导数与不等式证明.docx
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导数与不等式证明
二轮专题（^一）导数与不等式证明
【学习目标】
1.会利用导数证明不等式•
2.掌握常用的证明方法.
【知识回顾】
一级排查：
应知应会
1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明
问题.比如要证明对任意x［a,b］都有f（x）_g（x），可设h（x）=f（x）—g（x），只要利用导数
说明h（x）在［a,b］上的最小值为0即可.
二级排查：
知识积累
利用导数证明不等式，解题技巧总结如下：
（1）利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式•
（2）多用分析法思考.
（3）对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证
明•例如采用两边取对数（指数），移项通分等等•要注意变形的方向：
因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式•
（4）常用方法还有隔离函数法，f（X）min-g（X）max，放缩法（常与数列和基本不等式一起考查），换元法，主元法，消元法，数学归纳法等等，但无论何种方法，问题的精髓还是构造辅助函数，将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题.
（5）建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式，有许多题都是利用泰勒展开式放缩得来•
三极排查：
易错易混
用导数证明数列时注意定义域.
【课堂探究】
一、作差（商）法
例1、证明下列不等式:
①ex_x1
二、利用f（X）min-g（X）max证明不等式
12e
例2、已知函数f（x）二axb-（a1）Inx,（a,bR）,g（x）x.
xe2
（1）若函数f（x）在x=2处取得极小值0,求a,b的值；
（2）在
（1）的条件下，求证：
对任意的x1,x^[e,e2]，总有f（xj.g（x2）.
—12变式：
证明：
对一切x•（0,•：
：
），都有lnxx「成立.
eex
三、构造辅助函数或利用主元法
例3、已知m,n为正整数，且1：
：
：
m：
：
：
n,求证：
（1m）n（1n）m.
变式：
设函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2（x_1）.
（1）试判断F（x）=（x21）f（x）-g（x）在定义域上的单调性;
（2）当0：
：
a:
:
:
b时，求证f（b）-f（a）警一?
.
a+b
四、分析法证明不等式
m斗a_?
_1.
\e
例4、设a1，函数f（x）^（1x2）ex-a.若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行,
且在点M（m,n）处的切线与直线OP平行（O是坐标原点），证明:
变式：
已知函数f（x）=x2lnx.
（I）求函数f（x）的单调区间；
（n）证明：
对任意的t■0，存在唯一的s，使t=f（s）.
（川）设（n）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：
当te2时，有2：
：
：
旦也：
：
：
丄.
5lnt2
五、隔离函数
例5、已知函数f（x）=ex-In（x-m）.
（I）设x=0是f（x）的极值点，求m并讨论f（x）的单调性;
（U）当m空2时，证明：
f（x）.0.
变式：
已知函数f（x）二nx-xn,x•R,其中n•N"，且n_2.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证:
对于任意的正实数x，都有f（x）岂g（x）；
（3）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根/x，求证：
x^x^—+2.
1-n
六、与数列结合
例6、已知函数f（x）二alnx_ax—3（a・R）.
（1）求函数f（x）的单调区间；
In2In3In4Inn1,
（2）求证：
.——.（nN-，n_2）
234nn
变式:
（1）已知x•（0,•：
：
），求证:
1,x11
In
x1xx
（2）求证:
1：
：
Inn：
：
1111（nN，n_2）.
n23n-1
【巩固训练】
12
1.已知函数f（x）X2-lnx,求证：
在区间（1,二）上，函数f（x）的图像在函数g（x）x3的
23
图像的下方•
2.已知函数fxTn1二x.
1-x
（I）求曲线y=fx在点o,fo处的切线方程;
（U）求证：
当x^（0,1）时，f（x）A2x+乞'；
L3」
（川）设实数k使得fx
0,1恒成立，求k的最大值.
3.已知0：
：
：
x1:
:
:
x2，求证:
Xi
.n
X2
n
*+X2、'
I
<2丿
4.设函数f（x）」n（1X）（x0）.
x
（1）判断f（x）的单调性；
1*
（2）证明：
（1-—）n：
：
：
e（e为自然对数，nN）.
n
5.已知函数f（x）=ex-x.
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）设不等式f（x）ax的解集为P,且［0,2］匚P，求实数a的取值范围;
（3）设「N•，证明：
5丿5丿5丿5丿e—1
6.已知f（x）=ln（1x2）ax（a_0）.
（1）讨论f（x）的单调性；
111*
⑵证明：
（1歹）（1?
）（17）e（e为自然对数，nN，5
7.已知函数f（x）=In（1x）一x,g（x）=xlnx
（1）求函数f（x）的最大值；
⑵设0：
：
：
a：
：
：
b,证明：
0：
：
：
g（a）g（b）-2g（ab）：
：
：
（b-a）ln2.2
8.设函数f（x）
=aexInxbe,x
曲线y=f（x）在点（1,
f
（1）处的切线为y二e（x-1）2.
（I）求a,b；（U）证明：
f（x）1.
9.
曲线y二fx在点A处的切
已知函数fx二ex_ax（a为常数）的图像与y轴交于点A,线斜率为-1.
（I）求a的值及函数fx的极值；
（U）证明：
当x.0时，x2:
:
:
ex;
，恒有x2:
:
:
cex.
（川）证明：
对任意给定的正数c，总存在xo，使得当xxo,
10.（选作）已知f（x）=（1-x）ex-1.
（1）
证明：
当x0时，f（x）：
：
：
0;
（2）数列｛Xn｝满足Xnexn1二exn-1必=1,求证：
｛Xn｝递减，且Xn
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