圆轴的扭转.docx

1、圆轴的扭转第八章 圆轴的扭转 工程构件一般可分为三类。第四章已指出：杆是某一方向尺寸远大于其它二方向尺寸的构件，若杆件的轴线为直线，则称为直杆。此外，若构件在某一方向的尺寸远小于其它二方向的尺寸，称之为板。若构件在x、y、z三个方向的尺寸具有相同的数量级，则称为块体。本课程主要讨论直杆，这是一种最简单的构件。 如同4.4节所述，在空间任意力系的作用下，杆件截面内力的最一般情况是六个分量都不为零，其变形是很复杂的。为了简化讨论，我们将杆的基本变形分成为三类，即拉压、扭转、弯曲，如图4.3所示。 前面已经讨论了在轴向载荷作用下杆的拉伸和压缩；现在再来研究杆的另一类基本变形，即扭转问题。8.1 扭转

2、的概念和实例 工程中承受扭转的构件是很常见的。如图8.1所示的汽车转向轴，驾驶员操纵方向盘将力偶作用于转向轴AB的上端，转向轴的下端B则受到来自转向器的阻抗力偶的作用，使转向轴AB发生扭转。又如图8.2中的传动轴，轮C上作用着主动力偶矩，使轴转动；轮D输出功率，受到阻力偶矩的作用，轴CD也将发生扭转。 以上二例都是承受扭转的构件实例。由于工程中承受扭转的构件大多为圆截面直杆，故称之为轴。本章亦仅限于讨论直圆轴的扭转问题。图8.3所示为等截面直圆轴扭转问题的示意图。扭转问题的受力特点是：在各垂直于轴线的平面内承受力偶作用。如在图8.3中，圆轴AB段两端垂直于轴线的平面内，各作用有一个外力偶M0，

3、此二力偶的力偶矩相等而转向相反，故是满足平衡方程的。圆轴扭转问题的变形特点是：在上述外力偶系的作用下，圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动；任意两横截面间相对转过的角度，称为相对扭转角，以表示。图8.3中，AB表示截面B相对于截面A的扭转角。必须指出，工程中的传动轴，除受扭转作用外，往往还伴随有弯曲、拉伸(压缩)等其它形式的变形。这类问题属于组合变形，将在以后研究。 8.2 扭矩与扭矩图 已知轴所传递的功率、转速，可利用6.3节提供的“功率、转速与传递的扭矩之关系”来计算作用于传动轴上的外力偶矩M0。M0给出以后，即可用截面法确定扭转轴各横截面上的内力。显然，对于承受扭转作用的轴，横截面上的内力

4、是作用于截面上的内力偶矩，称之为扭矩。 为确定图8.4(a)所示之扭转轴内任意横截面C上的内力，可截取左段为研究对象，如图8.4(b)所示。截面C上的内力(扭矩)记为MT，由平衡方程有： Mx=MT-M0=0 即得： MT=M0 若截取轴的右段为研究对象, 如图8.4(c)所示，同样可求得截面C上的扭矩=M0。与MT是作用力与反作用力关系，其数值相等，转向相反，作用在不同的轴段上。为了使截取不同研究对象所求得的同一截面上的扭矩不仅数值相等，而且符号也相同，可对扭矩符号作如下规定：采用右手螺旋法则，用四指表示扭矩的转向，大拇指的指向与截面的外法线方向相同时，该扭矩为正，反之为负。应用此规则可知，

5、图8.4所示截面C之扭矩为正号。 当轴上作用有两个以上的外力偶矩时，应分段计算轴的扭矩。为了清楚地表示扭矩沿轴线的变化情况，通常以横坐标表示截面的位置，纵坐标表示扭矩的大小，给出各截面扭矩随其位置而变化的图线，称为扭矩图。扭矩图与轴力图一样，应画在载荷图的对应位置，一目了然。 例8.1 传动轴如图8.5(a)所示，已知转速n=300 r/min，主动轮A输入功率NpA=400kW，三个从动轮输出的功率分别为：NpB=NpC=120kW，NpD=160kW，试作轴的扭矩图。解：(1)计算外力偶矩 由(6-10)式知：M(kN m) =9.55NP (kW) /n (r/min) 故有：MA=9.

6、55400kW/300(r/min) =12.73 kN m MB=MC=9.55120 kW /300 (r/min) =3.82 kN m MD=9.55160 kW /(300 r/min)=5.09 kN m (2)用截面法求截面扭矩 BC段：沿截面1-1将轴截开，取左段为研究对象，沿正向假设截面扭矩为MT1，如图8.5(b)。由平衡方程可知有： Mx=MT1+MB=0得到： MT1=-MB=-3.82 kN m CA段：截取研究对象如图8.5(c)所示，由平衡方程可知截面扭矩MT2为： Mx=MT2+MB+MC=0得到： MT2=-(MB+MC)=-7.64 kN mAD段：沿3-3

7、截面截开后取右段为研究对象，如图8.5(d)所示。有平衡方程： Mx=MT3-MD=0得到： MT3=MD=5.09 kN m 应当指出，在求以上各截面的扭矩时，采用了“设正法”，即截面扭矩按正向假设；若所得结果为负，则表示该扭矩的实际方向与假设的方向相反。本题计算结果表明BC段及CA段扭矩为负，AD段扭矩为正。 (3)作扭矩图 注意到轴各段内的扭矩均相同，则由上述结果不难作出如图8.5(e)所示之扭矩图。可见，该轴的最大扭矩 |MT|max=7.64 kN m，作用在CA段上。 讨论一：扭矩图的简捷画法类似于第四章所述轴力图的简捷画法，对于扭矩图，同样可以从左端开始，按扭矩符号规定标出参考正

8、向如图8.6，图中MB为负，扭矩图向下画至3.82kN m；BC段无外力偶矩作用，画水平线；C处MC与参考正向相反，扭矩图继续向下行3.82kN m至7.64kN m；CA段无外力偶矩作用，画水平线；A处MA与参考正向相同，扭矩图向上行MA=12.73kN m；AD段无外力矩作用，仍画水平线；D处MD与参考正向相反，扭矩图向下行MD=5.09kN m；回至零，图形封闭，满足平衡条件Mx=0。这样得到的结果必然是与截面法一致的。讨论二： 对于本题所论之传动轴，若将主动轮A与从动轮D的位置对换，作扭矩图后可知，轴的最大扭矩在AD段，且为|MT|max=12.73kN m。由此可见，合理安排主、从动

9、轮的位置，可以使轴的最大扭矩值降低。例8.2 试作图8.7所示固定支承轴的扭矩图。已知MB=40kN m，MC= MD=10kN m。 解：1）求固定端约束反力偶。 设固定端反力偶MA如图，有平衡方程： Mx=MA+ MB-MC-MD=0 MA=MC+MD-MB=-20kN m2) 在左端设置参考正向如图。3）画扭矩图。从左端开始，MA为-20kN m，AB段画水平线；B处MB为正，向上行40kN m，至+20kN m，再画水平线；C处MC为负，向下行10kN m；D处MD亦为负，再向下行10kN m，回至零。结果如图所示。8.3 圆轴扭转时的应力和变形 8.3.1 圆轴扭转的应力公式 分析研

10、究变形体静力学问题的主线，是研究力的平衡、变形的几何协调及力与变形间的物理关系。与杆的拉伸压缩相比较，差别主要在于圆轴扭转时的变形有其特殊性。因此，我们首先讨论圆轴扭转时的变形几何关系，找出应变的变化规律；然后再利用物理关系，找出应力分布规律；最后，根据静力平衡关系导出应力计算公式。 1.变形几何关系 为建立圆轴扭转时变形几何关系，首先应通过试验观察圆轴扭转时的变形现象。在圆轴表面作圆周线与轴向线，如图8.8(a)所示。在轴二端施加扭矩后，圆轴发生扭转，如图8.8(b)。由此可以观察到：各圆周线相对旋转了一个角度，但圆周线的尺寸、形状和相邻两圆周线之间的距离不变；各纵向线在小变形情况下，仍近似

11、地是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度。变形后圆轴表面的方格变成为菱形。根据所观察到的圆轴表面变形现象，可以设想圆轴由一系列刚性平截面（横截面）组成，在扭转过程中，相邻两刚性横截面只发生相对转动。于是可作出如下假设：圆轴的横截面变形后仍保持为平面，其形状和大小不变（半径尺寸不变且仍为直线），相邻两横截面间的距离不变。这一假设称为圆轴扭转的刚性平面假设。这一假设是否正确，应当根据由此假设所导出的结论圆轴扭转的应力和变形计算公式，是否符合实验结果来验证。 依据上述刚性平面假设，注意到横截面间的距离不变即轴向线的长度未发生改变，于是可知扭转时圆轴横截面上只有垂直于半径方向的剪应力，而无正应力。 为了

12、研究圆周扭转时剪应变的变化和分布规律，在图8.9(a)所示圆轴上相距为dx的截面1-1和截面2-2间取楔形体如图8.9(b)。在扭矩的作用下，截面2-2相对于截面1-1转动了一个微小角度d。故截面2-2上的两条半径O2c和O2d都旋转了同一角度d，而变成为O2c 和O2d；矩形abcd变成了平行四边形abcd，如图8.9(b)所示。由acc和O2cc可以看到，弧段 =rd=dx，所以有： =。式中是图8.9(b)中a、b处直角的改变量，即半径为r处（即轴表面处）的剪应变。同理，在截面上任一点(距截面中心处)，由图8.9(b)可给出剪应变 为： =式中， 为距中心为 处的剪应变；d /dx称为轴

13、单位长度上的相对扭转角。 由刚性平面假设还可知，圆轴的横截面变形后仍保持平面，不仅形状和大小不变，半径也仍然保持为直线。所以，在同一横截面上d /dx为常数。故上式表明，圆轴扭转时，横截面上各点的剪应变 与该点到截面中心的距离 成正比。 2.物理关系 材料的剪应力()-剪应变()关系同样可以由实验获得。对于线性弹性材料，剪切虎克定律 =G 成立，G为剪切弹性模量，与弹性模量E一样，G也是材料常数。在线弹性物理关系下，剪应力 与剪应变 成正比，故横截面上任一距截面中心o为 处的剪应力为： （a）上式给出了扭转圆轴横截面上的剪应力分布规律。因为G是材料常数，在同一横截面上d /dx亦为常数，故截面

14、上任意一点的剪应力 与该点到轴心的距离 成正比；由于剪应变发生在垂直于半径的平面内，故剪应力方向与半径垂直。显然，剪应力t在横截面上是线性分布的，在=r的外圆周上剪应力t最大，且有：在圆心=0处，剪应力t=0，如图8.10所示。 3.静力平衡条件上述剪应力 的表达式中，d /dx尚为未知量，故还不能计算出剪应力的值。需要进一步讨论力的平衡关系。 在轴的横截面上距圆心 处取微面积dA，其上作用的微内力为 dA。如图8.10所示。为保持力的平衡，截面所有微面积上的微内力对轴中心O处的力矩之总和，应等于作用在该截面上的扭矩MT，即 将代入上式，并将常量G、d /dx提到积分号外，有： 式中，是只与横

15、截面形状和尺寸有关的几何量，用I 表示，即： I 称为横截面的极惯性矩，量纲为长度4。 相对扭转角d /dx即可写为： 将上式代入（a）式，即得到横截面上任一距轴心为 处的剪应力公式为： 上式再一次指出，圆轴扭转时横截面上任意一点的剪应力 与该点到轴心的距离 成正比； 越大，剪应力 越大；在截面中心 =0， =0；当 =r 时，位于横截面外圆周边各点处的剪应力最大，且有： 式中，WT=I /r，称为抗扭截面模量，量纲为长度3。综上所述可知，圆轴扭转时横截面上的应力是剪应力，剪应力 在横截面上线性分布，在截面中心 =0， =0；在外圆周边各点 =r， = max=MT/WT；剪应力 与半径垂直，其指向可由作用在该点上的微内力对轴心之矩与截面扭矩MT转向一致来确定。 对于空心圆轴，可以进行类似的分析，得到同样的应力和变形公式，不同的只是极惯性矩I 和抗扭截面模量WT的计算。 8.3.2 极惯性矩和抗扭截面模量的计算 1.实心圆截面对于直径为D的实心圆截面，可取一距圆心为 、厚度为d 的圆环作为微面积dA，如图8.11(a)所示。则dA=2 d , 代入（8-1）式积分即得极惯性矩为： 抗扭截面模量WT 则为： 2.空心圆截面