二元一次方程组的应用13种类型知识分享.docx
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二元一次方程组的应用13种类型知识分享
二元一次方程组的应用
要点突破：
应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤回顾：
关键
（1）理解问题（审题，搞清已知和未知，分析数量关系）
（2）制定计划（考虑如何根据等量关系设元，列出方程组）
（3）执行计划（列出方程组并求解，得到答案）
（4）回顾（检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意）
列方程组思想：
找出相等关系“未知”转化为“已知”•有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：
（1）方程两边表
示的是同类量；
（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等•
（1）行程问题：
（2）工程问题；（3）销售中的盈亏问题；（4）储蓄问题；（5）产品配套问题；（6）增长率问
题；（7）和差倍分问题；（8）数字问题；（9）浓度问题；（10）几何问题；（11）年龄问题；（12）优
化方案问题•
行程问题
（1）三个基本量的关系：
路程s=速度vX时间t时间t=路程s十速度V速度V=路程s十时间t
（2）三大类型：
1相遇问题：
快行距+慢行距=原距
2追及问题：
快行距-慢行距=原距
3航行问题：
顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度
逆水（风）速度=静水（风）速度-水流（风）速度顺速-逆速=2水速;
顺速+逆速=2船速顺水的路程=逆水的路程
相遇问题：
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。
它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。
A车路程B车路程
另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度
那么在乙出发1小时30分时两人相遇，求甲、乙两人的速度
练习：
学校距活动站670米，小明从学校前往活动站每分钟行80米，2分钟后，小丽从活动站往学校走，每分
钟行90米，小明出发多少分钟后和小丽相遇？
相遇时二人各行了多少米？
追及问题：
两物体速度不同向同一方向运动，两物体同时运动，一个在前，一个在后，前后相隔的路程若把它
叫做“追及的路程”，那么，在后的追上前一个的时间叫“追及时间”
B车追击路程
关系式是：
追及的路程十速度差二追及时间
顺速-逆速=2水速；顺速+逆速=2船速顺水的路程=逆水的路程
A、B两地相距28千米，甲乙两车同时分别从A、B两地同一方向开出，甲车每小时行32千米，乙车每小
时行25千米，乙车在前，甲车在后，几小时后甲车能追上乙车?
甲、乙二人相距6km,二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。
二人的平均速度各是多
少？
解：
设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米
题中的两个相等关系：
1、同向而行：
甲的路程=乙的路程+
2、相向而行：
甲的路程+=
【变式】
1.甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
2.甲以5km/h的速度进行有氧体育锻炼，2h后，乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲。
根据他们两人的约
定，乙最快不早于1h追上甲，最慢不晚于1h15min追上甲，则乙骑车的速度应当控制在什么范围？
3.从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段3千米长的下坡，如果保持上坡每小时走3千米，
平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲到乙地需90分，从乙地到甲地需102分。
甲地到乙地全程是多少？
4.甲,乙两人分别从甲,乙两地同时相向出发,在甲超过中点50米处甲,乙两人第一次相遇,甲,乙到达乙,甲两地后立即返身往回走,结果甲,乙两人在距甲地100米处第二次相遇,求甲,乙两地的路程.
5.两列火车同时从相距910千米的两地相向出发,10小时后相遇,如果第一列车比第1二列车早出发4小时20分,那么在第二列火车出发8小时后相遇,求两列火车的速度.
6.某班同学去18千米的北山郊游•只有一辆汽车，需分两组，甲组先乘车，乙组步行•车行至A处，甲组下车步行,汽车返回接乙组，最后两组同时达到北山站•已知汽车速度是60千米/时,步行速度是4千米/时,求A点距北山站的距离.
7.通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米，则要迟到15分钟。
求通讯员到达某地的路程是多少千米？
和原定的时间为多少小时？
总结升华：
根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策
一只船在河中航行，水速为每小时2千米，它在静水中航行每小时8千米，顺水航行每小时行多少千米?
逆水航行每小时行多少千米？
顺水航行50千米需要用多少小时？
练习：
1.某船在静水中的速度是每小时7千米，水流速度是每小时2千米，那么它逆水中的速度是多少？
若逆
水航行3小时，可航行多少千米？
2.
某船顺水速度是每小时17千米，逆水航行速度是每小时10千米，那么此船的静水速度是每小时多少千米？
水流速度是每小时行多少千米？
三个基本量的关系:
注：
当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”。
一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请
甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店
应各付多少元？
（2）已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？
总结升华：
工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为也可设为a,需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。
【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4
周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考
虑，小明家应选甲公司还是乙公司？
请你说明理由
1.现要加工400个机器零件，若甲先做1天，然后两人再共做2天，则还有60个未完成；若两人齐心合作3天,
则可超产20个•问甲、乙两人每天各做多少个零件
2.某检测站要在规定时间内检测一批仪器，原计划每天检测30台这种仪器，则在规定时间内只能检测完总数的
七分之三；现在每天实际检测40台，结果不但比原计划提前了一天完成任务，还可以多检测25台•问规定时间
是多少天？
这批仪器共多少台？
3.甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时甲先花了1小时修理工具，因此甲每
小时比以前多加工10件，结果在后一段时间内，甲比乙多加工了10件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？
1.一顶任务由甲尧咸…半以后・乙克嚴地余的部外.M人共川H小时.如呆甲兄曲仃勞的丄以后*由乙完F戏共余胡分*炯四人扶用1小时50分
3
冋m屮、乙网人单独完咸分别建川儿小时?
5.一项工程，甲单独做12天完成，乙队单独要做15天完成，丙队单独要20天完成，按计划要求在7天内完成,
现在甲乙先合作若干天，丙队也同时加入这项工作，这样比原定时间提前一天完成任务。
甲乙两队合做了多少天？
丙队做了多少天？
6.甲乙两个车间原计划装车床180台，甲车间完成计划的112%，乙车间完成了计划的110%，这样共装机床200
台，两车间各比计划多完成多少台？
7..某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示:
销售方式
直接销售
粗加工后销售
精加工后销售
每吨获利（兀）
100
250
450
8.现在该公司收购了140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨（两种加工不能同时进
行）.
（1）如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格：
销售方式
全部直接
全部粗加工后
尽量精加工，剩余部分直接
销售
销售
销售
获利（元）
（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应如何分配加工时间?
:
商品销售利润问题
利润问题：
利润=售价一进价，禾U润率=（售价一进价）十进价x100%
G有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。
价格调整后，甲商
品的利润率为4%乙商品的利润率为5%共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？
【变式】1.某商场用36万元购进AB两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表:
—
A
B
—
进价（元/件）
1200
1000
售价（元/件）
1380
1200
求该商场购进A、B两种商品各多少件;
3.一.种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角。
3种包装的饮料每瓶各多少元？
3.2008年5月12日，四川省汶川县发生里氏8.0级强烈地震，给当地人民造成巨大的损失•全国迅速组织捐款
支援灾区，我校七年级⑴班55名同学共捐款830元，捐款情况如右表•表中捐款2元和5元的人数不小心被墨
水污染已看不清楚，请你帮助确定表中数据，并说明理由.
捐款
10
15
30
50
人数
18
■
■
4
4.甲乙两种商品的进价和是100元，为促销而打折出售，若甲商品打8折，乙商品打6折，可赚50元，若甲商
品打6折，乙商品打8折可赚19.5兀，求甲乙两种商品原定价各是多少兀。
5.甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%利润定价，乙服装按40%的利
润定价•在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成
本各是多少元？
6.有甲乙两种电饭锅原来的单价之和是200元，现因市场销售情况的变化，甲商品商品降价15%乙商品单价提
高了40%调价后，两种电饭锅的单价和比原来的单价和提高了12.5%。
甲乙两种商品原来的单价各是多少？
四、银行储蓄问题
银行利率问题：
免税利息=本金X利率X时间，
税后利息=本金X利率X时间一本金X利率X时间X税率
2000元钱，一种是年利
2042.75元，问这两种储蓄
C4•小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了
率为2.25%的教育储蓄，另一种是年利率为2.25%的一年定期存款，一年后可取出
各存了多少钱？
（利息所得税=利息金额X20%教育储蓄没有利息所得税）
总结升华：
我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来
【变式】1•小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期
整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%;第二种，三年期整存整取，
这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元（不计利息税），问小敏的爸爸两种存款各存入
了多少元？
2.某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法：
（1）一次购买金额不超过1万元的不予优惠；
（2）一
次购买金额超过1万元，但不超过3万元的九折优惠；（3）一次购买金额超过3万元，其中3万元九折优惠，超过3万元的部分八折优惠。
某厂因库存原因，第一次在该供应商处购买原料付款7800元，第二次购买付款26100
元。
如果他是一次性购买同样的原料，可少付款（）
A1460元B、1540元C、1560元D、2000元
五、生产中的配套问题
产品配套问题：
加工总量成比例
某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132
米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
总结升华：
生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖
的配套等.各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程
组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键
【变式】1.一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。
现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？
能配多少张方桌？
2.某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？
3.一张桌子由桌面和四条脚组成，1立方米的木材可制成桌面50张或制作桌脚300条，现有5立方米的木材,
问应如何分配木材，可以使桌面和桌脚配套？
4.用白铁皮做罐头盒。
每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。
现有
150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以刚好配套？
5.某车间有28名工人参见生产某种特制的螺丝和螺母，已知平均每人每天只能生产螺丝12个或螺母18个，如
果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来
的产品配成最多套？
六、增长率问题
增长率问题：
原量X（1+增长率）=增长后的量原量X（1+减少率）=减少后的量
C某工厂去年的利润（总产值一总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%总支出比去年减少了
10%今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？
（1）若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元?
【变式】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%
求这个城市的城镇人口与农村人口。
2.某出租汽车公司有出租车100辆，平均每天每车消耗的汽油费为80元.为了减少环境污染，市场推出一种叫
“CNG”改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装价格为4000元•公司第一次改装了部分车辆后核算：
已改
装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的二十分之三，公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的五分之二•问：
（1）公司共改装了多少辆出租车？
改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多
少？
（2）若公司一次性全部出租车改装，多少天后就可以从节省的燃料费中收回成本？
七、和差倍分问题
和差倍总分问题：
较大量=较小量+多余量，总量=倍数x倍量
G“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决
定在一周内赶制出这批帐篷.为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务•求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶?
【变式】1.游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。
如果每位男孩看到蓝色与红色的
游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗?
2.某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加工厂1.1%,这样全市人口将增加1%,
求这个市现在的城镇人口与农村人口
解：
这个市现在的城镇人口有x万人，农村人口有y万人题中的两个相等关系:
令年
明年
1、现在城镇人口+=现在全市总人口可列方程为:
2、明年增加后的城镇人口+=明年全市总人口
可列方程为：
（1+0.8%）x+=
3.某老翁将一根长草绳剪成前、中、后三段，中段长等于前段长加后段长，后段长等于前段长加中段长的一半,
现只知道前段长5m，则该草绳的中段，后段各长多少米?
4.共青团中央部门发起了“保护母亲河”行动，某校九年级两个班的115名学生积极参与，已知九一班有三分
之一的学生捐了10元，九二班有五分之二的学生每人捐了十元，两班其余的学生每人捐了5元，两班的捐款总
额为785元，问两班各有多少名学生
、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示
CP两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数
的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大
【变式】1.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大
那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数?
2.某三位数，中间数字为0,其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1,个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。
3.一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9;如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两
位数大27，求这个两位数.
分析：
设这个两位数十位上的数为x,个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其
十位上的数
个位上的数
对应的两位数
原两位数
x
y
新两位数
y
X
4.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到
的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数？
5.已知一个三位数，其中十位上的数字比个位上的大3,十位上的数字比百位上的数字大4,若把十位上的数字
撤掉，得到一个两位数比原来小340,求原三位数.
溶液X浓度=溶质
现有两种酒精溶液,
甲种酒精溶液的酒精与水的比是3:
7,乙种酒精溶液的酒精与水的比是
4：
1,今要得
到酒精与水的比为3：
2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少?
总结升华：
解这类问题常用的相等关系是：
混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。
有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数。
1.75%时，治虫最有效。
用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克,
【变式】1.一种35%勺新农药，如稀释到
才能配成1.75%的农药800千克？
2.要配浓度是45%的盐水12千克，现有
10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少?
题中的两个相等关系
解：
设含盐10%的盐水有x千克，含盐85%的盐水有y千克。
10®梵水含
盐*含盐重虽
1、含盐10%的盐水中盐的重量+含盐85%的盐水中盐的重量=
可列方程为：
10%x+=
2、含盐10%的盐水重量+含盐85%的盐水重量=
可列方程为：
x+y=
3.甲、乙两块合金，含银和铜的比分别是甲为4:
3，乙为7：
9，今从两块合金中各取多少千克，能得到含银84
千克、含铜82千克的新合金？
4.有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%乙种合金含银37.5%,现在要熔制含银30%勺合金100千克,
两种合金应各取多少?
fi
二y十、几何问题
必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式
CP如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长
和宽分别是多少?
解答这类问题时应注意认真分析图形特点,
总结升华：
几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中,出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解。
【变式】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方
形，求正方形的面积比矩形面积大多少？
2.用如图一中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图二中竖式和横式的两种无盖纸盒。
现在仓库里
1500张正方形纸板和1001张长方形纸板，问两种纸盒各做多少只，恰好使库存的纸板用完？
卜一、年龄问题
解这类问题的基本关系是抓住两个人年龄的增长数相等。
年龄问题的主要特点是：
时间发生变化，年龄在增长,但是年龄差始终不变。
年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用。
解题时，我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键。
例.父子的年龄差30岁，五年后父亲的年龄正好是儿子的3倍，问今年父亲和儿子各是多少岁？
举一反三：
1.1998年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。
2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍。
问甲、乙二人2000年的年龄
分别是多少岁？
2.学生问老师：
“您今年多少岁了？
”老师风趣的说：
“我像你这样大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已
经37岁了”试求老师和学生的年龄各是多少？
提示：
设老师为X岁，学生为Y岁，
（1）老师年龄增加的同时学生的年龄也在增加，“我像你我样大的时候，”可
以得知老师是Y岁，老师由Y岁增加到X岁，增加了X-Y岁；学生由1岁增加到Y,增加了Y-1岁。
增加的年份是相等的量。
即：
X-Y=Y-1；
（2）老师由X岁到37岁时，增长的量是37-Y;学生由Y岁增加到X岁，增长的量
是X-Y,二者相等。
X-Y=37-Y
3.
4岁”乙对甲说：
“当我的岁数是你现在的岁
甲乙两人在聊天，甲对乙说：
”当我的岁数是你现在岁数时，你才
数时，你将61岁。
”你能算出他们两人各几岁吗?
4.傅对徒弟说：
当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。
将来当你像我这样大时，我已经是52岁的老人了。
你能算出他们两人各几岁吗？
5.现在父亲的年龄是儿子年龄的3倍，7年前父亲的年龄是儿子年龄的5倍，问父亲、儿子现在的年龄分别是多
少岁？
6.姐姐的年龄是妹妹年龄的3倍多1岁，妹妹5年后的龄比姐姐3年前的年龄大1岁，求姐姐与妹妹的年龄各是
多少？
7.今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小
李的年龄.
十二、优化方案问题
到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，到两个工厂的人数各是多少？
解：
设到甲工厂的人数为x人，到乙工厂的人数为y人题中的两个相等关系:
篦一次
第二汝
甲货车
3
2
辆数
4
3
有多少吨?
2.批货物要运往某地，货主准备租用汽运公司的甲、乙两种货车，已知过去租用这两种汽车运货的情况如左表
所示，现租用该公司5辆甲种货车和6辆乙种货车，一次刚好运完这批货物，问这批货物
若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500
元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产
能力是：
如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，
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