四面体外接球的球心半径求法.docx

1、四面体外接球的球心半径求法、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。2【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c ,则体对角线长为a2 b2 c2，几何体的外接球直径2R为体对角线长I即R【例题】：在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为 1，6,3，若该四面 体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为 AE的长即：4R2 AB2 AC2 AD24R2 12 32 、62 16 所以 R 2球的表面积为S 4 R2 16二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边

2、中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球 0的球面上，AB BC且PA 7 , PB 5 , PC , 51， AC 10,求球0的体积。解：AB BC 且 PA 7， PB 5，PC 51，AC 10,因为 72 , 5? 102 所以知 AC2 PA2 PC2所以PA PC 所以可得图形为：在Rt ABC中斜边为AC在Rt PAC中斜边为ACOBOCOBOCOBOC在 Rt ABC 中 0A在 Rt PAC 中 OPOA，即O为该四面体的外接球的球心取斜边的中点O,所以在几何体中OP1R -AC 52所以该外接球的体积为V4 3 500_ R 3 3

3、【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥A BCD中，AD 面ABC， BAC 120，AB AD AC 2，求该棱锥的外接球半径 解：由已知建立空间直角坐标系A(0,0) B(2,0,0) D(0，,2)C( 1, 3，)设球心坐标为O(x, y, z) 则AOBO CODO ,由空间两点间距离公式知x2z2(x2)2z2x2 y2 z2x2y2 (z 2)2(x1)2(y解得 x所以半径为R12 ( 33)2 12.213【结论】：空间两点间距离公式:PQ，(为 X2)2 (y1 y2)2 (乙

4、 Z2)2四、四面体是正四面体处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关 系在高考中也是考查的重点， 但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截 面图是关键，可使这类问题迎刃而解。一、棱锥的内切、外接球问题例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解 之。解：如图1所示，设点0是内切球的球心，正四面体棱长为 称性知，点 0也是外接球的球心.设内切球半径为a.由图形的对 r，外接球半径为R .正四面体的表面

5、积4 -a2 .3a24正四面体的体积V bcdAE.3a122 AB2 BE23 2 a 12匝3a123s表rVA BCD ,A BCDST2 3a12.3a2.6a12在 Rt BEO 中，BO2BE2 EO2，即 R2-a，得 R43r【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 h （ h为正四面体的高），且外接球的半径 3h，从而可以通过截面图中4 4Rt OBE建立棱长与半径之间的关系。例2设棱锥M ABCD的底面是正方形，且 MA MD , MA AB，如果 AMD的面积为1, 试求能够放入这个棱锥的最大球的半

6、径 解： AB AD, AB MA, AB 平面 MAD ,由此，面MAD 面AC.记E是AD的中点，从而 ME AD. ME 平面 AC , ME EF设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球如图2, 得截面图 MEF及内切圆O不妨设O平面MEF，于是O是MEF的内心.O的半径为r , 则2S MEFEF EM MFAD EFEM2，m22,ra21 222a aaXa22、2当且仅当2，即a .2时，等号成立.a当 ADME 、2时，满足条件的球最大半径为 .21.练习：一个正四面体内切球的表面积为 3 ，求正四面体的棱长。（答案为： 2 ）【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与

7、各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。 二球与棱柱的组合体问题1 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相 切，切点为每个面的中心， 显然 球心为正方体的中心。设正方体 的棱长为a，球半径为R。如图3，截面图为正方形EFGH的内切圆，得R a ;2球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆0为正方形EFGH的外接圆，易得正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面AA1作截面图得，圆0为矩.0形AA1C1C的外接圆，易得 R A,0 a。2例3.在球面上有四个点 P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直, 那么这个球的表面积是 .且 PA PB PC a

8、,解：由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱,正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C的一条对角线 CD，则CD过球心0，对角线CD: 3a与正方体各棱相切的球:3 a23S球表面积 4 a2练习：一棱长为2a的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为 V 3 . 2a 3 a3）4 24 .构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直 角三角形便可得球半径。例4.已知三棱柱 ABC A1B1C1的六个顶点在球 0,上，又知球0

9、2与此正三棱柱的 5个面都相切，求球01与球02的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。解：如图6，由题意得两球心。1、。2是重合的，过正三棱柱的一条侧棱 AA和它们的球心作截面,设正三棱柱底面边长为a，则 R2-a，正三棱柱的高为6h 2R2Rt ADQ中，得R12R112aSr : S25:1 , V1 :V2 55 15 2a ,12(答案为：4.2R2)【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、 线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数 量关系，是解决这

10、类问题的最佳途径。勾股定理知，假设正四面体的边长为 a时，它的外接球半径为 6 a。4平面向量重点知识回顾1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量 ，有二个要素：大小、方向2.向量的表示方法：用有向线段表示；用字母 a、bb等表示；平面向量的坐标表示：分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 ir、：作为基底。任作一个向量 a，由平面向量基本定理知，有且只r r 一 r有一对实数x、y，使得a xi yj，(x, y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a (x, y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 特别地，i (1,0)，j (0,1)，0 (0,0)。a . x2 y2

11、 ；若佩花。，B(X2,y2)，则 AB x? y1， ab .(X2xjyj23.零向量、单位向量：长度为 0的向量叫零向量，记为 0 ;长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.(注：就是单位向量)|a|r r4.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定 0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a b c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量6.向量的基本运算(1) 向量的加减运算几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。坐标运算：设 a =(x 1,y1), b =(x 2,y 2)则 a+b=(x 1+X

12、2,y 1+y2) a_ b=(X1_X2,y 1_y 2)(2)平面向量的数量积 ：a ?b= a b cos设 a =(x 1,y1), b =(x 2,y 2)则 a? b=X1X2+y1y2(3)两个向量平行的充要条件 / =入若=(x 1,y 1), =(x 2,y 2)，贝U / X1y2-X2y1=0(4) .两个非零向量垂直的充要条件是 丄 =0设=(x 1,y 1) , =(x 2,y 2)，贝U 丄 x 1X2+y1y2=0.向量的加法、减法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。向量的减法向量r r r ra加上的b相反向量，叫做a与b

13、的差。即：a b = a+（ b）；r - r差向量的意义： OA= a, OB =b ,则BA = a b3平面向量的坐标运算：若a （x1,y1） ， b （x2,y2），则a b （x1 x2, y1 y2），r ra b （xi X2, yi y?）， a （ x, y）。4向量加法的交换律 ：a + b=b+a ；向量加法的结合律： （a + b）+ c=a + （ b+c）7.实数与向量的积：实数入与向量 a的积是一个向量，记作：入 a（1）|入a |=|入| a | ； （2）入0时入a与a方向相同；入0时入a与a方向相反；入=0时入a = 0 ； （3）运算定律 入（a ）=（

14、入u）a ,（入+ ） a =入a + 口 a，入（a+b）=入a +入b（x o）8 向量共线定理 向量b与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数入， 使b =入a。 9. 平面向量基本定理：如果 ei , e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数入1，入2使a = 1e1 +入2e2。（1）不共线向量q、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；（2）基底不惟一，关键是不共线；（3）由定理可将任一向量 a在给出基底e1、e2的条件下进 * * 行分解；（4）基底给定时，分解形式惟一.入1,入2是被a, e , e2唯一确定的数

15、量。r r fc- tr fc- * fe- fc- r10.向量a和b的数量积：a b=| a|b|cos ，其中 0 , n 为a和b的夹角。| b |cos称为b在a的方向上的投影。 a b的几何意义是：b的长度| b |在a的方向上的投影的乘积，是一个 实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。若 a = ( X1 , y1) , b = (x2, y )，则 a?b X1X2 y2运算律： a b=b a,( 入 a) b=a (入 b)=入(a b), (a+b) c=a c+b c。a ?ba和b的夹角公式：cos X1X2 y”2.x12 y1 工2y2a2 | a 12=x2

16、+y2, 或 | a |= x2 y2 a |两向量平行、垂直的充要条件 设a = ( x1, y1),a b=0 , a b a ? b = x1 x2 + y1 y2 =0;a b(a丰0)充要条件是：有且只有一个非零实数入，使a/bx2 X2Y!向量的平行与垂直的坐标运算注意区别，在解题时容易混淆。12点P分有向线段P1P2所成的比的RPPP2,P内分线段rp2时,0; P外分线段PP2 时,0.定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式:为 X2x1y % y21X1 X2X2y2X2 X3 y1 目2 y)四：考点举例及配套课堂练习(一)基础知识训练1.下列命题正确的是(例题讲解

17、)(A)单位向量都相等(B)任一向量与它的相反向量不相等2.(C)平行向量不一定是共线向量 (D)模为0的向量与任意向量共线已知正六边形 ABCDEF中，若AB a , FA b，则BC ()3.4.1 1(A)尹 b) (B)2(ab) (C) a b (Da b2已知向量e1(A) 0若向量a (0, R, a(B) e2 0e1e2,b=2e1若向量a与b共线，则下列关系一定成立是(C) e1 / e2(D) e1 / e2或 01,x), b ( x,2)共线且方向相同，x =(二)典例分析例1: (1 )设a与b为非零向量，下列命题:若a与b平行，则a与b向量的方向相同或相反;(A)

18、 1 个(B)2个(C) 3 个(D) 4 个(2)下列结论正确的是( )r rrrrrr r r r r r(A)ab(B) 2219, -1 10,OP =(1-t) a +t bOQ =(1-t)a +t c平面向量测试题、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）2.下列命题中：若 a与b互为负向量，则a+ b= 0;若k为实数，且k a= 0，贝U a= 0或k= 0: 若a b= 0,则a= 0或b= 0;若a与b为平行的向量，贝U a b= |a|b| ;若|a| = 1，则a = 1.其 中假命题的个数为（）4.设 |a| = 1, |b| = 2,且 a、b 夹角

19、120,则 |2a + b| 等于 ( )5.已知 ABC的顶点坐标为 A( 3,4 ),B( 2, - 1), C( 4,5),D在BC上，且，贝U AD的长为 ( )6.已知a=( 2 , 1), b=( 3,入)，若(2a b)丄b,则入的值为 ( )A3B1C. 1 或 3D. 3 或 17 .向量 a=( 1,2), |b| = 4|a| ，且 a、b 共线,则 b 可能是()A(4, 8)B(4, 8)C(4,8)D(8, 4)8.已知 ABC中，,则 a 与 b 的夹角为()A30B 150C150D. 30 或 150b 个单位(a 0 , b 0).设点 P( a , b)D

20、.( 0 0)10将函数y= f (x)的图象先向右平移 a个单位，然后向下平移 在y = f (x)的图象上，那么 P点移动到点 ( )A.( 2a 0) B.( 2a 2b) C.( 0 2b)二、填空题 (本大题共 4 小题 每小题 4分 共 16分)13.向量 a=( 2k + 3,3k + 2)与 b=( 3 , k)共线,贝U k= .15.向量a=( 1, 1),且a与(a + 2b)的方向相同，贝U a b的取值范围是 三、解答题 (本大题共 6 小题 共 74 分)17 .(本小题满分 12 分)设O为原点，试求满足的的坐标.18 .(本小题满分 12 分)设和是两个单位向量

21、 夹角是 60 试求向量和的夹角.19.(本小题满分 12 分) 已知与的夹角为 40 求与的夹角(长度保留四位有效数字，角度精确到)1 . C 2 . C 3 . B 4 . A 5 . C 6 . C 7 . B 8 . C 9 . A 10 . A 11 . C 12 . C故0= 120 三角函数题解1.（2003上海春，15）把曲线ycosx+2y 1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个2单位，得到的曲线方程是（ ）A. （ 1 y）sin x+2y 3=0C. （y+1） sin x+2y+ 仁01.答案：C解析：将原方程整理为:B. (y 1) sin x+2y 3=

22、0D. (y+1)sin x+2y+仁01个单位，因此可得1y=y=12 cosx因为要将原曲线向右、向下分别移动1为所求方程.整理得（y+1） sin x+2y+仁0.个单位和2cos(x )2.如果对平移有深刻理解，可直接化评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式为：（y+1） cos （x ） +2 （y+1） 仁0,即得 C选项.22. （ 2002春北京、安徽，5）若角a满足条件Sin2 a 0, cos a Sin a 0，则在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.答案：B解析：sin2 a = 2sin a cos a 0 二 sin a cos a 0即sin a与 cos a异号，a在二、四象限，又 COS a Sin a 0 cos a sin a由图4 5,满足题意的角 a应在第二象限3.（2002 上海春，14）在厶 ABC中，若 2cos Bsin A= sinC，则 ABC的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形3.答案：C 解析：2sin AcosB= sin （A+ B） + sin （A B）又 t 2sin AcosB= sin C,-sin （A B）= 0