数学人教版八年级下册正方形.docx
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数学人教版八年级下册正方形
18.2.3 正方形
1.理解并运用正方形的定义计算和证明.
2.理解并运用正方形的性质、判定进行计算和证明.
3.体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系,理解一般与特殊的关系.
经历正方形的定义及其性质和判定定理的探究过程,丰富认识图形的经验,进一步发展学生的逻辑推理能力和表达能力.
让学生在发现、归纳、概括中逐步提高思维能力,培养用数学的思想和方法来思考和分析问题的习惯.
【重点】 正方形性质和判定定理的应用.
【难点】 正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系.
【教师准备】 教学中出示的教学插图、问题和例题.
【学生准备】 复习平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定.
导入一:
[过渡语] 前面我们研究了平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定,现在请同学们回忆学过的内容,回答下面的问题.
（1）教具（几何画板）演示:
如图所示,改变∠B的大小,平行四边形ABC'D'的形状随之发生变化.当∠B为直角时,这时的图形是 形;我们平移边CD,改变BC的大小,矩形ABCD的形状随之发生变化.当BC'=C'D'时,图形是 形.
（2）如图所示,我们平移边CD,改变BC的大小,平行四边形ABCD的形状随之发生变化.当BC'=C'D'时,图形是 形;改变∠B的大小,菱形ABC'D'的形状随之发生变化.当∠B为直角时,图形是 形.
学生观察教具变化情况,结合所学菱形、矩形知识,回答上面的问题.
[设计意图] 正方形是学生熟悉的几何图形,小学已经学过,这里让学生从动态的角度出发认识正方形,体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别,感受特殊与一般的关系.
导入二:
八年级
（2）班的简兰同学想买一条方纱巾.有一天她在商店里看到一块漂亮的纱巾,非常想买,但她拿起来看时感觉纱巾不太方,商店老板看她犹豫不决的样子,马上过来拉起一组对角,让她看另一组对角是否对齐,她还有些疑惑,老板又拉起另一组对角让她检验,她终于买下这块纱巾,你认为她买的这块纱巾是正方形的吗?
当时采用什么方法可以检验出来?
学了这节后,你就会做出准确的判断了.
[设计意图] 将数学问题融入生活情境,拉近了学生与数学之间的距离,激发学生研究正方形的积极性.
1.正方形的认识
思路一
[过渡语] 结合上面的演示,请同学们回答下面的问题:
（1）什么样的图形是平行四边形?
（2）什么样的图形是矩形?
（3）什么样的图形是菱形?
（4）什么样的图形是正方形?
学生讨论,回答.
在学生回答的基础上,教师引导学生归纳:
正方形是有一组邻边相等,有一个角是直角的平行四边形.
追问:
正方形与矩形、菱形之间有什么关系呢?
学生思考,回答:
正方形既是矩形,又是菱形.
[设计意图] 结合图形的演示,让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义、性质及判定.在此基础上尝试归纳正方形的定义,理解正方形的定义,体会它们之间的联系与区别,感受特殊与一般的关系.
思路二
[过渡语] 前面我们学习了平行四边形、矩形、菱形的性质和判定,小学认识过了正方形,请同学们回答下面的问题.
（1）正方形与矩形有怎样的关系?
（2）正方形与菱形有怎样的关系?
（3）正方形、平行四边形、矩形、菱形有怎样的关系?
学生观察、思考、交流.
生1:
正方形是特殊的矩形,即有一组邻边相等的矩形是正方形.
生2:
正方形是特殊的菱形,即有一个角是直角的菱形是正方形.
教师画图说明,正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系如图.
总结:
正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形.
你能根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系,解释下面的问题吗?
（1）把一张长方形纸片按如图所示的方式折一下,就可以裁出正方形纸片.为什么?
（2）如何从一块长方形纸片中裁出一块最大的正方形纸片呢?
学生动手折叠、思考、交流.
（1）由折叠得所得的四边形有三个直角,且一组邻边相等.有三个角是直角的四边形是矩形,有一组邻边相等的矩形是正方形,所以裁出的纸片是正方形.
（2）要使裁出的四边形是最大的正方形,只要让四边形（正方形）的边长等于长方形的宽即可.
教师总结:
正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形.
[设计意图] 结合图形的折叠,让学生归纳得出有一组邻边相等的矩形是正方形;有一个角是直角的菱形是正方形.从矩形、菱形的角度出发体会它们之间的关系,感受特殊与一般的关系.
2.正方形的性质
[过渡语] 上面认识了正方形,下面我们继续研究正方形的性质.
思路一
正方形是特殊的平行四边形,它也是特殊的矩形、特殊的菱形,因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.请回忆学过的内容,回答下面的问题（从边、角、对角线、轴对称性四方面考虑）:
（1）平行四边形有哪些性质?
（2）矩形有哪些性质?
（3）菱形有哪些性质?
（4）正方形有哪些性质?
分小组进行讨论,整理所学的性质:
图形
对边
对角
对角线
对称性
平行四边形
平行、相等
相等
互相平分
不是轴对称图形
矩形
平行、相等
四个角都是直角
互相平分且相等
轴对称图形,有两条对称轴
菱形
平行、四条边都相等
相等
互相垂直且平分,每条对角线平分一组对角
轴对称图形,有两条对称轴
正方形
平行、四条边都相等
四个角都是直角
互相垂直、平分且相等,每条对角线平分一组对角
轴对称图形,有四条对称轴
[设计意图] 让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义和性质.在此基础上理解正方形的性质,体会它们之间的联系与区别,感受特殊与一般的关系.
思路二
正方形是特殊的平行四边形,它也是特殊的矩形、特殊的菱形,因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.请把它们写出来,并与同桌交流.
学生梳理总结得:
正方形
[设计意图] 让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义和性质,体会它们之间的联系与区别.在此基础上梳理得出正方形的性质,有助于这些知识的正确运用.
3.正方形的判定
思路一
提问:
怎样判定一个四边形是正方形呢?
把你所想的判定方法写出来.
学生自由发言.
教师引导学生总结、归纳得正方形的判定方法:
（1）定义法:
有一个角是直角,有一组邻边相等的平行四边形是正方形.
（2）矩形法:
有一组邻边相等的矩形是正方形.
（3）菱形法:
有一个角是直角的菱形是正方形.
思路二
既然正方形是特殊的图形,那么我们就可以通过一般图形来判定正方形.请大家考虑:
满足什么条件的矩形是正方形?
你有哪些方法?
类似地,如何通过菱形和平行四边形来判定正方形?
教师深入学生中,督促学生积极探索交流,了解学生的思维深度和广度并及时加以校正和激励.
派学生代表走向讲台进行总结发言,并鼓励其他学生大胆提问.
师进一步归纳正方形的判定方法.
[知识拓展]
（1）平行四边形、矩形、菱形和正方形的定义和判定方法如下表:
图形
定义
判定
平行四边形
两组对边分别平行的四边形
1.两组对边分别相等的四边形
2.两组对角分别相等的四边形
3.对角线互相平分的四边形
4.一组对边平行且相等的四边形
矩形
有一个角是直角的平行四边形
1.对角线相等的平行四边形
2.有三个角是直角的四边形
菱形
有一组邻边相等的平行四边形
1.对角线互相垂直的平行四边形
2.四条边相等的四边形
正方形
有一个角是直角,有一组邻边相等的平行四边形
1.有一个角是直角的菱形
2.有一组邻边相等的矩形
3.有一个角是直角,有一组邻边相等的平行四边形
（2）对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形.
4.例题讲解
[过渡语] 上面我们研究了正方形的定义、性质和判定,下面我们举例说明它们的应用.
（教材例5）求证:
正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
学生分析题设和结论,画图,写出已知和求证.
已知:
如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O.
求证:
△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等腰直角三角形.
师生分析:
利用正方形的性质“对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角”可以得到四个三角形是全等的等腰直角三角形.
学生独立完成解题过程.一生板书:
证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
教师点评,纠正写法上的不足.
（补充）如图,在平行四边形ABCD中,O是CD的中点,连接AO并延长,交BC的延长线于点E.
（1）求证△AOD≌△EOC;
（2）连接AC,DE,当∠B=∠AEB= °时,四边形ACED是正方形.请说明理由.
师生共同分析:
（1）根据题意可得∠ADC=∠OCE,∠DAO=∠OEC,OC=OD,所以△AOD≌△EOC.
（2）当∠B=∠AEB=45°时,根据△AOD≌△EOC,先证明四边形ACED是平行四边形,再根据∠COE=∠BAE=90°,得到平行四边形ACED是菱形,AB=AE,AB=CD,故AE=CD,从而可知菱形ACED是正方形.
学生独立写出过程后,教师重点指导第
（2）问的解答过程.
证明:
（1）∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠ADC=∠OCE,∠DAO=∠OEC.
又∵O是CD的中点,
∴OC=OD.
∴△AOD≌△EOC.
解:
（2）如图,当∠B=∠AEB=45°时,四边形ACED是正方形.理由如下:
∵△AOD≌△EOC,
∴OA=OE.
又∵OC=OD,
∴四边形ACED是平行四边形.
∵∠B=∠AEB=45°,
∴AB=AE,∠BAE=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∴∠COE=∠BAE=90°.
∴平行四边形ACED是菱形.
∵AB=AE,AB=CD,
∴AE=CD.
从而可知菱形ACED是正方形.
[解题策略] 探索条件类问题,先看题中的已知条件,根据正方形的判定方法,缺什么就补什么条件,一般从“矩形+一组邻边相等”或“菱形+有一个角是直角”去考虑.
[设计意图] 运用正方形的性质、判定解决有关的问题,培养运用所学知识解题的意识,提高解题能力.
师生共同归纳小结.
本节课,我们学习了正方形的性质和判定,弄清了正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系:
1.下列命题是真命题的是 （ ）
A.矩形的对角线互相垂直
B.菱形的对角线相等
C.正方形的对角线相等且互相垂直
D.四边形的对角线互相平分
解析:
根据矩形的对角线相等,可判断选项A错;根据菱形的对角线互相垂直,可判断选项B错;根据正方形的对角线互相垂直、平分且相等,可判断选项C正确;四边形的对角线无特性,可判断选项D错.故选C.
2.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的是 （ ）
A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD
B.AD∥BC,∠A=∠C
C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
D.AO=CO,BO=DO,AB=BC
解析:
根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定选项A是矩形;根据“两直线平行,同旁内角互补”“等量代换”“同旁内角互补,两直线平行”可判定选项B是平行四边形;根据“对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形”可判定选项C是正方形;根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定选项D是菱形.故选C.
3.如图所示,E是正方形ABCD的边AD上任意一点,EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,若AB=10cm,则四边形EFOG的周长是 .
解析:
先由题意证明四边形EFOG是矩形,进而可知矩形EFOG的周长为OD的长的2倍,然后根据勾股定理得OD的长为5cm.故填10cm.
18.2.3 正方形
1.正方形的认识
2.正方形的性质
3.正方形的判定
4.例题讲解
例1 例2
一、教材作业
【必做题】
教材第59页练习第1,2,3题;教材第61页习题18.2第7,8题.
【选做题】
教材第61页习题18.2第12题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.矩形、正方形、菱形的共同性质是 （ ）
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分
D.每一条对角线平分一组对角
2.（2015·日照中考）小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:
①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使▱ABCD为正方形（如图）,现有下列四种选法,你认为其中错误的是 （ ）
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
3.如图,正方形ABCD中,CE⊥MN,∠MCE=35°,那么∠ANM是 （ ）
A.45° B.55° C.65° D.75°
4.如图所示,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线,要使得四边形ABCD是正方形,则还需增加的一个条件是 .
5.如图,正方形ABCD中,AC是对角线,E是BC延长线上一点,CE=AC,则∠E= 度.
【能力提升】
6.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,∠OCF=∠OBE.试猜想OE与OF的大小关系,并说明理由.
7.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N.
（1）求证∠ADB=∠CDB;
（2）若∠ADC=90°,求证四边形MPND是正方形.
【拓展探究】
8.如图,在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分∠BAC,试猜想AB,AC,BE之间的关系,并证明你的猜想.
【答案与解析】
1.C（解析:
根据图形的性质进行判别即可.对角线相等是矩形的特性,对角线互相垂直、每一条对角线平分一组对角是菱形的特性,故选项A,B,D错,故选C.）
2.B（解析:
A项,∵四边形ABCD是平行四边形,∴当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,当∠ABC=90°时,菱形ABCD是正方形,故A选项错误;B项,∵四边形ABCD是平行四边形,∴当∠ABC=90°时,平行四边形ABCD是矩形,当AC=BD时,无法得出四边形ABCD是正方形,故B选项正确;C项,∵四边形ABCD是平行四边形,∴当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,当AC=BD时,菱形ABCD是正方形,故C选项错误;D项,∵四边形ABCD是平行四边形,∴当∠ABC=90°时,平行四边形ABCD是矩形,当AC⊥BD时,矩形ABCD是正方形,故D选项错误.故选B.）
3.B（解析:
因为CE⊥MN,所以∠MCE+∠NMC=90°.所以∠NMC=90°-∠MCE=55°.由题意得AD∥BC,所以∠ANM=∠NMC=55°.故选B.）
4.AC=BD（答案不唯一）（解析:
由四条边相等的四边形是菱形,再加上AC=BD,得四边形ABCD是正方形.）
5.22.5（解析:
由正方形的性质得∠ACB=45°,又CE=AC,所以∠E=∠EAC,因为∠E+∠EAC=45°,所以∠E=∠EAC=22.5°.）
6.解:
OE=OF.理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,OB=OC,∴∠AOB=∠BOC=90°.又∵∠OCF=∠OBE,∴△OCF≌△OBE,∴OE=OF.
7.证明:
（1）∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.又∵BA=BC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD.∴∠ADB=∠CDB.
（2）∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°.∵∠ADC=90°,∴四边形MPND是矩形.∵∠ADB=∠CDB,PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.∴矩形MPND是正方形.
8.解:
猜想AB+BE=AC.证明如下:
如图,作EF⊥AC于F.∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠FAE.∵∠B=∠AFE=90°,AE=AE,∴△ABE≌△AFE.∴AB=AF,BE=EF.∵正方形ABCD中,AC是对角线,∴∠ACB=∠BAC=45°.∵EF⊥AC,∴∠FEC=45°.∴EF=FC,∴FC=BE.∴AB+BE=AF+FC=AC.
通过本节课的教学活动,学生进一步认识了正方形,基本掌握了正方形的判定和性质,并能运用所学的知识解决一些问题.
由于课堂时间有限,加上学生个体的差异,学生不能灵活运用所学来解决相关的问题.
在课堂教学中,要注意发挥学生的主体作用,团队作用,让学生通过独立思考,合作交流等方式,积极参与到课堂的教学活动中,真正做课堂的主人,学习的主人.
练习（教材第59页）
1.解:
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形.
（2）由
（1）中的方法得到的正方形就是面积最大的,由于木板无法折叠,因此可在长方形木板的长边上量取与短边相等的长度截出即可.
2.解:
如图所示.连接AC,BD.在Rt△BCE中,BC===20（m）,∴S正方形ABCD=BC2=（20）2=800（m2）,AC===40（m）.∵BD=AC,∴BD=40m.
3.解:
（1）
（2）（3）（4）都是正方形,因为它们都符合正方形的判定方法.
习题18.2（教材第60页）
1.解:
▱ABCD是矩形.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.又∵∠1=∠2,∴OB=OC,∴OA=OB=OC=OD,∴AC=BD,∴▱ABCD是矩形.
2.已知:
如图所示,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D.求证:
四边形ABCD是矩形.证明:
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,且∠A=∠B=∠C=∠D,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∴四边形ABCD是矩形.
3.解:
根据他的锯法,得到了有一个角是直角的平行四边形,由矩形的定义可知,这是一个矩形.
4.解:
如图所示,取斜边AB的中点D,连接CD,则AD=CD=BD,∴AB=2AD=2CD.又∵AB=2AC,∴AC=AD=CD,即△ACD是等边三角形,∴∠A=60°,∴∠B=30°.
5.解:
（1）∵四边形ABCD是菱形,∴∠ACB=∠ACD=30°,∴∠BCD=60°,∴∠BAD=60°,从而可知∠ABC=120°.
（2）设AC,BD交于点O.在Rt△COD中,∵∠ACD=30°,OD=BD=3,∴CD=2OD=6,∴AB=CD=6,OC===3,∴AC=2OC=2×3=6.
6.证明:
∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC.∵AE∥BF,∴∠DAC=∠ACB,∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC.同理可证AB=AD,故AD=BC.又∵AD∥BC,AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.
7.解:
剪口应与折痕成45°角.
8.解:
矩形.有三个角是直角的四边形是矩形.
9.解:
∵∠ACB=90°,∠ACD=3∠BCD,∠ACD+∠BCD=90°,∴∠ACD=67.5°,∠BCD=22.5°,∴∠B=67.5°.∵CE是斜边AB上的中线,∴EC=EB,∴∠ECB=∠B=67.5°,∴∠ECD=∠ECB-∠BCD=45°.
10.证明:
因为四边形ABCD是菱形,所以AB∥CD,AD∥BC,AB=BC=CD=DA.因为MG∥AD,NF∥AB,所以四边形AMEN是平行四边形.因为DN=BM,所以AM=AN,所以▱AMEN是菱形.同理,四边形EFCG,NFCD,BCGM都是平行四边形,所以ND=FC,BM=GC,所以FC=GC,所以▱EFCG是菱形.
11.解:
因为四边形ABCD是菱形,所以OA=AC=4,OB=BD=3,且OA⊥OB,所以AB2=OA2+OB2=42+32=25,所以AB=5.因为S菱形ABCD=·AC·BD=AB·DH,所以×6×8=5·DH,所以DH=.
12.解:
（1）由题意知OD=d,OB=b,又∵四边形OBCD是矩形,∴BC=OD=d,DC=OB=b,∴C（b,d）.
（2）∵菱形是中心对称图形,∴对应点A与C,B与D分别关于原点对称,又C（c,0）,D（0,d）,∴A（-c,0）,B（0,-d）. （3）∵四边形OBCD是正方形,∴OB=BC=CD=OD=d,∴B（d,0）,C（d,d）.
13.解:
四边形EFMN是正方形.理由如下:
因为四边形ABCD是正方形,所以AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.又因为AE=BF=CM=DN,所以AB-AE=BC-BF=CD-CM=DA-DN,即BE=CF=DM=AN,所以Rt△EBF≌Rt△FCM≌Rt△MDN≌Rt△NAE（SAS）,所以EF=FM=MN=NE,所以四边形EFMN是菱形.因为Rt△EBF≌Rt△NAE（已证）,所以∠AEN=∠EFB.因为∠EFB+∠BEF=90°,所以∠AEN+∠BEF=90°,所以∠NEF=90°,所以四边形EFMN是正方形.
14.解:
用这两个三角形能拼成3种平行四边形,如图所示.图①是矩形,所以两条对角线相等,都是m.图②是一个平行四边形,其中一条对角线长是n,另一条对角线长是2=2=.图③也是一个平行四边形,其中一条对角线长是h,另一条对角线长是2=.
15.证明:
∵BF∥DE,DE⊥AG,∴BF⊥AG.∵AD∥BC,∴∠DAG=∠AGB.又∵∠BAG+∠AGB=∠BAF+∠ABF=90°,∴∠ABF=∠AGB,∴∠ABF=∠DAG.又∵AB=AD,∠AFB=∠DEA=90°,∴Rt△ABF≌Rt△DAE,∴BF=AE.∵EF=AF-AE,∴EF=AF-BF.
16.解:
BO=2OD,BC边上的中线一定过点O.理由如下:
作BO的中点M,CO的中点N,连接ED,EM,MN,ND.因为BD,CE分别是边AC,AB上的中线,所以E,D分别是AB,AC的中点,所以DEBC.又因为M是OB的中点,N是OC的中点,所以MNBC,所以DEMN,所以四边形EMND是平行四边形,所以MO=OD,EO=ON.又因为M是BO的中点,所以MO=BO,所以BO=2OD.取BC的中点F,连接AF,EF.过N作NG∥AC,交AF于点G,连接EG,FN.因为N是OC的中点,且NG∥AC,所以NGAC.因为E,F分别是AB,BC的中点,所以EFAC,所以EFNG,所以四边形EFNG是平行四边形.又因为EO=ON,所以点O一定是▱EFNG的对角线的交点,所以BC边上的中线一定经过点O.
17.提示:
如图所示,只要保证两条线垂直且过对角线的交点O即可,答案不唯一.
复习题18（教材第67页）
1.
（1）B[提示:
设较小的内角的度数是x,则x+2x=180°,∴x=60°.]
（2）C[提示:
边长=2,∴高所对内角为30°,则相邻内角为150°.] （3）B[提示:
∠BAE=90°+60°=150°,∵AB=AD=AE,∴△BAE为等腰三角形,∴∠AEB==15°.]
2.证明:
连接AC,与BD交于点O.因为四边形ABCD是平行四边形,所以OA=OC,OB=OD.又因为BE=DF,所以OB+BE=OD+DF,即OE=OF.在四边形FAEC中,OA=OC,OE=
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