圆轴的扭转.docx

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圆轴的扭转

第八章圆轴的扭转

工程构件一般可分为三类。

第四章已指出：

杆是某一方向尺寸远大于其它二方向尺寸的构件，若杆件的轴线为直线，则称为直杆。

此外，若构件在某一方向的尺寸远小于其它二方向的尺寸，称之为板。

若构件在x、y、z三个方向的尺寸具有相同的数量级，则称为块体。

本课程主要讨论直杆，这是一种最简单的构件。

如同4.4节所述，在空间任意力系的作用下，杆件截面内力的最一般情况是六个分量都不为零，其变形是很复杂的。

为了简化讨论，我们将杆的基本变形分成为三类，即拉压、扭转、弯曲，如图4.3所示。

前面已经讨论了在轴向载荷作用下杆的拉伸和压缩；现在再来研究杆的另一类基本变形，即扭转问题。

§8.1扭转的概念和实例

工程中承受扭转的构件是很常见的。

如图8.1所示的汽车转向轴，驾驶员操纵方向盘将力偶作用于转向轴AB的上端，转向轴的下端B则受到来自转向器的阻抗力偶的作用，使转向轴AB发生扭转。

又如图8.2中的传动轴，轮C上作用着主动力偶矩，使轴转动；轮D输出功率，受到阻力偶矩的作用，轴CD也将发生扭转。

以上二例都是承受扭转的构件实例。

由于工程中承受扭转的构件大多为圆截面直杆，故称之为轴。

本章亦仅限于讨论直圆轴的扭转问题。

图8.3所示为等截面直圆轴扭转问题的示意图。

扭转问题的受力特点是：

在各垂直于轴线的平面内承受力偶作用。

如在图8.3中，圆轴AB段两端垂直于轴线的平面内，各作用有一个外力偶M0，此二力偶的力偶矩相等而转向相反，故是满足平衡方程的。

圆轴扭转问题的变形特点是：

在上述外力偶系的作用下，圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动；任意两横截面间相对转过的角度，称为相对扭转角，以φ表示。

图8.3中，φAB表示截面B相对于截面A的扭转角。

必须指出，工程中的传动轴，除受扭转作用外，往往还伴随有弯曲、拉伸（压缩）等其它形式的变形。

这类问题属于组合变形，将在以后研究。

§8.2扭矩与扭矩图

已知轴所传递的功率、转速，可利用6.3节提供的“功率、转速与传递的扭矩之关系”来计算作用于传动轴上的外力偶矩M0。

M0给出以后，即可用截面法确定扭转轴各横截面上的内力。

显然，对于承受扭转作用的轴，横截面上的内力是作用于截面上的内力偶矩，称之为扭矩。

为确定图8.4（a）所示之扭转轴内任意横截面C上的内力，可截取左段为研究对象，如图8.4（b）所示。

截面C上的内力（扭矩）记为MT，由平衡方程有：

∑Mx=MT-M0=0

即得：

MT=M0

若截取轴的右段为研究对象,如图8.4（c）所示，同样可求得截面C上的扭矩=M0。

与MT是作用力与反作用力关系，其数值相等，转向相反，作用在不同的轴段上。

为了使截取不同研究对象所求得的同一截面上的扭矩不仅数值相等，而且符号也相同，可对扭矩符号作如下规定：

采用右手螺旋法则，用四指表示扭矩的转向，大拇指的指向与截面的外法线方向相同时，该扭矩为正，反之为负。

应用此规则可知，图8.4所示截面C之扭矩为正号。

当轴上作用有两个以上的外力偶矩时，应分段计算轴的扭矩。

为了清楚地表示扭矩沿轴线的变化情况，通常以横坐标表示截面的位置，纵坐标表示扭矩的大小，给出各截面扭矩随其位置而变化的图线，称为扭矩图。

扭矩图与轴力图一样，应画在载荷图的对应位置，一目了然。

例8.1传动轴如图8.5（a）所示，已知转速n=300r/min，主动轮A输入功率NpA=400kW，三个从动轮输出的功率分别为：

NpB=NpC=120kW，NpD=160kW，试作轴的扭矩图。

解：

（1）计算外力偶矩

由（6-10）式知：

M（kNm）=9.55NP（kW）/n（r/min）

故有：

MA=9.55400kW/300（r/min）

=12.73kNm

MB=MC=9.55120kW/300（r/min）

=3.82kNm

MD=9.55160kW/（300r/min）

=5.09kNm

（2）用截面法求截面扭矩

BC段：

沿截面1-1将轴截开，取左段为研究对象，沿正向假设截面扭矩为MT1，如图8.5（b）。

由平衡方程可知有：

∑Mx=MT1+MB=0

得到：

MT1=-MB=-3.82kNm

CA段：

截取研究对象如图8.5（c）所示，由平衡方程可知截面扭矩MT2为：

∑Mx=MT2+MB+MC=0

得到：

MT2=-（MB+MC）=-7.64kNm

AD段：

沿3-3截面截开后取右段为研究对象，如图8.5（d）所示。

有平衡方程：

∑Mx=MT3-MD=0

得到：

MT3=MD=5.09kNm

应当指出，在求以上各截面的扭矩时，采用了“设正法”，即截面扭矩按正向假设；若所得结果为负，则表示该扭矩的实际方向与假设的方向相反。

本题计算结果表明BC段及CA段扭矩为负，AD段扭矩为正。

（3）作扭矩图

注意到轴各段内的扭矩均相同，则由上述结果不难作出如图8.5（e）所示之扭矩图。

可见，该轴的最大扭矩|MT|max=7.64kNm，作用在CA段上。

讨论一：

扭矩图的简捷画法

类似于第四章所述轴力图的简捷画法，对于扭矩图，同样可以从左端开始，按扭矩符号规定标出参考正向如图8.6，图中MB为负，扭矩图向下画至3.82kNm；BC段无外力偶矩作用，画水平线；C处MC与参考正向相反，扭矩图继续向下行3.82kNm至7.64kNm；CA段无外力偶矩作用，画水平线；A处MA与参考正向相同，扭矩图向上行MA=12.73kNm；AD段无外力矩作用，仍画水平线；D处MD与参考正向相反，扭矩图向下行MD=5.09kNm；回至零，图形封闭，满足平衡条件∑Mx=0。

这样得到的结果必然是与截面法一致的。

讨论二：

对于本题所论之传动轴，若将主动轮A与从动轮D的位置对换，作扭矩图后可知，轴的最大扭矩在AD段，且为|MT|max=12.73kNm。

由此可见，合理安排主、从动轮的位置，可以使轴的最大扭矩值降低。

例8.2试作图8.7所示固定支承轴的扭矩图。

已知MB=40kNm，MC=MD=10kNm。

解：

1）求固定端约束反力偶。

设固定端反力偶MA如图，有平衡方程：

∑Mx=MA+MB-MC-MD=0

MA=MC+MD-MB=-20kNm

2）在左端设置参考正向如图。

3）画扭矩图。

从左端开始，MA为-20kNm，AB段画水平线；B处MB为正，向上行40kNm，至+20kNm，再画水平线；C处MC为负，向下行10kNm；D处MD亦为负，再向下行10kNm，回至零。

结果如图所示。

§8.3圆轴扭转时的应力和变形

8.3.1圆轴扭转的应力公式

分析研究变形体静力学问题的主线，是研究力的平衡、变形的几何协调及力与变形间的物理关系。

与杆的拉伸压缩相比较，差别主要在于圆轴扭转时的变形有其特殊性。

因此，我们首先讨论圆轴扭转时的变形几何关系，找出应变的变化规律；然后再利用物理关系，找出应力分布规律；最后，根据静力平衡关系导出应力计算公式。

1.变形几何关系

为建立圆轴扭转时变形几何关系，首先应通过试验观察圆轴扭转时的变形现象。

在圆轴表面作圆周线与轴向线，如图8.8（a）所示。

在轴二端施加扭矩后，圆轴发生扭转，如图8.8（b）。

由此可以观察到：

各圆周线相对旋转了一个角度，但圆周线的尺寸、形状和相邻两圆周线之间的距离不变；各纵向线在小变形情况下，仍近似地是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度。

变形后圆轴表面的方格变成为菱形。

根据所观察到的圆轴表面变形现象，可以设想圆轴由一系列刚性平截面（横截面）组成，在扭转过程中，相邻两刚性横截面只发生相对转动。

于是可作出如下假设：

圆轴的横截面变形后仍保持为平面，其形状和大小不变（半径尺寸不变且仍为直线），相邻两横截面间的距离不变。

这一假设称为圆轴扭转的刚性平面假设。

这一假设是否正确，应当根据由此假设所导出的结论—圆轴扭转的应力和变形计算公式，是否符合实验结果来验证。

依据上述刚性平面假设，注意到横截面间的距离不变即轴向线的长度未发生改变，于是可知扭转时圆轴横截面上只有垂直于半径方向的剪应力，而无正应力。

为了研究圆周扭转时剪应变的变化和分布规律，在图8.9（a）所示圆轴上相距为dx的截面1-1和截面2-2间取楔形体如图8.9（b）。

在扭矩的作用下，截面2-2相对于截面1-1转动了一个微小角度dφ。

故截面2-2上的两条半径O2c和O2d都旋转了同一角度dφ，而变成为O2c′和O2d′；矩形abcd变成了平行四边形abc′d′，如图8.9（b）所示。

由△acc’和△O2cc’可以看到，弧段

=rdφ=γdx，

所以有：

γ=。

式中γ是图8.9（b）中a、b处直角的改变量，即半径为r处（即轴表面处）的剪应变。

同理，在截面上任一点（距截面中心ρ处），由图8.9（b）可给出剪应变γ为：

γ=

式中，γ为距中心为处的剪应变；d/dx称为轴单位长度上的相对扭转角。

由刚性平面假设还可知，圆轴的横截面变形后仍保持平面，不仅形状和大小不变，半径也仍然保持为直线。

所以，在同一横截面上d/dx为常数。

故上式表明，圆轴扭转时，横截面上各点的剪应变γ与该点到截面中心的距离成正比。

2.物理关系

材料的剪应力（τ）-剪应变（γ）关系同样可以由实验获得。

对于线性弹性材料，剪切虎克定律=G成立，G为剪切弹性模量，与弹性模量E一样，G也是材料常数。

在线弹性物理关系下，剪应力与剪应变成正比，故横截面上任一距截面中心o为处的剪应力为：

（a）

上式给出了扭转圆轴横截面上的剪应力分布规律。

因为G是材料常数，在同一横截面上d/dx亦为常数，故截面上任意一点的剪应力与该点到轴心的距离成正比；由于剪应变发生在垂直于半径的平面内，故剪应力方向与半径垂直。

显然，剪应力t在横截面上是线性分布的，在ρ=r的外圆周上剪应力t最大，且有：

在圆心ρ=0处，剪应力t=0，如图8.10所示。

3.静力平衡条件

上述剪应力的表达式中，d/dx尚为未知量，故还不能计算出剪应力的值。

需要进一步讨论力的平衡关系。

在轴的横截面上距圆心处取微面积dA，其上作用的微内力为dA。

如图8.10所示。

为保持力的平衡，截面所有微面积上的微内力对轴中心O处的力矩之总和，应等于作用在该截面上的扭矩MT，即

将代入上式，并将常量G、d/dx提到积分号外，有：

式中，是只与横截面形状和尺寸有关的几何量，用I表示，即：

I称为横截面的极惯性矩，量纲为[长度]4。

相对扭转角d/dx即可写为：

将上式代入（a）式，即得到横截面上任一距轴心为处的剪应力公式为：

上式再一次指出，圆轴扭转时横截面上任意一点的剪应力与该点到轴心的距离成正比；越大，剪应力越大；在截面中心=0，=0；当=r时，位于横截面外圆周边各点处的剪应力最大，且有：

式中，WT=I/r，称为抗扭截面模量，量纲为[长度]3。

综上所述可知，圆轴扭转时横截面上的应力是剪应力，剪应力在横截面上线性分布，在截面中心=0，=0；在外圆周边各点=r，=max=MT/WT；剪应力与半径垂直，其指向可由作用在该点上的微内力对轴心之矩与截面扭矩MT转向一致来确定。

对于空心圆轴，可以进行类似的分析，得到同样的应力和变形公式，不同的只是极惯性矩I和抗扭截面模量WT的计算。

8.3.2极惯性矩和抗扭截面模量的计算

1.实心圆截面

对于直径为D的实心圆截面，可取一距圆心为、厚度为d的圆环作为微面积dA，如图8.11（a）所示。

则dA=2d,代入（8-1）式积分即得极惯性矩为：

抗扭截面模量WT则为：

2.空心圆截面