届江西省红色七校高三第一次联考数学文试题解析版.docx

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届江西省红色七校高三第一次联考数学文试题解析版

2020届江西省红色七校高三第一次联考数学（文）试题

2

x|x6x80,则QiA

、单选题

1•设全集UR,且Ax|x12,B

A.1,4）B.（2,3）C.（2,3D.（-1,4）

【答案】C

【解析】解不等式分别求出集合A,B，然后再求出QjAB即可得到答案.

【详解】

由题意得Ax|x：

..1或x3,Bx|2x4,

二euA=x|1x3,

QjABx|2x3（2,3.

故选C.

【点睛】

2•已知复数z12i3（i是虚数单位），则复数z的共轭复数

z（

）

A36.

36.

一1

2.

1

2

A.i

B.i

C

i

D.-

-1

55

55

5

5

5

5

本题主要考查集合的基本运算，解题的关键是正确求出集合

A,B，属于基础题.

【答案】B

36.i

55

【解析】根据复数的除法运算以及共轭复数的概念即可求解

3

312i

3

6

由z12i3，则z

i,

12i

12i12i

5

5

【详解】

所以数z的共轭复数z

故选：

B

【点睛】本题主要考查复数的除法运算以及复数的共轭复数概念，属于基础题

3.在等差数列an中，前n项和Sn满足S8S345，则a6的值是（）

A.3

B.5

C.7D.9

差数列的性质：

若mnpq，贝Uama.apaq,即可求解.

【详解】

由S8S345，则a4a5a6a7a845,

即5a645，所以a69,

故选：

D

【点睛】

本题主要考查等差数列的前n项和以及等差数列的性质，需熟记性质，属于基础题.

4.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车

的使用情况，选了n座城市作实验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位：

人次/

天）分别为Xi,X2，…，Xn，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（）

A.Xi,

X2,-

…Xn的标准差

B.

Xi,X2，…

••,Xn的平均数

C.xi,

X2,-

…Xi的取大值

D.

Xi,X2，…

:

Xn的中位数

【答案】

A

【解析】

利用方差或标准差表示

组数据的稳定程度可得出选项

【详解】

表示一组数据的稳定程度是方差或标准差，标准差越小，数据越稳定

故选：

A

【点睛】

本题考查了用样本估计总体，需掌握住数据的稳定程度是用方差或标准差估计的，属于

基础题.

5.已知角

的终边经过点2,3,将角

的终边顺时针旋转

后得到角，则tan

4

（）

A1

1

A.

B.5

C.—

D.-5

5

5

【答案】B

【解析】利用任意角的三角函数的定义求得tan，再由tan

tan

，展开两

角差的正切即可求解.

【详解】

3

由角的终边经过点2,3，可得tan

2

Q的终边顺时针旋转

—后得到角

4

tantan

tantan—

4

1tantan4

tan1

1tan

故选：

B

【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及两角差的正切展开式，需熟记定义和公

式，属于基础题•

3,4），向量b与向量a方向相反，

10,

则向量b的坐标为（）

68

A.

55

B.6,8

C.

D.6,8

【答案】

【解析】

3,4

0,利用b

10求出

2，从而可得结果.

【详解】

因为向量

b与向量a方向相反,

所以可设

3,4

bJ92162

、252

510,

v

b32,4

6,

8，故选D.

【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算以及向量模的坐标表示，意在考查对基础知识的掌握

与应用，属于中档题.

-0.5

7•已知alog2e,b

2

ln2,c

eln2，则（

）

A.cabB.b

ca

C.b

ac

D.acb

【答案】C

【解析】根据对数函数的单调性即可比较出大小

【详解】

由（log22）0.5

0.5

ge

0.5

log24，故1

a--2；

21,故0b1

又因为0

ln1

ln2

lne

1，即0

ln2

celn2

2,

所以b

a

c,

故选：

C

【点睛】

本题主要考查对数函数的单调性以及对数的运算性质，属于基础题

8.已知命题P:

x（0,n,tanxsinx；命题q:

x0,x22x，则下列命

题为真命题的是（）

a.pq

b.（pq）c.p（q）

D.（P）q

【答案】D

【解析】因为x

n

n时，tanx0,sinx

2

0,故tanxsinx不成立，所以命题P

为假命题；

当x3时，3223，故命题q为真命题，所以Pq为真命题•故选D.

x2y20

9.实数x,y满足约束条件xy

T-0，则z—

x5

20

的最小值是（

）

x2y

A.-3

B.-5

C.3

D.

5

【答案】

A

【解析】

首先作出约束条件的可行域，

再根据目标函数表示为

x,y、

5,0两点构

成直线的斜率即可求解

【详解】

作出约束条件

x2y20

xy1-0的可行域，如图:

x2y20

z兀表示为

x,y、

5,0

两点构成直线的斜率，显然在点A处的斜率最小,

x

联立

x

y12y2

0解得

0

4，即A4,3,

3

所以Zmin

故选：

A

【点睛】

本题主要考查简单的线性规划问题,

解题的关键是作出约束条件的可行域，理解目标函

数表示的几何意义，属于基础题

10•一个四棱锥的三视图如图所示,

其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形,

俯视

图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）

C.2,3+2

D.6

【答案】C

【解析】首先把几何体进行转换，进一步求出几何体的高，最后求出侧视图的面积.

【详解】根据几何体的三视图，转换为几何体为:

、2的正方形,

由于正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为

故底面的对角线长为2.

所以四棱锥的高为-X2=1,

2

故四棱锥的侧面高为

则四棱锥的表面积为

；2

'一6

2

22.32.

故选：

C.

【点睛】

本题考查的知识要点:

三视图和几何体的转换,

几何体的体积公式和面积公式的应用,

主要考查学生的运算能力和转化能力,

属于基础题型.

11.若函数f（x）Asin（x

（其中A0,||-）图象的一个对称中心为（三,

0），其相邻一条对称轴方程为

g（x）cos2x的图象，则只要将

—，该对称轴处所对应的函数值为1，为了得到

12

f（x）的图象（）

A.向右平移6个单位长度

B.向左平移方个单位长度

C.向左平移6个单位长度D•向右平移方个单位长度

【答案】B

【解析】

由函数的图象的顶点坐标求出

A,由周期求出，由五点法作图求出

的值，

可得f

x的解析式，再根据函数y

Asinx的图象变换规律，诱导公式,

得出

结论.

【详解】

根据已知函数fxAsinx

（其中A0,—）的图象过点—,0,J,1

2312

127

可得A1,丄亠—

4123

解得：

2.

再根据五点法作图可得2—,

3

可得:

可得函数解析式为：

fxsin2x—

3

故把fx

sin2x的图象向左平移个单位长度,

312

可得ysin2xcos2x的图象,

36

故选B.

【点睛】

本题主要考查由函数yAsinx

的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐

标求出A,由周期求出，由五点法作图求出

的值，函数yAsinx

的图象

变换规律，诱导公式的应用，属于中档题.

，若函数yf（x）k存在两个零点x（,

12•设函数f（x）e，x0，1

x1,x1,

X2（X1

2222

A.2,eB.1,ec.e,eD.1,e

【答案】A

【解析】画出fx的图像，根据yfxk0有两个零点，求得k的取值范围.用k表示X.X2，代入所求表达式，由此构造函数hk，利用hk的导数求得其单调区间，由此求得其取值范围•

【详解】

画出fx的图像如下图所示，令yfxk0，得fxk,即yfx和

yk有两个不同的交点•根据图像可知k1,e•由eX1x?

1k得

X1Ink,X2k1,所以（X2X1）f（xjk2kkink，构造函数

2'

hkkkkInkk1,e.由于hk2kInk,

''1'''

hk20,k1,e,所以k1,e时hk递增，因为hkh120,

k

所以hk在k1,e时递增，所以hk2,e2，故选A.

【点睛】

本小题主要考查函数零点问题的求解策略，考查指数式和对数式运算，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题•

二、填空题

13•执行下面的程序框图，则输出的S的值是

/章出5/

【答案】30

【解析】根据框图的流程模拟运行的结果，发现S的值为021222324，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值.

【详解】

由程序框图可知：

第一次循环S0

2

2;

第二次循环

S

2

22

6;

第三次循环

S

6

23

14;

第四次循环

S

14

24

30

第四次循环

i

5跳出循环，

输出的S的值为30.

故答案为：

30

【点睛】

本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟程序运行的结果是解答此类

问题的常用方法•

14•已知甲、乙、丙三位同学在某次考试中总成绩列前三名，有n,,三位学生对

其排名猜测如下：

：

甲第一名，乙第二名；讨：

丙第一名；甲第二名；：

乙第一名，

甲第三名.成绩公布后得知，a,回，三人都恰好猜对了一半，则第一名是

【答案】丙

【解析】根据假设分析，现假设A中的说法中“甲是第一名是错误的，乙是第二名是正

确的”，进而确定B的说法，即可得到答案•

【详解】

由题意，假设A的说法中“甲第一名”正确，则B的说法中“丙第一名”和C说法中“乙第一名”是错误，这与B中“甲第二名”和C中“甲第三名”是矛盾的，所以是错误的；所以A中，“甲是第一名是错误的，乙是第二名是正确的”；

又由B中，假设“丙是第一名是错误的，甲是第二名是正确的”，这与A中，“甲是第

—名是错误的，乙是第二名”是矛盾的，

所以B中，假设“丙是第一名是正确的，甲是第二名是错误的”，故第一名为丙.

【点睛】

本题主要考查了推理与证明的应用，其中解答中通过假设分析，找到预测说法中的矛盾

是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题

22

15.已知点p是双曲线C：

——-y-1a0b0左支上—点,F?

是双曲线的右焦

a2b2，

【答案】、、5

【解析】由题意可设直线PF2的方程为

c,设直线PF2与渐近线的交点为

M，联立

b

yx

a

a

y

x

解得

cy

c,即

ab

辿）.

c

TM是PF2的中点

2

2a2ab

•••Pc,

cc

P在双曲线

2a2）2

c）

c

2

a

c2

2a22

22

ac

4a2b2

c2b2

1,即

c45a2c2

a,b,c的方程或

故答案为5.

点睛：

解决双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于不等式，再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式，而建立关于a,b,c的方程或不

等式，要充分利用双曲线的几何性质、点的坐标的范围等

16.若函数fX与gX满足：

存在实数t,使得ftgt，则称函数gx为fX

13

的“友导”函数•已知函数g（x）-x3x1为函数f（x）2xlnxax的“友

3

导”函数，贝Ua的取值范围是.

【答案】［4,）

【解析】首先求出gx的导数g

2

xx3，由题意可知

2

x32xlnxax有

解即可，

再采用分离参数法可得

3

ax—

3

2lnx，令hxx—

2lnx，求hx的最值即

x

x

可求得a的取值范围

【详解】

13

由g（x）-x3x1可得gx3

13

Q函数g（x）x3x1为函数

3

x23,

f（X）2xlnxax的“友导”函数,

x2

32xlnxax有解，即a

2lnx有解,

所以

所以hxmin

2lnxx0

，则

x22x3

2，

x

0,1

上单调递减,

4，即h

1,

上单调递增,

所以a4

故答案为：

［4,

【点睛】本题考查了函数的新定义，考查了导函数在研究函数单调性中的应用以及分离参数法求参数的取值范围，综合性比较强三、解答题

17•在△ABC中,

1

A,B,C对应的边为a,b,c.已知acosCcb.

2

（I）求A;

（n）若b4,c

6，求cosB和cosA2B的值.

【答案】（I）

【解析】（I）

n11

（n）—

3'14

先根据正弦定理化边为角,

再根据两角和正弦公式化简得结果,

（n）根

据余弦定理求

a，代入条件求得sinB

3，解得cosB2，最后根据两角和余弦

定理得结果•【详解】

11

（I）解：

由条件acosCcb，得sinAsinCsinCsinB，又由

22

1

sinBsinAC，得sinAcosCsinCsinAcosCcosAsinC.2

由sinC0，得cosA丄故A-

23

（n）解：

在VABC中，由余弦定理及b4,c

6,A

有a2b2c22bccosA，故a2.7.

3由bsinAasinB得sinB

仃，

因为ba，故cosB

2

7.

4x/3因此sin2B2sinBcosB

7

2

cos2B2cosB

所以cosA2BcosAcos2B

11sinAsin2B

14

【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的

bn为等比数列，且b1a11,

18.设数列an的前n项和为Sn，且Snn2n,

b2a2.

（1）求数列an和bn的通项公式;

1

（2）设Cn，求数列cn的前n项和Tn.

an2log2bn2

*n1

【答案】

（1）an2n2nN,bn2；

（2）Tn

【解析】

（1）由Sn与an的关系可求an，由等比数列的通项公式可求g；

（2）由

（1）的通项公式，利用裂项求和法即可求解

【详解】

（1）当n1时，a1s10,

当n

2时，anSnSn1

n2

n（n

1）2（n

1）

2n2,

此式对

n1也成立.an

2n

2

*

nN.

从而0

a111,b2

a2

2.

又因为

bn为等比数列，

bn

bi

n1n

q12

12*1

1

1

111

2）由

（1）可知，cn

an

2

log2bn2

2n（n

1）

2nn1

所以

Tn

11n

1-

2n12n1

【点睛】本题主要考查了Sn与an的关系，等比数列的通项公式以及裂项求和法，考查了数列中

的基本知识，需熟记公式，属于基础题.

19.2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省•据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：

经济损失4000元以

下

经济损失4000元以

上

合计

捐款超过500元

30

捐款低于500兀

6

合计

（1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如

上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否

多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

（2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅

两人进行维修，李师傅每天早上在7:

00到8:

00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天

早上在7:

30到8:

30分之间的任意时刻来到小区，求李师傅比张师傅早到小区的概率

附：

临界值表

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

P（K2k。

）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

参考公式:

K2

n（adbe）2

（ab）（cd）（ac）（bd）

abed.

【答案】

（1）有把握；

（2）.

8

【解析】

（1）由直方图得到22列联表，利用公式求得K2的值，与临界值比较即可作出判定，得到结论.

（2）设李师傅、张师傅到小区的时间分别为x,y，得到试验的全部结

果所构成的区域及事件A表示“李师傅比张师傅早到小区”，根据几何概型，利用面

积比可求PA7，则李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布，利用二

8

项分布的期望公式可得结果•

【详解】

（1）如下表:

经济损失4000元以下

经济损失4000元以上

合计

捐款超过500元

30

9

39

捐款低于500兀

5

6

11

合计

35

15

50

2

25030695

K24.0463.841

39113515

所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000

兀有关.

⑵

设李师傅、张师傅到小区的时间分别为x,y，则（x,y）可以看成平面中的点.试验的全

SA

SQ

李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布

B3,8，E

21

8

部结果所构成的区域为Q{x,y|7x8,7.5x8.5},则Sq=1事件A表示“李

师傅比张师傅早到小区”，所构成的区域为A={（x,y）|y>x,7

1117

即图中的阴影部分面积为SA11117，所以PA

2228

【点睛】

本题主要考查了独立性检验的应用，以及几何概型概率的计算问题，以及二项分布的数

学期望公式的应用，属于中档试题.“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望

的定义求期望.对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X〜Bn,p），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望

公式（EXnp）求得•因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.

20•如图，在正三棱柱ABCABG中，ABAA12,E,F分别为AB,BQ的

中占

I八、、•

（I）求证：

B,E//平面acf；

（n）求三棱锥B1ACF的体积.

【答案】（I）见解析（n）

【解析】（I）取AC的中点M，连结EM,FM，由三角形性质得EM//BC且

1

EMBC，结合已知得到EM//B!

F且EM3F,则四边形EMFB1为平行四边

2

形，可得B1E//FM，再由线面平行的判定可得B^E//平面ACF；

（n）设0为BC的中点，由已知得到AO平面BCC1B1，然后利用等积法求三棱锥

B1ACF的体积.

【详解】

（I）证明：

取AC的中点M，连结EM,FM,

1

在ABC中，TE、M分别为AB,AC的中点，二EM//BC且EM-BC,

2

1又F为BG的中点，B1C1//BCB（F//BC且B,F—BC,

2

即EM//B1F且EMB1F,故四边形EMFB1为平行四边形，•••BE//FM,

又MF平面ACF,B1E平面ACF,•B1E//平面ACF;

（n）解：

设O为BC的中点,

•••棱柱底面是正三角形，AB2，•有AO,3,又因为ABC为正三角形，且O为BC的中点，所以AOBC,

又由正三棱柱，所以平面BCC1B1平面ABC,

由面面垂直的性质定理可得

AO

平面BCC1B1，即三棱锥A

B1CF的高为,

所以Vb,acfVab1cf

丄AO1丄2.3

332

【点睛】

本题主要考查了直线与平面平行的判定与证明,

以及利用等体积法七届多面体的体积问

题，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质,

以及合理利用等体积法求解体积是解

答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题.

22

21•已知点M2,1在椭圆C:

笃每1ab0上，A,B是长轴的两个端点,a2b2

umruur

且MAMB3-

（n）已知点E1,0，过点M2,1的