【训练3】
（1）已知函数f（x）＝，则y＝f（x）的图象大致为（ ）
解析 因为f（x）的定义域由
求得{x|x>－1，且x≠0}，所以排除选项C，D.
当x>0时，由经典不等式x>1＋lnx（x>0），
以x＋1代替x，得x>ln（x＋1）（x>－1，且x≠0），
所以ln（x＋1）－x<0（x>－1，且x≠0），易知B正确.
答案 B
（2）已知函数f（x）＝ex，x∈R.证明：
曲线y＝f（x）与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点.
证明 令g（x）＝f（x）－＝ex－x2－x－1，x∈R，
则g′（x）＝ex－x－1，
由经典不等式ex≥x＋1恒成立可知，g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在R上为单调递增函数，且g（0）＝0.
所以函数g（x）有唯一零点，即两曲线有唯一公共点.
结论4 三点共线的充要条件
A，B，C三点共线，共线；向量，，中，A，B，C三点共线存在实数α，β使得＝α＋β，且α＋β＝1.
【例4】已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2＋x＋＝0成立的实数x的取值集合为（ ）
A.{－1}B.C.{0}D.{0，－1}
解析 ∵＝－，∴x2＋x＋－＝0，
即＝－x2＋（1－x），∴－x2＋（1－x）＝1，
解得x＝0或x＝－1（x＝0舍去），∴x＝－1.
答案 A
【训练4】在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点.若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
解析
如图，连接MN并延长交AB的延长线于T.
由已知易得AB＝AT，
∴＝＝λ＋μ，
∴＝λ＋μ，
∵T，M，N三点共线，∴λ＋μ＝1，∴λ＋μ＝.
答案
结论5 三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
（1）O为△ABC的外心⟺||＝||＝||＝.
（2）O为△ABC的重心⟺＋＋＝0.
（3）O为△ABC的垂心⟺·＝·＝·.
（4）O为△ABC的内心⟺a＋b＋c＝0.
【例5】已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[（1－λ）＋（1－λ）＋（1＋2λ）·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过（ ）
A.△ABC的内心B.△ABC的垂心
C.△ABC的重心D.AB边的中点
解析 取AB的中点D，则2＝＋，
∵＝[（1－λ）＋（1－λ）＋（1＋2λ）]，
∴＝[2（1－λ）＋（1＋2λ）]
＝＋，
而＋＝1，∴P，C，D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
答案 C
【训练5】
（1）P是△ABC所在平面内一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的（ ）
A.外心B.内心C.重心D.垂心
（2）O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A.外心B.内心C.重心D.垂心
解析
（1）由·＝·，可得·（－）＝0，即·＝0，∴⊥，同理可证⊥，⊥.∴P是△ABC的垂心.
（2）为上的单位向量，为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的平分线的方向.
又λ∈[0，＋∞），∴λ的方向与＋的方向相同.
＝＋λ，∴点P在上移动.
∴P的轨迹一定要通过△ABC的内心.
答案
（1）D
（2）B
结论6 与等差数列相关的结论
（1）若等差数列{an}的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m（am＋am＋1），S偶－S奇＝md，＝.
（2）若等差数列{an}的项数为奇数2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝（2m－1）am，S奇－S偶＝am，＝.
【例6】
（1）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________.
（2）一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d＝________.
解析
（1）由am－1＋am＋1－a＝0得2am－a＝0，解得am＝0或2.
又S2m－1＝＝（2m－1）am＝38，
显然可得am≠0，所以am＝2.
代入上式可得2m－1＝19，解得m＝10.
（2）设等差数列的前12项中奇数项和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.
由已知条件，得解得
又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.
答案
（1）10
（2）5
【训练6】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝（ ）
A.3B.4C.5D.6
解析 ∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，∴am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴公差d＝am＋1－am＝1，
由Sn＝na1＋d＝na1＋，
得
由①得a1＝，代入②可得m＝5.
答案 C
结论7 与等比数列相关的结论
（1）公比q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列（n∈N*）.
（2）若等比数列的项数为2n（n∈N*），公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶＝qS奇.
（3）已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn.则Sm＋n＝Sm＋qmSn（m，n∈N*）.
【例7】
（1）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝（ ）
A.2B.C.D.3
解析 由已知＝3，得S6＝3S3，因为S3，S6－S3，S9－S6也为等比数列，所以（S6－S3）2＝S3（S9－S6），则（2S3）2＝S3（S9－3S3）.化简得S9＝7S3，从而＝＝.
答案 B
（2）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝，S6＝.
①求数列{an}的通项公式；
②求log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25的值.
解 ①由S3＝，S6＝，得S6＝S3＋q3S3＝（1＋q3）S3，∴q＝2.又S3＝a1（1＋q＋q2），得a1＝.
故通项公式an＝×2n－1＝2n－2.
②由
（1）及题意可得log2an＝n－2，
所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25＝－1＋0＋1＋2＋…＋23＝＝275.
【训练7】已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为________.
解析 设等比数列{an}的公比q，易知S3≠0.
则S6＝S3＋S3q3＝9S3，所以q3＝8，q＝2.
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，其前5项和为＝.
答案
结论8 多面体的外接球和内切球
（1）长方体的对角线长d与共点的三条棱a，b，c之间的关系为d2＝a2＋b2＋c2；若长方体外接球的半径为R，则有（2R）2＝a2＋b2＋c2.
（2）棱长为a的正四面体内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.
【例8】
（1）（2018·安徽皖北协作区联考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线（实线和虚线）表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A.24πB.29πC.48πD.58π
（2）（2018·石家庄教学质量检测）四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（ ）
A.6B.5C.D.
解析
（1）
由三视图知，该几何体为三棱锥，如图，在3×2×4的长方体中构造符合题意的几何体（三棱锥A－BCD），其外接球即为长方体的外接球.
表面积为4πR2＝π（32＋22＋42）＝29π.
（2）
过点P作PH⊥平面ABCD于点H.由题意知，四棱锥P－ABCD是正四棱锥，内切球的球心O应在四棱锥的高PH上.过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE，PF是斜高，M为球面与侧面的一个切点.
设PH＝h，易知Rt△PMO∽Rt△PHF，
所以＝，即＝，解得h＝.
答案
（1）B
（2）D
【训练8】
（1）已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为（ ）
A.B.2C.4D.3
（2）（2018·济南调研）已知球O的直径PA＝2r，B，C是该球面上的两点，且BC＝PB＝PC＝r，三棱锥P－ABC的体积为，则球O的表面积为（ ）
A.64πB.32πC.16πD.8π
解析
（1）由于直三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形.把直三棱柱ABC－A1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因为外接球的面积是16π，所以外接球半径为2，因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长，所以该三棱柱的侧棱长为＝.
（2）
如图，连接OB，OC，则几何体O－BCP是棱长为r的正四面体，所以VO－BCP＝r3，于是VP－ABC＝2VO－BCP＝r3，令r3＝，得r＝4.从而S球＝4π×42＝64π.
答案
（1）A
（2）A
结论9 圆锥曲线的切线问题
（1）过圆C：
（x－a）2＋（y－b）2＝R2上一点P（x0，y0）的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝R2.
（2）若点M（x0，y0）在曲线±＝1（a>0，b>0）上，则过M的切线方程为±＝1.
（3）①抛物线y2＝2px（p>0）上一点P（x0，y0）处的切线方程是y0y＝p（x＋x0）.
②过抛物线y2＝2px（p>0）外一点P（x0，y0）所引两条切线的切点弦方程是y0y＝p（x＋x0）.
【例9】已知抛物线C：
x2＝4y，直线l：
x－y－2＝0，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程.
解 联立方程得消去y，
整理得x2－4x＋8＝0，
Δ＝（－4）2－4×8＝－16<0，
故直线l与抛物线C相离.
由结论知，P在抛物线外，故切点弦AB所在的直线方程为x0x＝2（y＋y0），即y＝x0x－y0.
【训练9】
（1）过点（3，1）作圆（x－1）2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A.2x＋y－3＝0B.2x－y－3＝0
C.4x－y－3＝0D.4x＋y－3＝0
（2）设椭圆C：
＋＝1，点P，则椭圆C在点P处的切线方程为________________.
升级会员 