数学人教版八年级下册正方形.docx

1、数学人教版八年级下册正方形18.2.3正方形1.理解并运用正方形的定义计算和证明.2.理解并运用正方形的性质、判定进行计算和证明.3.体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系,理解一般与特殊的关系.经历正方形的定义及其性质和判定定理的探究过程,丰富认识图形的经验,进一步发展学生的逻辑推理能力和表达能力.让学生在发现、归纳、概括中逐步提高思维能力,培养用数学的思想和方法来思考和分析问题的习惯.【重点】正方形性质和判定定理的应用.【难点】正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系.【教师准备】教学中出示的教学插图、问题和例题.【学生准备】复习平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定.导入一:

2、过渡语前面我们研究了平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定,现在请同学们回忆学过的内容,回答下面的问题.(1)教具(几何画板)演示:如图所示,改变B的大小,平行四边形ABCD的形状随之发生变化.当B为直角时,这时的图形是形;我们平移边CD,改变BC的大小,矩形ABCD的形状随之发生变化.当BC=CD时,图形是形.(2)如图所示,我们平移边CD,改变BC的大小,平行四边形ABCD的形状随之发生变化.当BC=CD时,图形是形;改变B的大小,菱形ABCD的形状随之发生变化.当B为直角时,图形是形.学生观察教具变化情况,结合所学菱形、矩形知识,回答上面的问题.设计意图正方形是学生熟悉的几何图形,小学

3、已经学过,这里让学生从动态的角度出发认识正方形,体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别,感受特殊与一般的关系.导入二:八年级(2)班的简兰同学想买一条方纱巾.有一天她在商店里看到一块漂亮的纱巾,非常想买,但她拿起来看时感觉纱巾不太方,商店老板看她犹豫不决的样子,马上过来拉起一组对角,让她看另一组对角是否对齐,她还有些疑惑,老板又拉起另一组对角让她检验,她终于买下这块纱巾,你认为她买的这块纱巾是正方形的吗?当时采用什么方法可以检验出来?学了这节后,你就会做出准确的判断了.设计意图将数学问题融入生活情境,拉近了学生与数学之间的距离,激发学生研究正方形的积极性.1.正方形的认识思路一过渡语结

4、合上面的演示,请同学们回答下面的问题:(1)什么样的图形是平行四边形?(2)什么样的图形是矩形?(3)什么样的图形是菱形?(4)什么样的图形是正方形?学生讨论,回答.在学生回答的基础上,教师引导学生归纳:正方形是有一组邻边相等,有一个角是直角的平行四边形.追问:正方形与矩形、菱形之间有什么关系呢?学生思考,回答:正方形既是矩形,又是菱形.设计意图结合图形的演示,让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义、性质及判定.在此基础上尝试归纳正方形的定义,理解正方形的定义,体会它们之间的联系与区别,感受特殊与一般的关系.思路二过渡语前面我们学习了平行四边形、矩形、菱形的性质和判定,小学认识过了正方形

5、,请同学们回答下面的问题.(1)正方形与矩形有怎样的关系?(2)正方形与菱形有怎样的关系?(3)正方形、平行四边形、矩形、菱形有怎样的关系?学生观察、思考、交流.生1:正方形是特殊的矩形,即有一组邻边相等的矩形是正方形.生2:正方形是特殊的菱形,即有一个角是直角的菱形是正方形.教师画图说明,正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系如图.总结:正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形.你能根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系,解释下面的问题吗?(1)把一张长方形纸片按如图所示的方式折一下,就可以裁出正方形纸片.为什么?(2)如何从一块长方形纸片中裁出一块最大的正方形纸片呢?学生动手折叠、思考、交流

6、.(1)由折叠得所得的四边形有三个直角,且一组邻边相等.有三个角是直角的四边形是矩形,有一组邻边相等的矩形是正方形,所以裁出的纸片是正方形.(2)要使裁出的四边形是最大的正方形,只要让四边形(正方形)的边长等于长方形的宽即可.教师总结:正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形.设计意图结合图形的折叠,让学生归纳得出有一组邻边相等的矩形是正方形;有一个角是直角的菱形是正方形.从矩形、菱形的角度出发体会它们之间的关系,感受特殊与一般的关系.2.正方形的性质过渡语上面认识了正方形,下面我们继续研究正方形的性质.思路一正方形是特殊的平行四边形,它也是特殊的矩形、特殊的菱形,因此它具有平行四边形、矩形、菱形

7、的所有性质.请回忆学过的内容,回答下面的问题(从边、角、对角线、轴对称性四方面考虑):(1)平行四边形有哪些性质?(2)矩形有哪些性质?(3)菱形有哪些性质?(4)正方形有哪些性质?分小组进行讨论,整理所学的性质:图形对边对角对角线对称性平行四边形平行、相等相等互相平分不是轴对称图形矩形平行、相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称图形,有两条对称轴菱形平行、四条边都相等相等互相垂直且平分,每条对角线平分一组对角轴对称图形,有两条对称轴正方形平行、四条边都相等四个角都是直角互相垂直、平分且相等,每条对角线平分一组对角轴对称图形,有四条对称轴设计意图让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义和性

8、质.在此基础上理解正方形的性质,体会它们之间的联系与区别,感受特殊与一般的关系.思路二正方形是特殊的平行四边形,它也是特殊的矩形、特殊的菱形,因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.请把它们写出来,并与同桌交流.学生梳理总结得:正方形设计意图让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义和性质,体会它们之间的联系与区别.在此基础上梳理得出正方形的性质,有助于这些知识的正确运用.3.正方形的判定思路一提问:怎样判定一个四边形是正方形呢?把你所想的判定方法写出来.学生自由发言.教师引导学生总结、归纳得正方形的判定方法:(1)定义法:有一个角是直角,有一组邻边相等的平行四边形是正方形.(2)矩形法

9、:有一组邻边相等的矩形是正方形.(3)菱形法:有一个角是直角的菱形是正方形.思路二既然正方形是特殊的图形,那么我们就可以通过一般图形来判定正方形.请大家考虑:满足什么条件的矩形是正方形?你有哪些方法?类似地,如何通过菱形和平行四边形来判定正方形?教师深入学生中,督促学生积极探索交流,了解学生的思维深度和广度并及时加以校正和激励.派学生代表走向讲台进行总结发言,并鼓励其他学生大胆提问.师进一步归纳正方形的判定方法.知识拓展(1)平行四边形、矩形、菱形和正方形的定义和判定方法如下表:图形定义判定平行四边形两组对边分别平行的四边形1.两组对边分别相等的四边形2.两组对角分别相等的四边形3.对角线互相

10、平分的四边形4.一组对边平行且相等的四边形矩形有一个角是直角的平行四边形1.对角线相等的平行四边形2.有三个角是直角的四边形菱形有一组邻边相等的平行四边形1.对角线互相垂直的平行四边形2.四条边相等的四边形正方形有一个角是直角,有一组邻边相等的平行四边形1.有一个角是直角的菱形2.有一组邻边相等的矩形3.有一个角是直角,有一组邻边相等的平行四边形(2)对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形.4.例题讲解过渡语上面我们研究了正方形的定义、性质和判定,下面我们举例说明它们的应用.(教材例5)求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.学生分析题设和结论,画图,写出已知和求

11、证.已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O.求证:ABO,BCO,CDO,DAO是全等的等腰直角三角形.师生分析:利用正方形的性质“对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角”可以得到四个三角形是全等的等腰直角三角形.学生独立完成解题过程.一生板书:证明:四边形ABCD是正方形,AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO.ABO,BCO,CDO,DAO都是等腰直角三角形,并且ABOBCOCDODAO.教师点评,纠正写法上的不足.(补充)如图,在平行四边形ABCD中,O是CD的中点,连接AO并延长,交BC的延长线于点E.(1)求证AODEOC;(2)连接AC,DE

12、,当B=AEB=时,四边形ACED是正方形.请说明理由.师生共同分析:(1)根据题意可得ADC=OCE,DAO=OEC,OC=OD,所以AODEOC.(2)当B=AEB=45时,根据AODEOC,先证明四边形ACED是平行四边形,再根据COE=BAE=90,得到平行四边形ACED是菱形,AB=AE,AB=CD,故AE=CD,从而可知菱形ACED是正方形.学生独立写出过程后,教师重点指导第(2)问的解答过程.证明:(1)四边形ABCD是平行四边形,ADBC.ADC=OCE,DAO=OEC.又O是CD的中点,OC=OD.AODEOC.解:(2)如图,当B=AEB=45时,四边形ACED是正方形.理

13、由如下:AODEOC,OA=OE.又OC=OD,四边形ACED是平行四边形.B=AEB=45,AB=AE,BAE=90.四边形ABCD是平行四边形,ABCD,AB=CD.COE=BAE=90.平行四边形ACED是菱形.AB=AE,AB=CD,AE=CD.从而可知菱形ACED是正方形.解题策略探索条件类问题,先看题中的已知条件,根据正方形的判定方法,缺什么就补什么条件,一般从“矩形+一组邻边相等”或“菱形+有一个角是直角”去考虑.设计意图运用正方形的性质、判定解决有关的问题,培养运用所学知识解题的意识,提高解题能力.师生共同归纳小结.本节课,我们学习了正方形的性质和判定,弄清了正方形、平行四边形

14、、矩形、菱形的关系:1.下列命题是真命题的是()A.矩形的对角线互相垂直B.菱形的对角线相等C.正方形的对角线相等且互相垂直D.四边形的对角线互相平分解析:根据矩形的对角线相等,可判断选项A错;根据菱形的对角线互相垂直,可判断选项B错;根据正方形的对角线互相垂直、平分且相等,可判断选项C正确;四边形的对角线无特性,可判断选项D错.故选C.2.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的是()A.AC=BD,ABCD,AB=CDB.ADBC,A=CC.AO=BO=CO=DO,ACBDD.AO=CO,BO=DO,AB=BC解析:根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定选项A是

15、矩形;根据“两直线平行,同旁内角互补”“等量代换”“同旁内角互补,两直线平行”可判定选项B是平行四边形;根据“对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形”可判定选项C是正方形;根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定选项D是菱形.故选C.3.如图所示,E是正方形ABCD的边AD上任意一点,EFBD于点F,EGAC于点G,若AB=10cm,则四边形EFOG的周长是.解析:先由题意证明四边形EFOG是矩形,进而可知矩形EFOG的周长为OD的长的2倍,然后根据勾股定理得OD的长为5cm.故填10cm.18.2.3正方形1.正方形的认识2.正方形的性质3.正方形的判定4.例题讲解例1例2一、教材作

16、业【必做题】教材第59页练习第1,2,3题;教材第61页习题18.2第7,8题.【选做题】教材第61页习题18.2第12题.二、课后作业【基础巩固】1.矩形、正方形、菱形的共同性质是()A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.每一条对角线平分一组对角2.(2015日照中考)小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:AB=BC,ABC=90,AC=BD,ACBD中选两个作为补充条件,使ABCD为正方形(如图),现有下列四种选法,你认为其中错误的是()A.B.C.D.3.如图,正方形ABCD中,CEMN,MCE=35,那么ANM是()A.45B.55C.65D.75

17、4.如图所示,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线,要使得四边形ABCD是正方形,则还需增加的一个条件是.5.如图,正方形ABCD中,AC是对角线,E是BC延长线上一点,CE=AC,则E=度.【能力提升】6.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,OCF=OBE.试猜想OE与OF的大小关系,并说明理由.7.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分ABC,P是BD上一点,过点P作PMAD,PNCD,垂足分别为M,N.(1)求证ADB=CDB;(2)若ADC=90,求证四边形MPND是正方形.【拓展探究】8.如图,在正

18、方形ABCD中,AC是对角线,AE平分BAC,试猜想AB,AC,BE之间的关系,并证明你的猜想.【答案与解析】1.C(解析:根据图形的性质进行判别即可.对角线相等是矩形的特性,对角线互相垂直、每一条对角线平分一组对角是菱形的特性,故选项A,B,D错,故选C.)2.B(解析:A项,四边形ABCD是平行四边形,当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,当ABC=90时,菱形ABCD是正方形,故A选项错误;B项,四边形ABCD是平行四边形,当ABC=90时,平行四边形ABCD是矩形,当AC=BD时,无法得出四边形ABCD是正方形,故B选项正确;C项,四边形ABCD是平行四边形,当AB=BC时,平行四

19、边形ABCD是菱形,当AC=BD时,菱形ABCD是正方形,故C选项错误;D项,四边形ABCD是平行四边形,当ABC=90时,平行四边形ABCD是矩形,当ACBD时,矩形ABCD是正方形,故D选项错误.故选B.)3.B(解析:因为CEMN,所以MCE+NMC=90.所以NMC=90-MCE=55.由题意得ADBC,所以ANM=NMC=55.故选B.)4.AC=BD(答案不唯一)(解析:由四条边相等的四边形是菱形,再加上AC=BD,得四边形ABCD是正方形.)5.22.5(解析:由正方形的性质得ACB=45,又CE=AC,所以E=EAC,因为E+EAC=45,所以E=EAC=22.5.)6.解:O

20、E=OF.理由如下:四边形ABCD是正方形,ACBD,OB=OC,AOB=BOC=90.又OCF=OBE,OCFOBE,OE=OF.7.证明:(1)BD平分ABC,ABD=CBD.又BA=BC,BD=BD,ABDCBD.ADB=CDB.(2)PMAD,PNCD,PMD=PND=90.ADC=90,四边形MPND是矩形.ADB=CDB,PMAD,PNCD,PM=PN.矩形MPND是正方形.8.解:猜想AB+BE=AC.证明如下:如图,作EFAC于F.AE平分BAC,BAE=FAE.B=AFE=90,AE=AE,ABEAFE.AB=AF,BE=EF.正方形ABCD中,AC是对角线,ACB=BAC=

21、45.EFAC,FEC=45.EF=FC,FC=BE.AB+BE=AF+FC=AC.通过本节课的教学活动,学生进一步认识了正方形,基本掌握了正方形的判定和性质,并能运用所学的知识解决一些问题.由于课堂时间有限,加上学生个体的差异,学生不能灵活运用所学来解决相关的问题.在课堂教学中,要注意发挥学生的主体作用,团队作用,让学生通过独立思考,合作交流等方式,积极参与到课堂的教学活动中,真正做课堂的主人,学习的主人.练习(教材第59页)1.解:(1)有一组邻边相等的矩形是正方形.(2)由(1)中的方法得到的正方形就是面积最大的,由于木板无法折叠,因此可在长方形木板的长边上量取与短边相等的长度截出即可.

22、2.解:如图所示.连接AC,BD.在RtBCE中,BC=20(m),S正方形ABCD=BC2=(20)2=800(m2),AC=40(m).BD=AC,BD=40m.3.解:(1)(2)(3)(4)都是正方形,因为它们都符合正方形的判定方法.习题18.2(教材第60页)1.解:ABCD是矩形.理由如下:四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD.又1=2,OB=OC,OA=OB=OC=OD,AC=BD,ABCD是矩形.2.已知:如图所示,在四边形ABCD中,A=B=C=D.求证:四边形ABCD是矩形.证明:A+B+C+D=360,且A=B=C=D,A=B=C=D=90,四边形ABCD是

23、矩形.3.解:根据他的锯法,得到了有一个角是直角的平行四边形,由矩形的定义可知,这是一个矩形.4.解:如图所示,取斜边AB的中点D,连接CD,则AD=CD=BD,AB=2AD=2CD.又AB=2AC,AC=AD=CD,即ACD是等边三角形,A=60,B=30.5.解:(1)四边形ABCD是菱形,ACB=ACD=30,BCD=60,BAD=60,从而可知ABC=120.(2)设AC,BD交于点O.在RtCOD中,ACD=30,OD=BD=3,CD=2OD=6,AB=CD=6,OC=3,AC=2OC=23=6.6.证明:AC平分BAD,BAC=DAC.AEBF,DAC=ACB,BAC=ACB,AB

24、=BC.同理可证AB=AD,故AD=BC.又ADBC,AB=BC,四边形ABCD是菱形.7.解:剪口应与折痕成45角.8.解:矩形.有三个角是直角的四边形是矩形.9.解:ACB=90,ACD=3BCD,ACD+BCD=90,ACD=67.5,BCD=22.5,B=67.5.CE是斜边AB上的中线,EC=EB,ECB=B=67.5,ECD=ECB-BCD=45.10.证明:因为四边形ABCD是菱形,所以ABCD,ADBC,AB=BC=CD=DA.因为MGAD,NFAB,所以四边形AMEN是平行四边形.因为DN=BM,所以AM=AN,所以AMEN是菱形.同理,四边形EFCG,NFCD,BCGM都是

25、平行四边形,所以ND=FC,BM=GC,所以FC=GC,所以EFCG是菱形.11.解:因为四边形ABCD是菱形,所以OA=AC=4,OB=BD=3,且OAOB,所以AB2=OA2+OB2=42+32=25,所以AB=5.因为S菱形ABCD=ACBD=ABDH,所以68=5DH,所以DH=.12.解:(1)由题意知OD=d,OB=b,又四边形OBCD是矩形,BC=OD=d,DC=OB=b,C(b,d).(2)菱形是中心对称图形,对应点A与C,B与D分别关于原点对称,又C(c,0),D(0,d),A(-c,0),B(0,-d).(3)四边形OBCD是正方形,OB=BC=CD=OD=d,B(d,0)

26、,C(d,d).13.解:四边形EFMN是正方形.理由如下:因为四边形ABCD是正方形,所以AB=BC=CD=DA,A=B=C=D=90.又因为AE=BF=CM=DN,所以AB-AE=BC-BF=CD-CM=DA-DN,即BE=CF=DM=AN,所以RtEBFRtFCMRtMDNRtNAE(SAS),所以EF=FM=MN=NE,所以四边形EFMN是菱形.因为RtEBFRtNAE(已证),所以AEN=EFB.因为EFB+BEF=90,所以AEN+BEF=90,所以NEF=90,所以四边形EFMN是正方形.14.解:用这两个三角形能拼成3种平行四边形,如图所示.图是矩形,所以两条对角线相等,都是m

27、.图是一个平行四边形,其中一条对角线长是n,另一条对角线长是2=2=.图也是一个平行四边形,其中一条对角线长是h,另一条对角线长是2=.15.证明:BFDE,DEAG,BFAG.ADBC,DAG=AGB.又BAG+AGB=BAF+ABF=90,ABF=AGB,ABF=DAG.又AB=AD,AFB=DEA=90,RtABFRtDAE,BF=AE.EF=AF-AE,EF=AF-BF.16.解:BO=2OD,BC边上的中线一定过点O.理由如下:作BO的中点M,CO的中点N,连接ED,EM,MN,ND.因为BD,CE分别是边AC,AB上的中线,所以E,D分别是AB,AC的中点,所以DE𙫓

28、2;BC.又因为M是OB的中点,N是OC的中点,所以MN􀱀BC,所以DE􀱀MN,所以四边形EMND是平行四边形,所以MO=OD,EO=ON.又因为M是BO的中点,所以MO=BO,所以BO=2OD.取BC的中点F,连接AF,EF.过N作NGAC,交AF于点G,连接EG,FN.因为N是OC的中点,且NGAC,所以NG􀱀AC.因为E,F分别是AB,BC的中点,所以EF􀱀AC,所以EF􀱀NG,所以四边形EFNG是平行四边形.又因为EO=ON,所以点O一定是EFNG的对角线的交点,所以BC边上的中线一定经过点O.17.提示:如图所示,只要保证两条线垂直且过对角线的交点O即可,答案不唯一.复习题18(教材第67页)1.(1)B提示:设较小的内角的度数是x,则x+2x=180,x=60.(2)C提示:边长=2,高所对内角为30,则相邻内角为150.(3)B提示:BAE=90+60=150,AB=AD=AE,BAE为等腰三角形,AEB=15.2.证明:连接AC,与BD交于点O.因为四边形ABCD是平行四边形,所以OA=OC,OB=OD.又因为BE=DF,所以OB+BE=OD+DF,即OE=OF.在四边形FAEC中,OA=OC,OE=