最新浙教版九年级数学上册《圆的基本性质》教学设计.docx

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最新浙教版九年级数学上册《圆的基本性质》教学设计

3.1圆

教学目标

1．理解圆、弧、弦等有关概念．

2．学会圆、弧、弦等的表示方法．

3．掌握点和圆的位置关系及其判定方法．

4.进一步培养学生分析问题和解决问题的能力．

5.用生活和生产中的实例激发学生学习兴趣从而唤起学生尊重知识尊重科学，更加热爱生活.

教学重点

弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系．

教学难点

点和圆的位置关系及判定．

教学方法操作、讨论、归纳、巩固

教学过程

1．展示幻灯片，教师指出，日常生活和生产中的许多问题都与圆有关．

如

（1）一个破残的轮片（课本P62图），怎样测出它的直径?

如何补全？

（2）圆弧形拱桥（课本P63图），设计时桥拱圈（）的半径该怎样计算?

（3）如何躲避圆弧形暗礁区（课本P60、P74图），不使船触礁？

（4）自行车轮胎为什么做成圆的而不做成方的？

2．上述这些问题都与圆的问题有关，在小学我们已经认识过圆，回会用圆规画圆，问：

圆上的点有什么特性吗？

圆、圆心、圆的半径、圆的直径各是怎样定义的？

这节课我们用另一种方法来定义圆的有关概念。

（板书）3．1圆

3．师生一起用圆规画圆：

取一根绳子，把一端固定在

画板上，另一端缚在粉笔上，然后拉紧绳子，并使它绕固定的一端旋转一周，即得一个圆（课本图3—1、3－2）．

归纳：

在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆．定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．如图所示．

4圆的有关概念（如图3－3）

（1）连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图BC．经过圆心的弦是直径，图中的AB。

直径等于半径的2倍．

（2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示．小于半圆的弧叫做劣弧，如图中以B、C为端点的劣弧记做“”；大于半圆的弧叫做优弧，优弧要用三个字母表示，如图中的．

（3）半径相等的两个圆能够完全重合，我们把半径相等的两个圆叫做等圆．例如，图中的⊙O1和⊙O2是等圆．

圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。

（学生画同心圆）

（4）完成P58做一做

由上述问题提出：

确定一个圆的两个必备条件是什么？

说明：

圆上各点到圆心的距离都相等，并且等于半径的长；反讨来，到圆心的距离等于半径长的点必定在圆上．即可以把圆看作是到定点的距离等于定长的点的集合。

注意：

说明一个圆时必须说清以谁为定点，以谁为定长。

5．结论：

一般地，如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：

drP在圆外．

教学反思

学生能较好的理解本节教学内容,但对于如何应用学生还是掌握的不怎样的好.

3.2图形的旋转

1．使学生理解圆的轴对称性．

2．掌握垂径定理．

3．学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．

教学重点

垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：

垂径定理及其应用．

教学难点

垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点．

教学关键

理解圆的轴对称性．

教学环节的设计

这节课我通过七个环节来完成本节课的教学目标，它们是：

复习提问，创设情境；引入新课，揭示课题；讲解新课，探求新知；应用新知，体验成功；

目标训练，及时反馈；总结回顾，反思内化；布置作业，巩固新知．

教学方法：

类比启发

教学辅助：

多媒体

教学过程：

一、复习提问，创设情境

1．教师演示：

将一等腰三角形沿着底边上的高对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，同时复习轴对称图形的概念；

２．提出问题：

如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？

（教师用教具演示，学生自己操作）

二、引入新课，揭示课题

1．在第一个环节的基础上，引导学生归纳得出结论：

圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．

强调：

（1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴；

（2）圆的对称轴有无数条．

判断：

任意一条直径都是圆的对称轴（）

设计意图：

让学生更好的理解圆的轴对称轴新性，为下一环节探究新知作好准备．

三、讲解新课，探求新知

先按课本进行合作学习

1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD；

2．作一条和直径CD的垂线的弦，AB与CD相交于点E．

提出问题：

把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？

在学生探索的基础上，得出结论：

（先介绍弧相等的概念）

①EA=EB；②AC=BC，AD=BD．

理由如下：

∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合，

∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合．

∴EA=EB，AC=BC，AD=BD．

然后把此结论归纳成命题的形式：

垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

垂径定理的几何语言

∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB）

∴EA=EB，AC=BC，AD=BD．

⌒

四、应用新知，体验成功

例1已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．（先介绍弧中点概念）

作法：

⒈连结AB.

⒉作AB的垂直平分线CD，　交弧AB于点E.

点E就是所求弧AB的中点．

变式一：

求弧AB的四等分点．

思路：

先将弧AB平分，再用同样方法将弧AE、弧BE平分．

（图略）

有一位同学这样画，错在哪里？

1．作AB的垂直平分线CD

2．作AT、BT的垂直平分线EF、GH（图略）

⌒

教师强调：

等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．

变式二：

你能确定弧AB的圆心吗？

方法：

只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心．

例2一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离OC．

思路：

先作出圆心O到水面的距离OC，即画OC⊥AB，∴AC=BC=8，

在Rt△OCB中，

∴圆心O到水面的距离OC为6．

补充例题已知：

如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB．求证：

AC=BD．

思路：

作OM⊥AB，垂足为M，∴CM=DM

∵OA=OB，∴AM=BM，∴AC=BD．

概念：

圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．

小结：

1．画弦心距是圆中常见的辅助线；

2．半径（r）、半弦、弦心距（d）组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：

弦长

．

3.3垂径定理

由于一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们不一定是互相垂直的，所以要使上面的题设能够推出上面的结论，还必须加上“弦AB不是直径”这一条件.

这个命题是否为真命题，需要证明，结合图形请同学叙述已知、求证，教师在黑板上写出.

已知：

如图3-15，在⊙O中，直径CD与弦AB（不是直径）相交于E，且E是AB的中点.

求证：

CD⊥AB，.

分析：

要证明CD⊥AB，即证OE⊥AB，而E是AB的中点，即证OE为AB的中垂线.由等腰三角形的性质可证之.利用垂径定理可知AC＝BC，AD＝BD.

证明：

连结OA，OB，则OA＝OB，△AOB为等腰三角形.

因为E是AB中点，所以OE⊥AB，即CD⊥AB，

又因为CD是直径，所以

2.

（1）引导学生继续观察、思考，若选②③为题设，可得：

（2）若选①④为题设，可得：

以上两个命题用投影打出，引导学生自己证出

最后，教师指出：

如果垂径定理作为原命题，任意交换其中的一个题设和一个结论，即

可得到一个原命题的逆命题，按照这样的方法，可以得到原命题的九个逆命题，然后用投影

打出其它六个命题：

3.根据上面具体的分析，在感性认识的基础上，引导学生用文字叙述其中最常用的三

个命题，教师板书出垂径定理的推论1.

推论1 

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.

4.垂径定理的推论2.

在图3-15的基础上，再加一条与弦AB平行的弦EF，请同学们观察、猜想，会有什么结论出现：

（图7-37）

学生答

接着引导学生证明上述猜想成立.（重点分析思考过程，然后学生口述，教师板书.）

证明：

因为EF∥AB，所以直径CD也垂直于弦EF，

最后，猜想得以证明，请学生用文字叙述垂径定理的又一推论：

推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等.

三、应用举例，变式练习

练习按图3-15，填空：

在⊙O中

（1）若MN⊥AB，MN为直径；则      ，     ，    ；

（2）若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则     ，     ，    ；

（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则      ，    ，    ；

此练习的目的是为了帮助学生掌握垂径定理及推论1的条件和结论.

例3 我国隋代建造的赵州石拱桥（图）的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弧的距离，也叫弓形高）为7.2米，求桥拱的半径.（精确到0.1米）   

首先可借此题向学生介绍“赵州桥”，对学生进行爱国主义教育，（有条件可放录像）同

时也可激发学生学习数学的兴趣.

六、总结回顾，反思内化

师生共同总结：

１．本节课主要内容：

（1）圆的轴对称性；

（2）垂径定理．

2．垂径定理的应用：

（1）作图；

（2）计算和证明．

3．解题的主要方法：

（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；

（2）半径（r）、半弦、弦心距（d）组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：

弦长

．

教学反思：

本节课学生对垂径定理都很好的掌握，亮点在于练习设计有梯度，本节例题学生掌握很好。

3.4圆心角

教学目标:

1.经历探索圆心角定理的过程;

2.掌握圆心角定理

教学重点：

圆心角定理

教学难点:

圆心角定理的形成过程

教学方法：

讲练法

教学辅助：

多媒体

教学过程：

一.创设情景:

1、顶点在圆心的角,叫圆心角

2、圆的旋转不变性：

圆绕圆心旋转任意角α，都能够与原来的圆重合。

3、圆心到弦的距离，叫弦心距

4、P69合作学习

结论：

圆心角定理:

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

另外，对于等圆的情况，因为两个等圆可叠合成同圆，所以等圆问题可转化为同圆问题，命题成立。

5、n度的弧的定义

6、探究活动P70

二、新课讲解

1、例1教学P69

结合图形说出因为。

。

。

所以。

。

2、运用上面的结论来解决下面的问题:

已知：

如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：

如果∠AOB=∠COD，那么

_________,________,_________。

二.巩固新知:

P70课内练习1,2，3

P71T1--3

四.小结:

通过这节课的学习，你学到了什么知识？

1.圆心角定理

2.运用关于圆心角,弧,弦,弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题

五.布置作业:

见作业本

教学反思：

本节课由于多媒体的演示，学生对对定理的理解很好。

课堂气氛活

3.5圆周角

教学目标:

1.理解圆周角的概念.

2.经历探索圆周角定理的过程.

3.掌握圆周角定理和它的推论.

4.会运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题.

教学重点:

圆周角定理

教学难点:

圆周角定理的证明要分三种情况讨论,有一定的难度是本节的教学难点.

教法:

探索式,启发式,合作学习,直观法

学法:

动手实验,合作学习

教学辅助：

多媒体

教学过程:

2.复习旧知,创设情景:

1.创设情景在射门游戏中（如图）,球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关.

1当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?

.

三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC是什么角呢?

2.什么圆心角呢?

圆心角与弧的度数相等吗?

二.新课探究:

1..圆周角的定义（用类比的方法得出定义）

顶点在圆上,它的两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角

特征：

①角的顶点在圆上.

②角的两边都与圆相交.（说明相交指的是角边与圆除了顶点外还有公共点）

练习:

判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。

2.探索圆心与圆周角的位置关系:

一个圆的圆心与圆周角的位置可能有几种关系？

（1）圆心在角的边上;

（2）圆心在角的内部,（3）圆心在角的外部

在这三个图中，哪个图形最特殊？

其余两个可以转化成这个图形吗？

3.探索研究：

圆周角和圆心角的关系

如果圆周角和圆心角对着同一条弧，那么这两个角存在怎样的关系？

用几何画板演示探讨得到

命题：

（圆周角定理）

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

1

（1）.首先考虑一种特殊情况：

2当圆心（o）在圆周角（∠ABC）的一边（BC）上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AoC的大小关系.

3如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?

4

（2）.当圆心（O）在圆周角（∠ABC）的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?

5（3）.当圆心（O）在圆周角（∠ABC）的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?

证明略（要会分类讨论）

推论:

圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。

3.6圆内接四边形

教学目标:

1.经历探索圆周角定理的另一个推论的过程.

2.掌握圆周角定理的推论”在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等”

3.会运用上述圆周角定理的推论解决简单几何问题.

重点:

圆周角定理的推论”在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等”

难点:

例3涉及圆内角与圆外角与圆周角的关系,思路较难形成,表述也有一定的困难

例4的辅助线的添法.

教学方法：

类比启发

教学辅助：

多媒体

教学过程:

一、旧知回放:

1、圆周角定义:

顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.

特征：

①角的顶点在圆上.

②角的两边都与圆相交.

2、圆心角与所对的弧的关系

3、圆周角与所对的弧的关系

4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系

圆周角定理:

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

二.课前测验

1.100º的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。

2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为________________。

3、如图，在⊙O中，∠BAC=32º，则∠BOC=________。

4、如图，⊙O中，∠ACB=130º，则∠AOB=______。

5、下列命题中是真命题的是（）

（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。

（B）60º的圆周角所对的弧的度数是30º

（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。

（D）120º的弧所对的圆周角是60º

三,问题讨论

问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?

为什么?

问题2、如图2，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?

问题3、如图3，圆周角∠BAC=90º，弦BC经过圆心O吗？

为什么？

圆周角定理的推论：

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；

同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

四.例题教学:

例2:

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC,

以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,

求证：

⌒　⌒

BD=DE

证明：

连结AD.

∵AB是圆的直径，点D在圆上，

∴∠ADB=90°

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，

⌒　⌒

∴BD=DE（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。

练习:

如图，P是△ABC的外接圆上的一点∠APC=∠CPB=60°。

求证：

△ABC是等边三角形

例3:

船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。

如图A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。

问题:

弓形所含的圆周角∠C=50°,问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区?

（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？

为什么？

（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？

为什么？

五:

练一练:

1.说出命题’圆的两条平行弦所夹的弧相等”的逆命题.原命题和逆命题都是真命题吗?

请说明理由.

2.已知:

四边形ABCD内接于圆,BD平分∠ABC,且AB∥CD.求证:

AB=CD

六.想一想:

如图:

AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,G是⌒上任意一点,延长AG,与DC的延长线相交于点F,连接AD,GD,CG,找出图中所有和∠ADC相等的角,并说明理由.

拓展练习:

1如图,⊙O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是CO的中点,DE//AB,求证:

EC=2EA.

七:

小结:

1、本节课我们学习了哪些知识？

2、圆周角定理及其推论的用途你都知道了吗？

八、布置作业:

见作业本

3.7正多边形

教学目标

   1.在正多边形和圆中,圆的半径、边长、边心距、中心角之间的等量关系.

  2.正多边形的画法.

         重难点、关键

   1.重点:

讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系.

   2.难点与关键:

通过例题使学生理解四者:

正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系.

   教学过程

   一、复习引入

   请同学们口答下面两个问题.

   1.什么叫正多边形?

   2.从你身边举出两三个正多边形的实例,正多边形具有轴对称、是不是中心对称?

其对称轴有几条,对称中心是哪一点?

   老师点评:

1.各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.

   2.实例略.正多边形是轴对称图形,对称轴有无数多条;正多边形是中心对称图形

二、探索新知

      ,正多边形和圆的关系十分密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.

   我们以圆内接正六边形为例证明.

   如图所示的圆,把⊙O分成相等的6段弧,依次连接各分点得到六边ABCDEF,下面证明,它是正六边形.

   ∵AB=BC=CD=DE=EF

   ∴AB=BC=CD=DE=EF

   又∴∠A=BCF=（BC+CD+DE+EF）=2BC

   ∠B=CDA=（CD+DE+EF+FA）=2CD

   ∴∠A=∠B

   同理可证:

∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A

   又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上

   ∴根据正多边形的定义,各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形,⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆.

   为了今后学习和应用的方便,我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心.

   外接圆的半径叫做正多边形的半径.

   正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

   中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

   例1.已知正六边形ABCDEF,如图所示,其外接圆的半径是a,求正六边形的周长和面积.

   分析:

要求正六边形的周长,只要求AB的长,已知条件是外接圆半径,因此自然而然,边长应与半径挂上钩,很自然应连接OA,过O点作OM⊥AB垂于M,在Rt△AOM中便可求得AM,又应用垂径定理可求得AB的长.正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的.

   解:

如图所示,由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于=60°,△OBC是等边三角形,从而正六边形的边长等于它的半径.

   因此,所求的正六边形的周长为6a

   在Rt△OAM中,OA=a,AM=AB=a   利用勾股定理,可得边心距

   现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形.

  三、课堂练习：

1、用圆规画一个圆，在圆中作出一个边长为6的正方形，并求它 的中心,半径,中心角,边心距

2、用圆规画一个圆，在圆中作出正三边形，正八边形

四、归纳小结（学生小结,老师点评）

   本节课应掌握:

   1.正多边和圆的有关概念:

正多边形的中心,正多边形的半径,正多边形的中心角,正多边的边心距.

   2.正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系.

   3.画正多边形的方法.

   4.运用以上的知识解决实际问题.

3．8弧长及扇形的面积

教学目标

（一）教学知识点

1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；

2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．

（二）能力训练要求

1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力．

2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．

（三）情感与价值观要求

1．经历探索弧长及扇形面积计算公式．让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

2．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题．让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力．

教学重点

1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程．

2．了解弧长及扇形面积计算公式．

3．会用公式解决问题．

教学难点

1．探索弧长及扇形面积计算公式．

2．用公式解决实际问题．

教学方法

探索法

教学辅助：

投影片

教学过程：

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的—部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算?

它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?

本节课我们将进行探索．

Ⅱ．新课讲解

一、复习

1．圆的周长如何汁算?

2，圆的面积如何计算?

3．圆的圆心角是多少度?

[生]若圆的半径为r，则周长l＝2πr，面积S＝πr2，圆的圆心角是360°．

二、探索弧长的计算公式

360°的圆心角对应圆周长2πR，那么1°的圆心角对应的弧长为

，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即n×

.

在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长（arclength）的计算公式为：

l=

.

下面我们看弧长公式的运用．

三、例题讲解

例1、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即弧A