,（a+b）•c=a•c+b•c。
a?
b
⑥a和b的夹角公式：
cos'
X1X2y”2
...x12y1工
2
y2
a2|a12=x2+y2,或|a|=x2y2a⑧|
两向量平行、垂直的充要条件设a=（x1,y1）,
a•b=0,aba?
b=x1x2+y1y2=0;
②a〃b
（a丰0）充要条件是：
有且只有一个非零实数入，使
a//b
x』2X2Y!
向量的平行与垂直的坐标运算注意区别，在解题时容易混淆。
12•点P分有向线段P1P2所成的比的
RP
PP2,
P内分线段rp2时,
0;P
外分线段
PP2时,
0.定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式:
为X2
x
1
y%y2
1
X1X2
X
2
y
2
X2X3y1目2y）
四：
考点举例及配套课堂练习
（一）基础知识训练
1.下列命题正确的是
（例题讲解）
（A）单位向量都相等
（B）任一向量与它的相反向量不相等
2.
（C）平行向量不一定是共线向量（D）模为0的向量与任意向量共线
已知正六边形ABCDEF中，若ABa,FAb，则BC（）
3.
4.
11
（A）尹b）（B）2（a
b）（C）ab（D』ab
2
已知向量e1
（A）0
若向量a（
0,R,a
（B）e20
e1
e2,b=2e1若向量a与b共线，则下列关系一定成立是
（C）e1//e2
（D）e1//e2或0
1,x）,b（x,2）共线且方向相同，x=
（二）•典例分析
例1:
（1）设a与b为非零向量，下列命题:
①若a与b平行，则a与b向量的方向相同或相反;
（A）1个
（B）
2个
（C）3个
（D）4个
（2）
下列结论正确的是
（）
rr
r
r
r
r
rrrrrr
（A）
a
b
（B）<
a1:
a
b
（C）若（agD）c（cga）b0
（D）若a与b都是非零向量，则a
b的充要条件为aba
③若a与b共线，则ab
其中正确命题的个数有
ab；④若a与b反向，贝Ua
错解：
（1）有学生认为①②③④全正确，答案为4;也有学生认为①或④是错的，答案为2或3;
（2）A或
B或Co
分析：
学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆，致使选择错误。
第（i）小题中，正确的应该是①④，答案为2。
共线向量（a与b共线）的充要条件中所存在的常数
可看作为向量b作伸缩变换成为另一个向量a所作的伸缩量；若a,b为非零向量，则共线的a与b满
足a与b同向时a
ra-
r,a与b反向时a
rba-r-
b
第
（2）小题中，正确答案为（D）。
学生的错误多为与实数运算相混淆所致。
选择支D同时要求学生
明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法，并进行正确互化。
例2设a、b是两个不共线向量。
AB=2a+kbBC=a+bCD=a-2b
AB、D共线则k=（k€R）
解：
BD=BC+CDr+b+a-2b=2a-b2a+kb=入（2a-b）=2入a-入b2=2入且k=-入k=-1
例3梯形ABCD且|AB|=2|DC|,M、N分别为DCAB中点。
AB=aAD=b用a,b来标DCBCMN
解:
DC=丄AB=-aBC=BD+DC=（AD-AB）+DCb-a+-a=b--MN=DN-DM=a-b--a=-a-b
22
2
2
244
例4
|a|=10b=（3,-4）且a//b求
a
解:
设a=（x,y）则x+y=100
（1）由a/b得
-4x-3y=0
（2）
解
（1）
（2）得x=6y=-8
o或x=-6y=8/■
a=（6,-8）
或（-6,8）
五.归纳小结
1.向量有代数与几何两种形式，要理解两者的内在联系，善于从图形中发现向量间的关系。
2.对于相等向量，平行向量，共线向量等概念要区分清楚，特别注意零向量与任何向量共线这一情况。
要善于运用待定系数法。
课堂练习
1、下列命题正确的是（）
A若|a|0，则a
0
B
.若|a||b|，则a
b或a
b
C.若a||b，则|a|
|b|
D
.若a0,则a
f
0
2、已知平行四边形ABCD勺三个顶点A（2,1）、B（1,3）、C（3,4），则顶点D的坐标为（）
A（1,2）
（2,2）C.（2,1）D.（2,2）
3、设|a|m（m0），与a反向的单位向量是b0，则a用b0表示为
11
A.amb0b.amb0c.ab0d.ab0
mm
4、DE、F分别为ABC的边BCCAAB上的中点，且BCa,CAb，下列命题中正确命题的个数是（）
①AD
1-a
b;
②BE
-1.ab
占③CF
1■1.ab；
2
2
22
④AD
BE
CF
0。
A.1个
B
.
2个
C.
3个D
.4个
5、化简:
CE
AC
DE
aD=
o
6、已知向量a3,b（1,2），且ab，则a的坐标。
7、若a21,b22,aba0，则a与b的夹角为
8、已知向量a3e12§2,b4e1e2,其中e1（1,0）,e2（0,1）
求
（1）ab；ab的值；
（2）a与b的夹角。
9、如果向量a与b，c的夹角都是60，而b
c，且|占||b||c|1,求（a2c）?
（bc）的值。
PQ
t,OA
a,OBb,OCc，试用a,b,
10、如图，设O为ABC内一点，PQ//BC，且匸竺
BC
c表示OP,OQ.
f
/6駅
3U5、
/6/5
3U5、
D,B,B，D
5,0；6,
（——，—
一）,
（—一
一）
5
5
5
5
7,450,8
（1）a?
b=10,
ab=5屈
（2）
=arccos
10
>■''221
9,-110,
OP=（1-t）a+tb
OQ=（1-t）
a+tc
《平面向量》测试题
、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
2.下列命题中：
①若a与b互为负向量，则a+b=0;②若k为实数，且k•a=0，贝Ua=0或k=0:
③若a•b=0,则a=0或b=0;④若a与b为平行的向量，贝Ua•b=|a||b|;⑤若|a|=1，则a=±1.其中假命题的个数为（）
4.设|a|=1,|b|=2,且a、b夹角120°,则|2a+b|等于（）
5.已知△ABC的顶点坐标为A（3,4）,B（—2,-1）,C（4,5）,D在BC上，且，贝UAD的长为（）
6.已知a=（2,1）,b=（3,入），若（2a—b）丄b,则入的值为（）
A．3
B．—1
C.—1或3
D.—3或1
7.向量a=（1,
—2）,|b|=4|a|，且a、
b共线,则b可能是
（）
A．（4,8）
B．（—4,8）
C．（—4,—8）
D．（8,4）
8.已知△ABC中，
则a与b的夹角为
（）
A．30°
B．—150°
C．150°
D.30°或150°
b个单位（a>0,b>0）.设点P（a,b）
D.（00）
10•将函数y=f（x）的图象先向右平移a个单位，然后向下平移在y=f（x）的图象上，那么P点移动到点（）
A.（2a0）B.（2a2b）C.（02b）
二、填空题（本大题共4小题每小题4分共16分）
13.向量a=（2k+3,3k+2）与b=（3,k）共线,贝Uk=.
15.向量a=（1,1）,且a与（a+2b）的方向相同，贝Ua•b的取值范围是
三、解答题（本大题共6小题共74分）
17.（本小题满分12分）
设O为原点，，试求满足的的坐标.
18.（本小题满分12分）
设和是两个单位向量夹角是60°试求向量和的夹角.
19.（本小题满分12分）已知与的夹角为40°求与的夹角
（长度保留四位有效数字，角度精确到’）
1.C2.C3.B4.A5.C6.C7.B8.C9.A10.A11.C12.C
故0=120°
三角函数题解
1.（2003上海春，15）把曲线ycosx+2y—1=0先沿x轴向右平移—个单位，再沿y轴向下平移1个
2
单位，得到的曲线方程是（）
A.（1—y）sinx+2y—3=0
C.（y+1）sinx+2y+仁0
1.答案：
C解析：
将原方程整理为:
B.（y—1）sinx+2y—3=0
D.—（y+1）sinx+2y+仁0
1个单位，因此可得
1
y=—
y=
1
2cosx
因为要将原曲线向右、向下分别移动
—1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+仁0.
—个单位和
2cos（x）
2
.如果对平移有深刻理解，可直接化
评述：
本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式
为：
（y+1）cos（x—）+2（y+1）—仁0,即得C选项.
2
2.（2002春北京、安徽，5）若角a满足条件Sin2a<0,cosa—Sina<0，则％在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.
答案：
B解析：
sin2a=2sinacosa<0二sinacosa<0
即sina与cosa异号，a在二、四象限，又COSa—Sina<0•••cosa3.（2002上海春，14）在厶ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状
一定是（）
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
3.答案：
C解析：
2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A—B）又t2sinAcosB=sinC,
--sin（A—B）=0
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