相关与回归地理模型.docx

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相关分析

回归分析的主要内容

回归分析所研究的地理数学模型，依要素（变量）的多少可分为

一元地理回归模型和多元地理回归模型两种。

二.地理系统两要素间的回归分析与预测

地理系统两要素间的回归所处理的问题，是要解决两个要素（变

量）间的定量关系。

两个要素之间的数量关系，有的是非线性关系。

如何正确地分析与判断要素之间的关系是线性回归模型还是非线

性回归模型，在非线性回归模型中曲线又属于哪种类型？

因此，只有首先判定了回归方程的类型，然后才能正确地求出回

归模型的参数。

（一）一元地理回归模型类型的判断方法

图解法

若将地理要素（x,y）的数据点绘在普通方格纸上呈直线，则一元地

理回归模型为直线型。

若将地理要素（x,y）的数据点绘在双对数格纸上呈直线，则一元地

理回归模型为幂函数型。

若将地理要素（x,y）的数据点绘在单对数格纸上，其横坐标取对数

分格，其纵坐标为普通分格时呈直线，则一元地理回归模型为对数型。

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若将地理要素（x,y）的数据点绘在单对数格纸上，而其横坐标为普

通分格，其纵坐标取对数分格时呈直线，则一元地理回归模型为指数

型。

（二）线性关系的分析与预测

依上述方法已判定一元地理回归模型为直线型后,下一步就是要确

定线性回归方程：

y = a + bx

中的两个参数 a 和 b。

上式代表 x 和 y 之间的最佳拟合直线，通常称为回归直线。

a 为常数，即 y 的截距；

b 为回归系数，也就是直线的斜率，它表示在 x 变更一个单位则在

y 中变更 b 个单位。

回归系数 b

1.参数 a 和 b 的最小二乘估计

2.模型建立方法与步骤

3.回归模型的效果检验

4.利用回归模型进行地理预测

（三）非线性关系的分析与预测

1.选配曲线的基本方法

2.常见地理模型建立方法

3.回归模型的效果检验

三.一元回归的 SPSS 软件应用

第三节多元回归地理模型的建立

一个地理系统,其结构特点具有多要素性，而且各要素间相互联系、

相互影响和相互制约。

研究某一要素（y）与其它要素 x1,x2,…,xn 之间的定量关系，就需要

用地理分析中常用的分析方法，即多元回归分析方法加以解决。

多元回归分析（多输入多输出）可用数学模型表示：

y1,y2,…,ym =f（x1,x2,…,xn）

一般情况下，分别考察几个输入和一个输出之间的关系，即把上

述模型分解成:

y1=f1（x1,x2,…,xn）

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y2=f２（x1,x2,…,xn）

ym =fm（x1,x2,…,xn）

运用多元统计分析方法，建立地理要素间的数学模型，并检验数

学模型的效果，应用模型进行地理分析与预测，这就是与地理系统多

要素（多元）特性相对应的一种计量地理方法，即多元回归分析方法。

一、多要素地理系统

分析与预测的线性模型

1.模型的建立

假设地理系统要素 y 和地理系统要素 x1,x2,…,xn的内在联系是线

性的，或经过变量转换后的关系是线性的，则对于同一系统状态中的

不同区域或时间的要素间关系，可以写成下面的数据形式：

（xi1,xi2,yi）

i= 1,2,……,m

i－区域或时间顺序号。

把它推广到有 p 个地理系统要素的情形，则为

（xi1,xi2,……,xip，yi）

i= 1,2,……,m

这一组地理数据的形式是

β0 + β1x11 + β2x12……+βpx1p+ε1=y1

β0 + β1x21 + β2x22……+βpx2p+ε2=y2

β0 + β1xm1 + β2xm2……+βpxmp+εm=ym

这就是多要素地理系统分析与预测线性回归数学模型。

矩阵是多元的算术，是处理上述问题的有效工具,若用其表示,则地

理系统要素间的线性模型为:

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Y=β=ε=

则上述地理系统要素间关系的线性模型可以表示为：

Xβ+ε=Y

2.模型的显著性检验

在多元线性回归问题中,同一元回归一样也需要对回归模型进行显

著性检验。

如果经过检验是显著的，则说明建立的回归模型是有用的，

否则就没有实际意义。

观测

值 Y

的

波动

和

差异

为了从 Y 的总的变差中把它们区分开来，就需要对回归模型进行

方差分析，也就是将 Y 的总的离差平方和（Lyy）分解成两个部分，即回

归平方和（U）和剩余平方和（Q）

Lyy = U + Q

在多元回归分析中, 回归平方和（U）表示的是所有 K 个自变量对 Y

的变差的总影响,因此,它可按以下公式计算:

U=∑（Y 预测值-Y 平均值）2=∑biLi

而剩余平方和（Q）则等于

Q = ∑（Y 实际值-Y 预测值）2=Lyy-U

由此可知,它与一个自变量的情况完全相似,即回归平方和越大,则剩

余平方和越小,线性关系越密切，回归的效果就越好,方程的预测精度越

高。

多元回归各平方和的自由度的确定原则

剩余平方和（Q）除以它的自由度，称为方差（均方），即：

S 2 =

n-k-1

其剩余标准差则为 S。

在多元线性回归问题上，对整个回归进行显著性检验时，通常用

F 检验法。

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U/kU

F==

Q/（n-k-1）k*S2

F 分布表的两个自由度

分别求出F 分布表中三种不同显著性水平的值和与其对应的自由

度数。

F 检验的结果

二、非线性回归模型的建立方法

在地理系统中,除部分问题是属线性关系外，还有大部分属于非线

性关系。

因此，需要进一步研究多元非线性地理回归模型建立方法。

主要介绍两种多元非线性回归模型的建立方法。

两种多元非线性地理回归模型

的建立方法

在地理系统中,由于各要素间的关系十分复杂,有些回归曲线经过变

量变换后可化为直线处理，但也有些曲线不能化为直线处理。

如二次多项式就不能通过变量变换直线化，但它可视为二元线性

模型，然后按多元线性回归分析方法处理。

由此可以推广到包括多个要素（自变量）的任意多项式

y = b0+ b1x+ b2x2+ …+bkxk

也可以通过变量变换化为多元线性回归模型。

若令：

x1=x,x2=x2,…,xk=xk

则 y = b0+ b1x+ b2x2+ …+bkxk

可化成

y = b0+ b1 x1 + b2x2+ …+bkxk

这种方法可处理相当一类非线性问题。

它在回归分析中占有重要地位。

主要是因为：

任何函数都可以在较小的区间内用多项式来逐步逼

近。

在分析某一要素与其它要素的定量关系时，可不问 y 与 x 的确切

关系，而直接用多项式回归进行分析计算，效果往往较好。

当多项式回归的自变量取两次幂时，便是二次多项式，即成抛物线，

其数学表达式：

y = b0+ b1x+ b2x2

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若令：

x1=x,x2=x2 则可化成

y = b0+ b1 x1 + b2x2

这可通过二元正规方程组的方法求出。

当多项式回归的自变量取三次幂时，便是三次多项式曲线，其数

学表达式：

y = b0+ b1x+ b2x2 + b３x３

若令：

x1=x,x2=x2，x３=x３则可化成

y = b0+ b1 x1 + b2x2 + b３x３

2.幂函数乘积模型的建立方法

这种方法的基本思路是：

把某一要素 y 与其它要素 xi 之间的函数关系写成

y =f（x1,x2 …,xn）

并把它们之间的函数关系看成是幂函数的连乘积形式，即：

y = kx1ax2b… xnm

式中，k,a,b,…,m 是待定地理参数。

建立幂乘积模型的过程，也就

是确定参数的过程。

如建立四个要素 x1,x2,x3,x4 影响一个地理要素 y 的幂函数乘积模型

时，可用相关分析法分别找出各要素间的相关程度，然后按相关系数

的大小，依次求出参数 d,c,b,a,最后确定常数 k。

四个要素幂函数乘积模型的建立步骤

四个要素幂函数乘积模型的建立步骤（续）

按上述方法所建立的模型有一缺点，即 k 值含有不同的因次，为

了解决这一问题,常常用无因次定律将以上公式改变成无因次的因素集

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