【训练3】
(1)已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为( )
解析 因为f(x)的定义域由
求得{x|x>-1,且x≠0},所以排除选项C,D.
当x>0时,由经典不等式x>1+lnx(x>0),
以x+1代替x,得x>ln(x+1)(x>-1,且x≠0),
所以ln(x+1)-x<0(x>-1,且x≠0),易知B正确.
答案 B
(2)已知函数f(x)=ex,x∈R.证明:
曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一公共点.
证明 令g(x)=f(x)-=ex-x2-x-1,x∈R,
则g′(x)=ex-x-1,
由经典不等式ex≥x+1恒成立可知,g′(x)≥0恒成立,所以g(x)在R上为单调递增函数,且g(0)=0.
所以函数g(x)有唯一零点,即两曲线有唯一公共点.
结论4 三点共线的充要条件
A,B,C三点共线,共线;向量,,中,A,B,C三点共线存在实数α,β使得=α+β,且α+β=1.
【例4】已知A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上,则使等式x2+x+=0成立的实数x的取值集合为( )
A.{-1}B.C.{0}D.{0,-1}
解析 ∵=-,∴x2+x+-=0,
即=-x2+(1-x),∴-x2+(1-x)=1,
解得x=0或x=-1(x=0舍去),∴x=-1.
答案 A
【训练4】在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点.若=λ+μ,则λ+μ=________.
解析
如图,连接MN并延长交AB的延长线于T.
由已知易得AB=AT,
∴==λ+μ,
∴=λ+μ,
∵T,M,N三点共线,∴λ+μ=1,∴λ+μ=.
答案
结论5 三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则
(1)O为△ABC的外心⟺||=||=||=.
(2)O为△ABC的重心⟺++=0.
(3)O为△ABC的垂心⟺·=·=·.
(4)O为△ABC的内心⟺a+b+c=0.
【例5】已知A,B,C是平面上不共线的三点,O为坐标原点,动点P满足=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)·],λ∈R,则点P的轨迹一定经过( )
A.△ABC的内心B.△ABC的垂心
C.△ABC的重心D.AB边的中点
解析 取AB的中点D,则2=+,
∵=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],
∴=[2(1-λ)+(1+2λ)]
=+,
而+=1,∴P,C,D三点共线,
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
答案 C
【训练5】
(1)P是△ABC所在平面内一点,若·=·=·,则P是△ABC的( )
A.外心B.内心C.重心D.垂心
(2)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心B.内心C.重心D.垂心
解析
(1)由·=·,可得·(-)=0,即·=0,∴⊥,同理可证⊥,⊥.∴P是△ABC的垂心.
(2)为上的单位向量,为上的单位向量,则+的方向为∠BAC的平分线的方向.
又λ∈[0,+∞),∴λ的方向与+的方向相同.
=+λ,∴点P在上移动.
∴P的轨迹一定要通过△ABC的内心.
答案
(1)D
(2)B
结论6 与等差数列相关的结论
(1)若等差数列{an}的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,=.
(2)若等差数列{an}的项数为奇数2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇-S偶=am,=.
【例6】
(1)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-a=0,S2m-1=38,则m=________.
(2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则数列的公差d=________.
解析
(1)由am-1+am+1-a=0得2am-a=0,解得am=0或2.
又S2m-1==(2m-1)am=38,
显然可得am≠0,所以am=2.
代入上式可得2m-1=19,解得m=10.
(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d.
由已知条件,得解得
又S偶-S奇=6d,所以d==5.
答案
(1)10
(2)5
【训练6】设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( )
A.3B.4C.5D.6
解析 ∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,∴am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∴公差d=am+1-am=1,
由Sn=na1+d=na1+,
得
由①得a1=,代入②可得m=5.
答案 C
结论7 与等比数列相关的结论
(1)公比q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列(n∈N*).
(2)若等比数列的项数为2n(n∈N*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则S偶=qS奇.
(3)已知等比数列{an},公比为q,前n项和为Sn.则Sm+n=Sm+qmSn(m,n∈N*).
【例7】
(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=( )
A.2B.C.D.3
解析 由已知=3,得S6=3S3,因为S3,S6-S3,S9-S6也为等比数列,所以(S6-S3)2=S3(S9-S6),则(2S3)2=S3(S9-3S3).化简得S9=7S3,从而==.
答案 B
(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足S3=,S6=.
①求数列{an}的通项公式;
②求log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a25的值.
解 ①由S3=,S6=,得S6=S3+q3S3=(1+q3)S3,∴q=2.又S3=a1(1+q+q2),得a1=.
故通项公式an=×2n-1=2n-2.
②由
(1)及题意可得log2an=n-2,
所以log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a25=-1+0+1+2+…+23==275.
【训练7】已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为________.
解析 设等比数列{an}的公比q,易知S3≠0.
则S6=S3+S3q3=9S3,所以q3=8,q=2.
所以数列是首项为1,公比为的等比数列,其前5项和为=.
答案
结论8 多面体的外接球和内切球
(1)长方体的对角线长d与共点的三条棱a,b,c之间的关系为d2=a2+b2+c2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a2+b2+c2.
(2)棱长为a的正四面体内切球半径r=a,外接球半径R=a.
【例8】
(1)(2018·安徽皖北协作区联考)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积为( )
A.24πB.29πC.48πD.58π
(2)(2018·石家庄教学质量检测)四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形,且PA=PB=PC=PD,若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切,则该四棱锥的高是( )
A.6B.5C.D.
解析
(1)
由三视图知,该几何体为三棱锥,如图,在3×2×4的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥A-BCD),其外接球即为长方体的外接球.
表面积为4πR2=π(32+22+42)=29π.
(2)
过点P作PH⊥平面ABCD于点H.由题意知,四棱锥P-ABCD是正四棱锥,内切球的球心O应在四棱锥的高PH上.过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图,其中PE,PF是斜高,M为球面与侧面的一个切点.
设PH=h,易知Rt△PMO∽Rt△PHF,
所以=,即=,解得h=.
答案
(1)B
(2)D
【训练8】
(1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,直角边长是1,且其外接球的表面积是16π,则该三棱柱的侧棱长为( )
A.B.2C.4D.3
(2)(2018·济南调研)已知球O的直径PA=2r,B,C是该球面上的两点,且BC=PB=PC=r,三棱锥P-ABC的体积为,则球O的表面积为( )
A.64πB.32πC.16πD.8π
解析
(1)由于直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形.把直三棱柱ABC-A1B1C1补成正四棱柱,则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径,因为外接球的面积是16π,所以外接球半径为2,因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形,斜边长,所以该三棱柱的侧棱长为=.
(2)
如图,连接OB,OC,则几何体O-BCP是棱长为r的正四面体,所以VO-BCP=r3,于是VP-ABC=2VO-BCP=r3,令r3=,得r=4.从而S球=4π×42=64π.
答案
(1)A
(2)A
结论9 圆锥曲线的切线问题
(1)过圆C:
(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2.
(2)若点M(x0,y0)在曲线±=1(a>0,b>0)上,则过M的切线方程为±=1.
(3)①抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y=p(x+x0).
②过抛物线y2=2px(p>0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y=p(x+x0).
【例9】已知抛物线C:
x2=4y,直线l:
x-y-2=0,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程.
解 联立方程得消去y,
整理得x2-4x+8=0,
Δ=(-4)2-4×8=-16<0,
故直线l与抛物线C相离.
由结论知,P在抛物线外,故切点弦AB所在的直线方程为x0x=2(y+y0),即y=x0x-y0.
【训练9】
(1)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )
A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0
(2)设椭圆C:
+=1,点P,则椭圆C在点P处的切线方程为________________.