2015-2016学年河北省衡水二中高三(上)期中数学试卷与解析(理科)1.docx

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2015­2016学年河北省衡水二中高三（上）期中数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）

1．（5分）复数z= 在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（ ）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（5分）设集合A={x|x2﹣（a+3）x+3a=0}，B={x|x2﹣5x+4=0}，集合A∪B中所有元素之和为8，则实数a的取值集合为

（ ）

A．{0}B．{0，3}C．{1，3，4} D．{0，1，3，4}

3．（5分）已知命题p：

函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为π；命题q：

若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）关于x=1对称．则下列命题是真命题的是（ ）

A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q）

4．（5分）某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ）

A．4π B． πC． πD．20π

5．（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：

①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；

②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；

第9页（共20页）

③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；

④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6（．5分）函数y= （a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则loga+loga =

（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．（5分）下列三个数：

a=ln﹣，b=lnπ﹣π，c=ln3﹣3，大小顺序正确的是（ ）

A．a＞c＞bB．a＞b＞cC．a＜c＜bD．b＞a＞c

8．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，为了得到g（x）=﹣Acosωx的图象，可以将f（x）的图象（ ）

A．向右平移 个单位长度B．向右平移 个单位长度

C．向左平移 个单位长度D．向左平移 个单位长度

9．（5分）在数列{an}中，若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值（n∈N*），且a7=2，

a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和S100=（ ）

A．132B．299C．68 D．99

10．（5分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：

①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，

③平面AMC1∥平面CNB1，其中正确结论的个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

11．（5分）设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||

的最大值是（）

A．1C．2D．2

12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）

＜f（x），且f（x+1）=f（3﹣x），f（2015）=2，则不等式f（x）＜2ex﹣1的解集为

（）

A．（﹣∞，）B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分．

13．（5分）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．

14．（5分）已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b

＞0）的最大值为7，则的最小值为．

15．（5分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a

﹣2csinA=0．若c=2，则a+b的最大值为．

16．（5分）已知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为 ．

三、解答题：

解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤

17．（10分）

（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．若不等式f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．

（2）如图，圆O的直径为AB且BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．

（Ⅰ）求证：

∠DBE=∠DBC；

（Ⅱ）若HE=4，求ED．

18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2﹣（b﹣c）

2=（2﹣ ）bc，sinAsinB=cos2，

（1）求角B的大小；

（2）若等差数列{an}的公差不为零，且a1cos2B=1，且a2、a4、a8成等比数列，求{ }的前n项和Sn．

19．（12分）已知数列{an}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为

Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}满足an+1=（） ，Tn为数列{bn}的前n项和，若Tn≥m

恒成立，求m的最大值．

20．（12分）已知函数f（x）=2 sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．

（1）当x∈（0， ）时，求f（x）的值域；

（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 = ，

=2+2cos（A+C），求f（B）的值．

21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．

（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；

（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；

（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞

|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．

22．（12分）已知函数 ．

（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？

证明你的结论；

（Ⅱ）当x＞0时， 恒成立，求整数k的最大值；

（Ⅲ）试证明：

（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e2n﹣3．

2015­2016学年河北省衡水二中高三（上）期中数学试卷

（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）

1．（5分）复数z= 在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（ ）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：

∵复数 = =﹣a﹣3i，在复平面内对应的点在第三象限，

∴﹣a＜0，解得a＞0．

∴复数 在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的充分不必要条件．故选：

A．

2．（5分）设集合A={x|x2﹣（a+3）x+3a=0}，B={x|x2﹣5x+4=0}，集合A∪B中所有元素之和为8，则实数a的取值集合为

（ ）

A．{0}B．{0，3}C．{1，3，4} D．{0，1，3，4}

【解答】解：

解方程x2﹣5x+4=0得：

x=4或1，∴B={1，4}，解方程x2﹣（a+3）x+3a=0得：

x=3或a，∴A={3}或{3，a}，

∵1+4+3=8，∴A={3}或{3，0}或{3，1}或{3，4}．

∴a=0或1或3或4．故选：

D．

3．（5分）已知命题p：

函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为π；命题q：

若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）关于x=1对称．则下列命题是真命题的是（ ）

A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q）

【解答】解：

函数f（x）=|sin2x﹣|=|2sin2x﹣1||cos2x|，

∵cos2x的周期是π，

∴函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为 ，即命题p是假命题．

若函数f（x+1）为偶函数，则f（﹣x+1）=f（x+1），即f（x）关于x=1对称，∴命题q为真命题，

则p∨q为真命题，其余为假命题，故选：

B．

4．（5分）某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ）

A．4π B． πC． πD．20π

【解答】解：

由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，

三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，

r= = ，球的表面积4πr2=4π×= π．故选：

B．

5．（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：

①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；

②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；

③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；

④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：

①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内，故①错误

②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确

③过直线m作平面γ交平面β与直线c，

∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c=O，

∵m∥β，m⊂γ，γ∩β=c∴m∥c，

∵m⊂α，c⊄α，∴c∥α，

∵n⊂β，c⊂β，n∩c=O，c∥α，n∥α

∴α∥β；故③正确

④由面面垂直的性质定理：

∵α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，∴n⊥α．故④正确故正确命题有三个，

故选：

C．

6（．5分）函数y= （a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则loga+loga =

（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：

设t=a﹣ax，则y= 为增函数，则函数y= （a＞0，a≠1）为单调函数，

当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a＞1，则当x=0时，y=1，

即y= =1，即a﹣1=1，则a=2，

则loga+loga =loga（• ）=log28=3，故选：

C．

7．（5分）下列三个数：

a=ln﹣，b=lnπ﹣π，c=ln3﹣3，大小顺序正确的是（ ）

A．a＞c＞bB．a＞b＞cC．a＜c＜bD．b＞a＞c

【解答】解：

设f（x）=lnx﹣x，（x＞0），则f′（x）=﹣1= ；

故f（x）在（1，+∞）上是减函数，且＜3＜π，

故ln﹣＞ln3﹣3＞lnπ﹣π，即a＞c＞b；

故选：

A．

8．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，为了得到g（x）=﹣Acosωx的图象，可以将f（x）的图象（ ）

A．向右平移 个单位长度B．向右平移 个单位长度

C．向左平移 个单位长度D．向