5．[2012·天津卷]设x∈，则“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．A [解析]当x>时，2x2＋x－1>0成立；但当2x2＋x－1>0时，x>或x<－1.
∴“x>”是“2x2＋x－1>0”充分不必要条件．
6．[2012·天津卷]下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（ ）
A．y＝cos2x，x∈
B．y＝log2|x|，x∈且x≠0
C．y＝，x∈
D．y＝x3＋1，x∈
6．B [解析]法一：
由偶函数的定义可排除CD，又∵y＝cos2x为偶函数，但在（1,2）内不单调递增，故选B.
法二：
由偶函数定义知y＝log2|x|为偶函数，以2为底的对数函数在（1,2）内单调递增．
7．[2012·天津卷]将函数f（x）＝sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是（ ）
A.B．1
C.D．2
7．D [解析]法一：
将函数f（x）＝sinωx的图象向右平移个单位，得到g（x）＝sin的图象，又∵其图象过点，∴g＝sin＝sinω＝0，
∴ω最小取取2.
法二：
函数f（x）＝sinωx的图象向右平移个单位后过点，∴函数f（x）＝sinωx的图象过点，即f＝sinω＝0，∴ω最小值取2.
8．[2012·天津卷]在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2，设点P，Q满足＝λ，＝（1－λ），λ∈.若·＝－2，则λ＝（ ）
A.B.
C.D．2
8．B [解析]·＝（－）·（－）＝[（1－λ）－]·（λ－）
＝－（1－λ）2－λ2＝3λ－4＝－2，解得λ＝.
9．[2012·天津卷]集合A＝中的最小整数为________．
9．－3 [解析]将|x－2|≤5去绝对值得－5≤x－2≤5，解之得－3≤x≤7，∴x的最小整数为－3.
10．[2012·天津卷]一个几何体的三视图如图1－2所示（单位：
m），则该几何体的体积为________m3.
图1－2
10．30 [解析]由三视图可得该几何体为两个直四棱柱的组合体，其体积V＝3×4×2＋（1＋2）×1×4＝30.
11．[2012·天津卷]已知双曲线C1：
－＝1（a＞0，b＞0）与双曲线C2：
－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F（，0），则a＝________，b＝________.
11．1 2 [解析]∵双曲线C1与C2有共同的渐近线，∴b2＝4a2.①
又∵a2＋b2＝5,②
联立①②得，a＝1，b＝2.
12．[2012·天津卷]设m，n∈，若直线l：
mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．
12．3 [解析]直线mx＋ny－1＝0与两坐标轴的交点坐标分为，，又∵直线l被圆x2＋y2＝4截得弦长为2，由垂径定理得，2＋12＝22，即＝3，
∴S△OAB＝××≥＝3.
图1－3
13．[2012·天津卷]如图1－3所示，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．
13. [解析]由相交弦的性质可得AF×FB＝EF×FC，
∴FC＝＝＝2，
又∵FC∥BD，∴＝＝＝，即BD＝，
由切割定理得BD2＝DA×DC＝4DC2，解之得DC＝.
14．[2012·天津卷]已知函数y＝的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
14．（0,1）∪（1,2） [解析]y＝＝在同一坐标系内画出y＝kx与y＝的图象如图，
结合图象当直线y＝kx斜率从0增到1时，与y＝在x轴下方的图象有两公共点；当斜率从1增到2时，与y＝的图象在x轴上下方各有一个公共点．
15．[2012·天津卷]某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
（1）求应从小学中学大学中分别抽取的学校数目；
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
15．解：
（1）从小学中学大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
（2）①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件B）的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种．
所以P（B）＝＝.
16．[2012·天津卷]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝2，c＝，cosA＝－.
（1）求sinC和b的值；
（2）求cos的值．
16．解：
（1）在△ABC中，由cosA＝－，可得sinA＝，又由＝及a＝2，c＝，可得sinC＝.
由a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋b－2＝0，
因为b＞0，故解得b＝1.
所以sinC＝，b＝1.
（2）由cosA＝－，sinA＝，
得cos2A＝2cos2A－1＝－，
sin2A＝2sinAcosA＝－.
所以，cos＝cos2Acos－sin2Asin＝.
图1－4
17．[2012·天津卷]如图1－4，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2，PD＝CD＝2.
（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；
（2）证明平面PDC⊥平面ABCD；
（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．
17．解：
（1）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC，又因为AD⊥PD，故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角．
在Rt△PDA中，tan∠PAD＝＝2.
所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2.
（2）证明：
由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD＝D，因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.
（3）在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB.
由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角．
在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝2，可得∠PCD＝30°.
在Rt△PEC中，PE＝PCsin30°＝.
由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC.
在Rt△PCB中，PB＝＝.
在Rt△PEB中，sin∠PBE＝＝.
所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.
18．[2012·天津卷]已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈，证明Tn－8＝an－1bn＋1（n∈，n＞2）．
18．解：
（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d，由条件，得方程组解得
所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈*.
（2）证明：
由
（1）得
Tn＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋（3n－1）×2n，①
2Tn＝2×22＋5×23＋…＋（3n－4）×2n＋（3n－1）×2n＋1.②
由①－②，得
－Tn＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－（3n－1）×2n＋1
＝－（3n－1）×2n＋1－2
＝－（3n－4）×2n＋1－8，
即Tn－8＝（3n－4）×2n＋1，
而当n＞2时，an－1bn＋1＝（3n－4）×2n＋1，
所以，Tn－8＝an－1bn＋1，n∈，n＞2.
19．[2012·天津卷]已知椭圆＋＝1（a＞b＞0），点P在椭圆上．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率的值．
19．解：
（1）因为点P在椭圆上，故＋＝1，可得＝，
于是e2＝＝1－＝，
所以椭圆的离心率e＝.
（2）设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx.设点Q的坐标为（x0，y0）．
由条件得消去y0并整理得
x＝.①
由|AQ|＝|AO|，A（－a,0）及y0＝kx0，得（x0＋a）2＋k2x＝a2.整理得，（1＋k2）x＋2ax0＝0.而x0≠0，故x0＝，代入①，整理得（1＋k2）2＝4k2·＋4.
由
（1）知＝，故（1＋k2）2＝k2＋4，即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5.
所以直线OQ的斜率k＝±.
20．[2012·天津卷]已知函数f（x）＝x3＋x2－ax－a，x∈，其中a＞0.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间（－2,0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
（3）当a＝1时，设函数f（x）在区间[t，t＋3]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）＝M（t）－m（t），求函数g（t）在区间[－3，－1]上的最小值．
20．解：
（1）f′（x）＝x2＋（1－a）x－a＝（x＋1）（x－a）．由f′（x）＝0，得x1＝－1，x2＝a＞0.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－1）
－1
（－1，a）
a
（a，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
极小值
故函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－1），（a，＋∞）；单调递减区间是（－1，a）．
（2）由
（1）知f（x）在区间（－2，－1）内单调递增，在区间（－1,0）内单调递减，从而函数f（x）在区间（－2,0）内恰有两个零点当且仅当
解得0＜a＜.
所以，a的取值范围是.
（3）a＝1时，f（x）＝x3－x－1.由
（1）知f（x）在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．
①当t∈[－3，－2]时，t＋3∈[0,1]，－1∈[t，t＋3]，f（x）在[t，－1]上单调递增，在[－1，t＋3]上单调递减．因此，f（x）在[t，t＋3]上的最大值M（t）＝f（－1）＝－，而最小值m（t）为f（t）与f（t＋3）中的较小者．由f（t＋3）－f（t）＝3（t＋1）（t＋2）知，当t∈[－3，－2]时，f（t）≤f（t＋3），故m（t）＝f（t），所以g（t）＝f（－1）－f（t）．而f（t）在[－3，－2]上单调递增，因此f（t）≤f（－2）＝－，所以g（t）在[－3，－2]上的最小值为g（－2）＝－－＝.
②当t∈[－2，－1]时，t＋3∈[1,2]，
且－1,1∈[t，t＋3]．
下面比较f（－1），f
（1），f（t），f（t＋3）的大小．
由f（x）在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有
f（－2）≤f（t）≤f（－1）．
f
（1）≤f（t＋3）≤f
（2）．
又由f
（1）＝f（－2）＝－，f（－1）＝f
（2）＝－，
从而M（t）＝f（－1）＝－，m（t）＝f
（1）＝－，
所以g（t）＝M（t）－m（t）＝.
综上，函数g（t）在区间[－3，－1]上的最小值为.
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