高三上学期期中数学理试题.docx
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高三上学期期中数学理试题
2019-2020年高三上学期期中数学理试题
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.复数等于
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ.
2.函数的图象大致是
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．命题：
“任意非零向量，都有”，则
A．是假命题；：
任意非零向量，都有
B．是假命题；：
存在非零向量，使
C．是真命题；：
任意非零向量，都有
D．是真命题；：
存在非零向量，使
4..函数y＝lgx－
的零点所在的大致区间是
A.（6,7）B.（7,8）C.（8,9）D.（9,10）
5．已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹角．若，，则的值为
A．B．C．D．
6.已知函数
在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是，则等于
A．B．C．D．
7.若函数是偶函数，则图象的对称轴是
A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8.自然数按一定的顺序排成一个数列，若满足
，则称数列是一个“优数列”，当时，“优数列”共有
A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标，若是3的倍数，则满足条件的点的个数为
A．252B．216C．72D．42
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.若，则．
10．集合为函数的值域，集合为函数的值域，则
11.等比数列的前项和为，若，则.
12.已知正方形，是的中点，由确定的值，计算定积分
13.在锐角中，，，则的取值范围是．
14.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，得数列，则
；对，．
三、解答题：
本小题共6小题，满分80分，须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。
15．（12分）已知向量，，且．
（１）求的值；
（2）求
的值．
16．（12分）已知数列的前n项和为，且，（=1，2，3…）
（1）求数列的通项公式；
（2）记
，求．
17．（14分）如右图，简单组合体ABCDPE，其底面ABCD为边长为的正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC＝.
（1）若N为线段PB的中点，求证：
EN//平面ABCD；
（2）求点到平面的距离．
18.（14分）如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为m，m．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕，．线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN=x（m），液晶广告屏幕MNEF的面积为S（m2）．
（1）求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；
（2）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？
19．（14分）已知数列中,,（）
（1）求数列的通项公式；
（2）设,数列的前项和为,求证:
.
20.（14分）已知函数
，其中常数。
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）当时，是否存在实数，使得直线恰为曲线的切线？
若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）设定义在上的函数的图象在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称为函数的“类对称点”。
当，试问是否存在“类对称点”？
若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由．
湛江一中xx高三年级第一学期期中考试
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
B
D
C
B
A
A
二、填空题
9、10、或11、126
12、113、14、
三、解答题
15、（12分）解：
（１），得
即，
．……………5分
（２）原式＝
…………………10分
．…………………12分
16、（12分）解：
（1）∵
∴当时，
………………..2分
即∵∴……………4分
∵∴，即∴………………6分
（2）
①…………………7分
∴
②………………8分
①－②得
………9分
即
…………………10分
∴…………………………..12分
17、（14分）
（1）解法1：
连结AC与BD交于点F，连结NF，…………………..1分
∵F为BD的中点，∴NF∥PD且NF＝
PD……………………………………………….3f
又EC∥PD，且EC＝
PD，
∴NF∥EC，且NF＝EC，∴四边形NFCE为平行四边形，………………….…………4f
∴NE∥FC.………………….………………….………………….………….5f
∵NE平面ABCD，且平面ABCD所以EN//平面ABCD；………………….6f
（2）（体积法）连结DE，由题，且，故是三棱锥的高，
………………….………………….………………….………………….……………7f
在直角梯形中，可求得，且由（１）所以
………………….………………….………………….………………….……………9f
，………………….………………….………11f
又
，………………….………………….………………12f
设所求的距离为，则………………….………………….…..14f
解法2：
（1）以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示：
………………….………………1f，
则B（2,2,0），C（0,2,0），P（0,0，2），E（0,2，1），N（1，1，1），
………………….………………….………………….………2f
∴
＝（1，－1，0），……………………..3f
，………………….………………….……………4f
又是平面ABCD的法向量
∵NE平面ABCD所以EN//平面ABCD；……………………………….6f
（2）由
（1）可知
，……………….8f
设平面的法向量为
由得………………….……………10f
解得其中一个法向量为………………………………………………..11f
点到平面的距离为
……14f
18（14分）解：
（1）．…………………………………2分
．…………………………4分
∵，∴．
∴
．…………………6分
定义域为．……………………………7分
（2）
=，………9分
令，得（舍），.…………………10分
当时，关于为减函数；
当时，关于为增函数；
∴当时，取得最小值．…………………13分
答：
当AN长为m时，液晶广告屏幕的面积最小．……14分
19、（14分）解：
（1）由得，………………..3分
又，所以是等到比数列………………….………………………..5f
，即………………….………………….…………………7f
（2）
………………………10f
…………………………………………………………………………………………….13f
………………….………………….………………….….14f
20．（14分）解：
（1）
，其中，………………….………………….………………….…………………2f
令得或.………………….………………
当及时，当时，……………3f
的单调递增区间为。
………………….………………….4f
（2）当时，
，其中，
令
，………………….………………….……………5f
方程无解，……………………………………………………………………………6f
不存在实数使得直线恰为曲线的切线。
………7f
（3）由
（2）知，当时，函数在其图象上一点处的切线方程为
………………..8f
设
则…………………………………………………………….9f
若在上单调递减，时，，此时……………………………………………………………………….
若在上单调递减，时，，此时………………………………………………………………………
在上不存在“类对称点”………………………..11f
若
在上是增函数，
当时，，当时，，故
即此时点是的“类对称点”
综上，存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标。
…….14f
2019-2020年高三上学期期中数学试卷（文科）含解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．已知集合A={0，x}，B={x2，﹣x2，|x|﹣1}，若A⊊B，则实数x的值为（）
A．1或﹣1B．1C．﹣1D．2
2．下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）
A．y=B．y=﹣x2+1C．．y=2xD．y=lg|x+1|
3．函数f（x）=2﹣2sin2（+π）的最小正周期是（）
A．B．πC．2πD．4π
4．若
=（）
A．B．C．D．
5．已知命题p：
∀x∈R，x2﹣5x+6＞0，命题q：
∃α、β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ，则下列命题为真命题的是（）
A．p∧qB．p∨（￢q）C．（￢p）∧qD．p∧（￢q）
6．“∀n∈N*，2an+1=an+an+2”是“数列{an}为等差数列”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
7．设四边形ABCD为平行四边形，||=3，||=4，若点M、N满足=3，=2，则•=（）
A．﹣1B．0C．1D．2
8．某几何体的三视图如图，则此几何体的体积为（）
A．6B．34C．44D．54
9．设x、y满足约束条件
，若目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则+的最小值为（）
A．3+2B．3﹣2C．8D．10
10．如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）＞2x﹣1的解集是（）
A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1≤x＜1}D．{x|﹣1＜x≤2}
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=__________．
12．函数f（x）=的定义域是__________．
13．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为60cm，80cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是__________cm2．
14．函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sin（x+φ）cosφ的最大值为__________．
15．定义在R上函数f（x）满足f
（1）=1，f′（x）＜2，则满足f（x）＞2x﹣1的x的取值范围是__________．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．在锐角△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠所对的边，若向量=（3，﹣sinA），=（a，5c），且•=0．
（1）求的值；
（2）若c=4，且a+b=5，求△ABC的面积．
17．如图，在各棱长均相等的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1AC=60°，D为AC的中点．
（1）求证：
B1C∥平面A1BD；
（2）求证：
平面ABB1A1⊥平面AB1C．
18．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|ω|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin（ωx+φ）
2
0
（1）请将上表空格中所缺的数据填写在答题卡的相应位置上，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）的图象，求当x∈[﹣，]时，函数f（x）=g（x）的值域．
19．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足++…+=（n2+n+2）•2n（n∈N*），求数列{bn}的前n项和．
20．（13分）设f（x）=ex（lnx﹣a）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．
（1）若y=f（x）在x=1处的切线方程为y=2ex+b，求a、b的值；
（2）若[，e]是y=f（x）的一个单调递减区间，求a的取值范围．
21．（14分）已知f（x）=x（x﹣a）．
（1）当x∈[0，1]时，f（x）有最小值﹣3，求实数a的值；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣lnx有零点，求a的最小值．
xx山东省临沂市高三（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．已知集合A={0，x}，B={x2，﹣x2，|x|﹣1}，若A⊊B，则实数x的值为（）
A．1或﹣1B．1C．﹣1D．2
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．
【分析】本题是一元一次方程和集合包含关系结合的题目，利用A⊂B，建立方程即可．
【解答】解：
∵集合A={0，x}，B={x2，﹣x2，|x|﹣1}，A⊊B，
∴|x|﹣1=0
∴x=1或﹣1；
故选：
A．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．
2．下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）
A．y=B．y=﹣x2+1C．．y=2xD．y=lg|x+1|
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据题意，结合常见的基本初等函数的图象与性质，对选项中的函数进行判断即可．
【解答】解：
对于A，函数y=的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，∴不满足题意；
对于B，函数y=﹣x2+1的图象是轴对称图形，在区间（0，+∞）上是单调减函数，∴不满足题意；
对于C，函数y=2x的图象不是轴对称图形，∴不满足题意；
对于D，函数y=lg|x+1|的图象是关于直线x=﹣1对称的图形，且在区间（0，+∞）上是单调增函数，满足题意．
故选：
D．
【点评】本题考查了基本初等函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
3．函数f（x）=2﹣2sin2（+π）的最小正周期是（）
A．B．πC．2πD．4π
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性得出结论．
【解答】解：
f（x）=2﹣2sin2（+π）=2﹣2=2﹣2•=1+cosx的最小正周期为=2π，
故选：
C．
【点评】本题主要三角恒等变换，余弦函数的周期性，属于基础题．
4．若
=（）
A．B．C．D．
【考点】对数的运算性质．
【分析】首先利用对数的运算性质求出x，然后即可得出答案．
【解答】解：
∵x=log43
∴4x=3
又∵（2x﹣2﹣x）2=4x﹣2+=3﹣2+=
故选：
D
【点评】本题考查了对数的运算性质，解题的关键是利用对数函数和指数函数的关系得出4x=3，属于基础题．
5．已知命题p：
∀x∈R，x2﹣5x+6＞0，命题q：
∃α、β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ，则下列命题为真命题的是（）
A．p∧qB．p∨（￢q）C．（￢p）∧qD．p∧（￢q）
【考点】复合命题的真假．
【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．
【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．
【解答】解：
关于命题p：
∀x∈R，x2﹣5x+6＞0，
△=25﹣24＞0，
故是假命题，
关于命题q：
∃a0∈R，β0∈R，使sin（α0+β0）=sinα0+sinβ0，
是真命题，比如α0=β0=0，
故选：
C．
【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数以及三角函数问题，是一道基础题．
6．“∀n∈N*，2an+1=an+an+2”是“数列{an}为等差数列”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由2an+1=an+an+2，可得an+2﹣an+1=an+1﹣an，可得数列{an}为等差数列；若数列{an}为等差数列，易得2an+1=an+an+2，由充要条件的定义可得答案．
【解答】解：
由2an+1=an+an+2，可得an+2﹣an+1=an+1﹣an，
由n的任意性可知，数列从第二项起每一项
与前一项的差是固定的常数，即数列{an}为等差数列，
反之，若数列{an}为等差数列，易得2an+1=an+an+2，
故“∀n∈N*，2an+1=an+an+2”是“数列{an}为等差数列”的充要条件，
故选C
【点评】本题考查充要条件的判断，涉及等差数列的判断，属基础题．
7．设四边形ABCD为平行四边形，||=3，||=4，若点M、N满足=3，=2，则•=（）
A．﹣1B．0C．1D．2
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】转化思想；数形结合法；平面向量及应用．
【分析】如图所示，=，，=，=﹣=﹣，=﹣=﹣．代入展开即可得出．
【解答】解：
如图所示，
=，，=，=﹣=﹣，=﹣=﹣．
∴•=•=﹣==0．
故选：
B．
【点评】本题考查了向量共线定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．某几何体的三视图如图，则此几何体的体积为（）
A．6B．34C．44D．54
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】由三视图可知几何体为长方体切去一三棱锥，用长方体体积减去三棱锥的体积即为几何体体积．
【解答】解：
由三视图可知几何体为长方体切去一三棱锥，直观图如图所示：
V长方体=4×3×5=60，V三棱锥=××3×4×3=6，
∴V=V长方体﹣V三棱锥=60﹣6=54．
故选D．
【点评】本题考查了几何体的三视图，属于基础题．
9．设x、y满足约束条件
，若目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则+的最小值为（）
A．3+2B．3﹣2C．8D．10
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式的解法及应用．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数求得a+2b=1，然后利用基本不等式求得+的最小值．
【解答】解：
由约束条件
作出可行域如图，
化目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）为，
联立，解得B（1，1），
由图可知，当直线过B时直线在y轴上的截距最大，z有最大值为a+2b=1，
∴+=（+）（a+2b）=3+．
当且仅当时上式等号成立．
故选：
A．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了基本不等式求最值，是中档题．
10．如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）＞2x﹣1的解集是（）
A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1≤x＜1}D．{x|﹣1＜x≤2}
【考点】函数的图象．
【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】利用指数函数的图象与性质推出结果即可．
【解答】解：
y=2x﹣1的图象如图：
不等式f（x）＞2x﹣1的解集是：
{x|﹣1≤x＜1}．
故选：
C．
【点评】本题考查函数的图象的应用，不等式的解法，考查计算能力．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=．
【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】由向量平行、垂直的充要条件，列出关于x、y的方程并解之，可得=（2，1）且=（1，﹣2），由此不难算出+向量的坐标，从而得到|+|的值．
【解答】解：
∵向量=（x，1），=（2，﹣4），且⊥，
∴x×2+1×（﹣4）=0，解得x=2，得=（2，1），
又∵=（1，y），=（2，﹣4），且∥，
∴1×（﹣4）=y×2，解得y=﹣2，得=（1，﹣2），
由此可得：
+=（2+1，1+（﹣2））=（3，﹣1）
∴|+|==
故答案为：
【点评】本题给出三个向量，在已知向量平行、垂直的情况下求和向量的模，着重考查了向量平行、垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算等知识，属于基础题．
12．函数f（x）=的定义域是（1，2）．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的关于自变量的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：
∵函数f（x）=，
∴
，
解得﹣＜x＜2；
∴函数f（x）的定义域是（1，2）．
故答案为：
（1，2）．
【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题的关键是列出使解析式有意义的关于自变量的不等式组，是容易题．
13．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为60cm，80cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是1200cm2．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】设CD=x，CF=y，根据比例线段得出y=60﹣x，而面积S=xy，建立二次函数关系式，再利用二次函数性质求解．
【解答】解：
设CD=x，CF=y，则根据比例线段得出=，
即=，化简为y=60﹣x，
所以矩形的面积s=xy=（60﹣x）x=﹣x2+60x
=﹣（x﹣40）2+1200，
x=40时，S最大值为1200，
所以最大面积为1xxcm2，
故答案为：
1200．
【点评】本题重点考查二次函数模型的构建，考查配方法求函数的最值，解题的关键是构建二次函数模型．
14．函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sin（x+φ）cosφ的最大值为1．
【考点】三角函数的最值．
【专题】转化思想；整体思想；三角函数的求值．
【分析】由三角函数公式和整体思想化简可得f（x）=﹣sinx，易得最大值．
【解答】解：
由三角函数公式化简可得：
f（x）=sin（x+2φ）﹣2sin（x+φ）cosφ
=sin[（x+φ）+φ]﹣2sin（x+φ）cosφ
=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sin（x+φ）cosφ
=﹣sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ
=
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