正比例函数概念.docx

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正比例函数概念

正比例函数的概念

一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。

正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。

正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b中，若b＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。

正比例函数的关系式表示为：

y=kx（k为比例系数）

当K＞0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近。

函数值y随着自变量x的增大而增大．

当K＜0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。

自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小．

[编辑本段]正比例函数的性质

1.定义域：

R（实数集）

2.值域：

R（实数集）

3.奇偶性：

奇函数

4.单调性：

当k>0时，图象位于第一、三象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k<0时，图象位于第二、四象限，y随x的增大而减小（单调递减）。

5.周期性：

不是周期函数。

6.对称轴：

直线，无对称轴。

[编辑本段]正比例函数解析式的求法

设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），将已知点的坐标带入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。

另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y值即可。

[编辑本段]正比例函数的图像

正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（x，kx）两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。

[编辑本段]正比例函数图像的作法

1.在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y值

2.根据第一步求的x、y的值描出点

3.做过第二步描出的点和原点的直线

[编辑本段]正比例函数的应用

正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。

比如斜率问题就取决于K值，当K越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然

还有，y=kx是y=k/x的图像的对称轴。

①正比例：

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．①用字母表示：

如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示：

②正比例关系两种相关联的量的变化规律：

对于比值为正数的,即y=kx（k>0）,此时的y与x,同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：

汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？

以上各种商都是一定的，那么被除数和除数．所表示的两种相关联的量，成正比例关系．注意：

在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例．例如：

一个人的年龄和它的体重，就不能成正比例关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系。

[编辑本段]反比例函数的定义

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。

因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。

而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-¹。

[编辑本段]反比例函数表达式

y＝k／x其中X是自变量，Y是X的函数

y=k/x=k·1/x

xy=k

y=k·x^-1

y=k\x（k为常数（k≠0），x不等于0）

[编辑本段]反比例函数的自变量的取值范围

①k≠0;②一般情况下,自变量x的取值范围是x≠0的一切实数;③函数y的取值范围也是一切非零实数.

[编辑本段]反比例函数图象

反比例函数的图象属于双曲线,

曲线越来越接近X和Y轴但不会相交（K≠0）。

[编辑本段]反比例函数性质

1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限。

2.当k>0时.在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大。

k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x（k≠0）中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|

5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么AB两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则b²+4k·m≥（不小于）0。

8.反比例函数y=k/x的渐近线：

x轴与y轴。

[编辑本段]反比例函数的应用举例

【例1】反比例函数的图象上有一点P（m,n）其坐标是关于t的一元二次方程t2-3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式．

分析：

要求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k的方程．

解：

∵m,n是关于t的方程t2-3t+k=0的两根

∴m+n=3，mn=k,

又PO=根号13，

∴m2+n2=13，

∴（m+n）2-2mn=13，

∴9-2k=13．

∴k=-2

当k=-2时，△=9+8＞0，

∴k=-2符合条件，

【例2】直线与位于第二象限的双曲线相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足分别为B、C，矩形ABOC的面积为6，求：

（1）直线与双曲线的解析式；

（2）点A、A1的坐标.

分析：

矩形ABOC的边AB和AC分别是A点到x轴和y轴的垂线段，

设A点坐标为（m,n），则AB=|n|,AC=|m|，

根据矩形的面积公式知|m·n|=6.

【例3】如图，在的图象上有A、C两点，分别向x轴引垂线，垂足分别为B、D，连结OC，OA，设OC与AB交于E，记△AOE的面积为S1，四边形BDCE的面积为S2，试比较S1与S2的大小．

[编辑本段]数学术语

【读音】yīcìhánshù

【解释】函数的基本概念：

一般地，在一个变化过程中，有两个变量X和Y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说X是自变量，y是x的函数。

表示为y＝Kx＋b（其中b为任意常数,k不等于0），当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。

可表示为y=kx

[编辑本段]基本定义

变量：

变化的量

常量：

不变的量

自变量x和X的一次函数y有如下关系：

y=kx+b（k为任意不为零常数，b为任意常数）

当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。

如果有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。

x为自变量，y为因变量，k为常量，y是x的一次函数。

特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：

y=kx（k为常量，但K≠0）正比例函数图像经过原点。

定义域：

自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。

[编辑本段]相关性质

函数性质

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：

y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）

2.当x=0时，b为函数在y轴上的,坐标为（0,b）.

3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanΘ（角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,Θ≠90°）

形、取、象、交、减。

4.当b=0时（即y=kx），一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.

5.函数图像性质：

当k相同，且b不相等，图像平行；当k不同，且b相等，图像相交；当k互为负倒数时，两直线垂直；当k，b都相同时，两条直线重合。

图像性质

1．作法与图形：

通过如下3个步骤

（1）列表

（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理]；

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）

2．性质：

（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：

y=kx+b（k≠0）。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b），与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。

3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

4．k，b与函数图像所在象限：

y=kx时（即b等于0，y与x成正比例）：

当k＞0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b时：

当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限。

当k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限。

当k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限。

当k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限。

当b＞0时，直线必通过第一、二象限；

当b＜0时，直线必通过第三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。

当k＜0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。

4、特殊位置关系

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

[编辑本段]表达式

解析式类型

①ax+by+c=0[一般式]

②y=kx+b[斜截式]

（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）

③y-y1=k（x-x1）[点斜式]

（k为直线斜率,（x1,y1）为该直线所过的一个点）

④（y-y1）/（y2-y1）=（x-x1）/（x2-x1）[两点式]

（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）

⑤x/a-y/b=0[截距式]

（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）

解析式表达局限性：

①所需条件较多（3个）；

②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；

④参数较多，计算过于烦琐；

⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。

倾斜角：

x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。

设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg（a）

[编辑本段]常用公式

1.求函数图像的k值：

（y1-y2）/（x1-x2）

2.求与x轴平行线段的中点：

|x1-x2|/2

3.求与y轴平行线段的中点：

|y1-y2|/2

4.求任意线段的长：

√（x1-x2）^2+（y1-y2）^2（注：

根号下（x1-x2）与（y1-y2）的平方和）

5.求两个一次函数式图像交点坐标：

解两函数式

两个一次函数y1=k1x+b1y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1y2=k2x+b2两式任一式得到y=y0则（x0,y0）即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2交点坐标

6.求任意2点所连线段的中点坐标：

[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]

7.求任意2点的连线的一次函数解析式：

（X-x1）/（x1-x2）=（Y-y1）/（y1-y2）（其中分母为0，则分子为0）

xy

++在第一象限

+-在第四象限

-+在第二象限

--在第三象限

8.若两条直线y1=k1x+b1‖y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2

9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1

10.

y=k（x-n）+b就是向右平移n个单位

y=k（x+n）+b就是向左平移n个单位

口诀：

右减左加（对于y=kx+b来说，只改变k）

y=kx+b+n就是向上平移n个单位

y=kx+b-n就是向下平移n个单位

口诀：

上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）

[编辑本段]相关应用

生活中的应用

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。

s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。

设水池中原有水量S。

g=S-ft。

3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

数学问题

一、确定字母系数的取值范围

例1已知正比例函数，则当k<0时，y随x的增大而减小。

解：

根据正比例函数的定义和性质，得且m<0，即且，所以。

二、比较x值或y值的大小

例2.已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（）

A.x1>x2B.x1

解：

根据题意，知k=3>0，且y1>y2。

根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。

故选A。

三、判断函数图象的位置

例3.一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解：

由kb>0，知k、b同号。

因为y随x的增大而减小，所以k<0。

所以b<0。

故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。

故选A.

典型例题

例1.一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.

分析：

此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.

解：

由题意设所求函数为y=kx+12

则13.5=3k+12，得k=0.5

∴所求函数解析式为y=0.5x+12

由23=0.5x+12得：

x=22

∴自变量x的取值范围是0≤x≤22

例2某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元，若学校自刻，除租用刻录机120元外，每张还需成本4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省？

此题要考虑X的范围

解:

设总费用为Y元，刻录X张

电脑公司：

Y1=8X

学校：

Y2=4X+120

当X=30时，Y1=Y2

当X>30时，Y1>Y2

当X<30时，Y1

【考点指要】

一次函数的定义、图象和性质在中考说明中是C级知识点，特别是根据问题中的条件求函数解析式和用待定系数法求函数解析式在中考说明中是D级知识点.它常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，大约占有8分左右.解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.

例3如果一次函数y=kx+b中x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9.求此函数的的解析式。

解：

（1）若k＞0，则可以列方程组-2k+b=-11

6k+b=9

解得k=2.5b=-6，则此时的函数关系式为y=2.5x—6

（2）若k＜0，则可以列方程组-2k+b=9

6k+b=-11

解得k=-2.5b=4，则此时的函数解析式为y=-2.5x+4

【考点指要】

此题主要考察了学生对函数性质的理解，若k＞0，则y随x的增大而增大；若k＜0，则y随x的增大而减小。

定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

一般式：

1：

y=ax^2;+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），则称y为x的二次函

数。

顶点坐标（-b/2a,（4ac-b^2）/4a）

2：

顶点式：

y=a（x-h）^2+k或y=a（x+m）^2+k（两个式子实质一样,

但初中课本上都是第一个式子）

3：

交点式（与x轴）：

y=a（x-x1）（x-x2）

重要概念：

（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。

IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。

）

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

x是自变量，y是x的二次函数

x1,x2=[-b±根号下（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）

求根的方法还有十字相乘法和配方法

[编辑本段]二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

不同的二次函数图像

如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。

注意：

草图要有1本身图像，旁边注名函数。

2画出对称轴，并注明X=什么

3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。

[编辑本段]抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时

（即ab＜0），对称轴在y轴右。

事实上，b有其自身的几何意义：

抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的

斜率k的值。

可通过对二次函数求导得到。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

_______

Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上

虚数i，整个式子除以2a）

当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f（-b/2a）=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在

{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c（a≠0）

7.特殊值的形式

①当x=1时y=a+b+c

②当x=-1时y=a-b+c

③当x=2时y=4a+2b+c

④当x=-2时y=4a-2b+c

8.定义域：

R

值域：

（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[（4ac-b^2）/4a，

正无穷）；②[t，正无穷）

奇偶性：

偶函数

周期性：

无

解析式：

①y=ax^2+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；

⑶极值点：

（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）；

⑷Δ=b^2-4ac,

Δ＞0，图象与x轴交于两点：

（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

Δ＝0，图象与x轴交于一点：

（-b/2a，0）；

Δ＜0，图象与x轴无交点；

②y=a（x-h）^2+k[顶点式]

此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=（4ac-b^2）/4a；

③y=a（x-x1）（x-x2）[交点式（双根式）]（a≠0）

对称轴X=（X1+X2）/2当a>0且X≥（X1+X2）/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≤（X1+X2）/2时Y随X

的增大而减小

此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连

用）。

[编辑本段]二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即ax^2+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1．二次函数y=ax^2;，y=a（x-h）^2;，y=a（x-h）^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式

y=ax^2;

y=ax^2+K

y=a（x-h）^2;

y=a（x-h）^2+k

y=ax^2+bx+c

顶点坐标

（0，0）

（0，K）

（h，0）

（h，k）

（-b/2a，4ac-b^2/4a）

对称轴

x=0

x=0

x=h

x=h

x=-b/2a

当h>0时，y=a（x-h）^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x-h）^2+k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）^2-k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x+h）²+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）²+k的图象；在向上或向下.向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。

因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x-h）^2;+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．