导数与不等式证明.docx

1、导数与不等式证明二轮专题 (一) 导数与不等式证明【学习目标】1.会利用导数证明不等式2.掌握常用的证明方法.【知识回顾】一级排查：应知应会1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题.比如要证明对任意 x a,b都有f(x)_g(x)，可设h(x) = f (x) g(x)，只要利用导数说明h(x)在a,b上的最小值为0即可.二级排查：知识积累利用导数证明不等式，解题技巧总结如下：(1) 利用给定函数的某些性质(一般第一问先让解决出来)，如函数的单调性、最值等，服 务于第二问要证明的不等式(2)多用分析法思考.(3)对于给出的不等式直接证明无法下手，

2、可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明例如采用两边取对数(指数)，移项通分等等要注意变形的方向：因为要利用函数的性质， 力求变形后不等式一边需要出现函数关系式(4) 常用方法还有隔离函数法，f(X)min -g(X)max，放缩法(常与数列和基本不等式一起考 查)，换元法，主元法，消元法，数学归纳法等等，但无论何种方法，问题的精髓还是构造辅 助函数，将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题 .(5) 建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式， 有许多题都是利用泰勒展开式 放缩得来三极排查：易错易混用导数证明数列时注意定义域.【课堂探究】一、作差(商)法例1、证明下列不

3、等式:ex _x 1二、利用f (X)min - g(X)max证明不等式1 2 e例 2、已知函数 f(x)二 ax b-(a 1)Inx,(a,b R), g(x) x .x e 2(1)若函数f(x)在x=2处取得极小值0,求a,b的值；(2)在(1)的条件下，求证：对任意的 x1,x e,e2，总有f(xj .g(x2). 1 2 变式：证明：对一切x (0, ：)，都有ln x x 成立.e ex三、构造辅助函数或利用主元法例3、已知m,n为正整数，且1 ： m ： n,求证：(1 m)n (1 n)m .变式：设函数 f(x)=l nx， g(x)=2x-2 ( x_1).(1)试

4、判断F(x) =(x2 1)f(x) -g(x)在定义域上的单调性;(2)当 0 ：a : b 时，求证 f(b)-f(a) 警一?.a +b四、分析法证明不等式m斗a_? _1. e例4、设a 1，函数f (x) (1 x2)ex - a.若曲线y= f (x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M (m, n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点)，证明:变式：已知函数 f(x) =x2l nx.(I)求函数f (x)的单调区间；(n)证明：对任意的t 0，存在唯一的s，使t=f(s).(川)设(n)中所确定的 s关于t的函数为s=g(t)，证明：当t e2时，有2 ：旦也：丄.5 lnt 2

5、五、隔离函数例 5、已知函数 f (x) =ex -In(x - m).(I)设x =0是f (x)的极值点，求m并讨论f (x)的单调性;(U)当m空2时，证明：f(x) . 0.变式：已知函数f (x)二nx -xn,x R,其中n N ，且n _ 2.(1)讨论f (x)的单调性；(2) 设曲线y = f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y = g(x)，求证:对于任意的正实数x，都有f(x)岂g(x)；(3) 若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根/x，求证：xx + 2.1 - n六、与数列结合例 6、已知函数 f(x)二 alnx_ax3(a R)

6、.(1)求函数f (x)的单调区间；In 2 In 3 In 4 In n 1 ,(2)求证： . (n N -，n _ 2)2 3 4 n n变式:(1)已知 x (0, ：)，求证:1 , x 1 1Inx 1 x x(2)求证:1 ： In n ： 1 1 1 1 (n N ，n _ 2).n 2 3 n -1【巩固训练】1 21.已知函数f(x) X2 - lnx,求证：在区间(1,二)上，函数f(x)的图像在函数g(x) x3的2 3图像的下方2.已知函数f x Tn1二x .1 -x(I)求曲线y=f x在点o, f o处的切线方程;(U)求证：当 x(0 , 1 )时，f(x)A

7、2 x+乞；L 3(川)设实数k使得f x0 , 1恒成立，求k的最大值.3.已知 0 ： x1 : x2，求证:Xi. nX2n* +X2、I 2丿4.设函数 f(x)n(1 X)(x 0).x(1)判断f (x)的单调性；1 *(2) 证明：(1 - )n ： e( e为自然对数，n N ).n5.已知函数f(x) =ex -x.(1)求函数f (x)的最小值；(2)设不等式f(x) ax的解集为P,且0,2匚P，求实数a的取值范围;(3)设N ，证明：5丿 5丿 5丿 5丿e 16.已知 f (x) = ln(1 x2) ax(a _0).(1)讨论f (x)的单调性；111 *证明：(

8、1歹)(1 ?)(1 7)e(e为自然对数，n N，57.已知函数 f (x) = In(1 x) 一 x, g(x) = xln x(1)求函数f(x)的最大值； 设0 ： a ： b ,证明：0 ： g(a) g(b)-2g(a b)：(b-a)ln2. 28.设函数f(x)=aex In x be , x曲线y = f (x)在点(1,f(1)处的切线为y二e(x-1) 2.(I )求 a,b ； (U)证明：f (x) 1.9.曲线y二f x在点A处的切已知函数f x二ex_ax ( a为常数)的图像与y轴交于点A , 线斜率为-1.(I)求a的值及函数f x的极值；(U)证明：当 x . 0 时，x2 : ex;，恒有 x2 : cex.(川)证明：对任意给定的正数 c，总存在xo，使得当x xo,10.(选作)已知 f(x) =(1-x)ex -1.(1)证明：当 x 0时，f (x) ： 0;(2) 数列Xn满足Xnexn 1二exn -1必=1,求证：Xn递减，且Xn