人教版数学七年级下册《相交线与平行线》章节复习教案.docx

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人教版数学七年级下册《相交线与平行线》章节复习教案

《相交线与平行线》章节复习教案

1.理解对顶角、垂直、平行等与线段位置关系相关的重要概念.

2.准确理解对顶角、垂线段和平行线的性质.

3.整合与线段相交、平行所形成的多种角的分类.

4.领会图形的平移.

通过生活实例和习题,巩固基础知识,提升对问题证明的能力.

体会数学与生活的密切关系,增强学习数学的应用意识.

【重点】

1.两条直线垂直和平行的判定.

2.利用垂线段的性质、平行线的性质证明和解决实际问题.

【难点】　利用垂线段的性质、平行线的性质证明和解决实际问题.

专题一　相交线

两条直线相交包括两种情况,垂直或斜交.两直线相交时,形成了两对对顶角和四对邻补角,这是两直线相交时图形中的重点部分,其中垂直是相交的特殊情况,它将一个周角分成了四个直角.

【专题分析】

两条直线相交是平面几何的重要基础,在中考命题中经常结合其他知识判定或证明两条直线的位置关系,涉及角的证明和计算也多与本章的知识有关.

　如图所示,AB,CD相交于O,∠AOC=70°,EF平分∠COB.求∠COE的度数.

解:

因为∠AOC=70°,所以∠COB=110°.

又因为EF平分∠COB,所以∠COF=∠FOB=55°.

所以∠AOE=∠FOB=55°.

所以∠COE=55°+70°=125°.

【针对训练1】　如图所示,AB⊥CD于点O,直线EF过O点,若∠AOE=65°,求∠DOF的度数.

〔解析〕　本题意在考查对相交线的有关性质的掌握,AB⊥CD可以得到∠AOC=90°,而∠AOE=65°,可以得到∠COE=25°,而∠COE与∠DOF是对顶角,根据对顶角相等可以求得.

解:

因为AB⊥CD,所以∠AOC=90°.

因为∠AOE=65°,所以∠COE=25°.

又因为∠COE=∠DOF（对顶角相等）,

所以∠DOF=25°.

　如图所示,直线AB,CD,EF都经过点O,图中共有几对对顶角?

〔解析〕　数基本图形时不能重复,不能遗漏.我们知道两条直线相交有两对对顶角,图中有3组两条直线相交,故对顶角有2×3=6（对）.

解:

图中共有6对对顶角.

【针对训练2】　如图所示,图中共有几对同旁内角?

〔解析〕　我们知道两条直线被第三条直线所截共形成八个角,其中有两对同旁内角.图形中有两个“三线八角”,即CD,EF被GH所截,形成两对同旁内角,AB,EF被GH所截,又形成两对同旁内角,所以共有4对同旁内角.

解:

图中共有4对同旁内角.

　对于在复杂图形中的有关记数问题,在解题过程中可以通过转化为基本图形求解,一般在求解过程中要按同一个标准进行分类,这样才能做到不重不漏,把几种分类得到的图形个数相加即为总个数.在本章中,常见的题目有:

找对顶角的对数,同位角、内错角、同旁内角的对数,直线交点的个数等,我们只要掌握基本方法,这类问题便可迎刃而解.

专题二　点到直线的距离

点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度.

【专题分析】

点到直线的距离经常作为一个结论出现在试题之中,求解点到直线距离的试题比较常见.

　如图所示,在Rt△ABC中,能表示点到直线（线段）的距离的线段有（　　）

A.2条

B.3条

C.4条

D.5条

〔解析〕　点到直线的距离指的是这一点到直线的垂线段的长度,从图中可以看到共有5条,A到BC的距离AD,B到AD的距离BD,C到AD的距离CD,B到AC的距离AB,C到BA的距离AC.故选D.

【针对训练3】　如图所示,AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,CD=4.8cm,AC=6cm,BC=8cm,则点C到AB的距离是　　　　cm;点A到BC的距离是　　　　cm;点B到AC的距离是　　　　cm. 

〔解析〕　点到直线的距离有两个特点:

一是可以用长度来衡量;二是某一点不在对应的直线上.

〔答案〕　4.8　6　8

　这类问题容易和两点之间的距离相混淆,当图形复杂不容易分析出是哪条线段时,准确掌握概念,抓住垂直这个关键点,认真分析图形是解决这类问题的关键.

专题三　平行线的性质和判定

1.经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.

2.如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.

3.同位角、内错角相等,同旁内角互补,两直线平行.

4.两直线平行,同位角、内错角相等,同旁内角互补.

【专题分析】

在本章会遇到很多关于角度的计算问题,这类问题一般只要结合图形,准确掌握垂直的定义和性质、平行线的判定和性质,就会迎刃而解.

　如图所示,∠1=72°,∠2=72°,∠3=60°,求∠4的度数.

〔解析〕　由图形可以得到∠1,∠2是一对内错角,又∠1=∠2=72°,故可以得到a∥b,而∠3,∠4是一对同旁内角,故∠3+∠4=180°,而∠3=60°,故可以求得∠4=120°.

解:

因为∠1=∠2=72°,

所以a∥b（内错角相等,两直线平行）.

所以∠3+∠4=180°（两直线平行,同旁内角互补）.

又因为∠3=60°,所以∠4=120°.

【针对训练4】　如图所示,已知AB∥CD,BC平分∠ABE,∠C=34°,则∠BED的度数是（　　）

A.17°

B.34°

C.56°

D.68°

〔解析〕　本题考查了角平分线的定义与平行线性质的综合应用,因为两直线平行,内错角相等,所以∠ABC=∠C=34°.又因为BC平分∠ABE,所以∠ABE=68°,再根据两直线平行,内错角相等可知∠BED=∠ABE=68°.故选D.

　平行线的性质和判定经常互为转化作用,由角之间的关系得出直线平行,进而再得出其他角之间的关系,或是由直线平行得到角之间的关系,进而再由角之间的关系得出其他直线平行.

专题四　画平移后的图形

平移时应首先确定方向和距离,然后确定其关键点在平移后的位置,最后由对应关系完成图形.由于图形上每一点、每一条线段的平移方向和距离都是一致的,所以只要选择容易确定方向和距离的点和线段,即可由此来确定整个图形平移的方向和距离.

【专题分析】

图形的平移变换是近几年的中考热点之一,主要考查平移的基本特征,能够按照要求画出平移后的图形,利用平移进行图案设计,也常与其他后续知识进行综合考查,出现的习题类型较多,但难度不大,多以基础题为主.

　如图所示,画出平移正方形网格中的阴影图案后的图案,使AB移动到A'B'的位置,再向左平移8个单位长度（图中每个小正方形的边长均为1个单位长度）.

解:

如图所示.

【针对训练5】　（2014·凉山中考节选）如图所示,正方形网格中,△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）.把△ABC沿BA方向平移后,点A移到点A1,在网格中画出平移后得到的△A1B1C1.

　　〔解析〕　利用平移的性质画图,即对应点都移动相同的距离.

解:

如图所示.

专题五　图形中的方程思想

【专题分析】

利用方程解决问题,是几何与代数知识相结合的一种体现,它可以使解题思路清晰,过程简便.在有关线段或角的求值问题中它的应用非常广泛.

　如图所示,已知FC∥AB∥DE,∠α∶∠D∶∠B=2∶3∶4,求∠α,∠D,∠B的大小.

〔解析〕　由已知∠α∶∠D∶∠B=2∶3∶4,可以分别设∠α,∠D,∠B为2x°,3x°,4x°,再利用已知条件列出方程进行求解.

解:

根据题意设∠α=2x°,∠D=3x°,∠B=4x°.

从而有∠2=180°-∠B=180°-4x°,∠1=180°-∠D=180°-3x°.

因为∠1+∠2+∠α=180°,所以（180-3x）+（180-4x）+2x=180,

解得x=36,

所以∠α=2x°=72°,∠D=3x°=108°,∠B=4x°=144°.

【针对训练6】　如图所示,l1,l2,l3交于点O,∠1=∠2,∠3∶∠1=8∶1,求∠4的度数.

解:

设∠1的度数为x°,

则∠2的度数为x°,

∠3的度数为8x°,

根据题意可得x°+x°+8x°=180°,x=18,

即∠1=∠2=18°,

而∠4=∠1+∠2（对顶角相等）,

故∠4=36°.

本章质量评估

（时间:

90分钟　满分:

120分）

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.如图所示,AB∥CD,DB⊥BC,∠1=40°,则∠2的度数是（　　）

A.40°B.50°

C.60°D.140°

2.下列说法中,正确的个数是（　　）

（1）相等且互补的两个角都是直角;

（2）互补角的平分线互相垂直;

（3）邻补角的平分线互相垂直;

（4）一个角的两个邻补角是对顶角.

A.1B.2C.3D.4

3.如果∠1与∠2互为补角,且∠1>∠2,那么∠2的余角是（　　）

A.（∠1+∠2）B.∠1

C.（∠1-∠2）D.∠2

4.下列语句正确的是（　　）

A.相等的角为对顶角

B.两个直角是邻补角

C.不是对顶角的角都不相等

D.对顶角相等

5.如图所示,△ABC的三个顶点分别在直线a,b上,且a∥b,∠1=120°,∠2=80°,则∠3的度数是（　　）

A.40°B.60°C.80°D.120°

6.两条相交直线与另外一条直线在同一平面内,它们的交点个数是（　　）

A.1B.2C.3或2D.1或2或3

7.一架飞机向北飞行,两次改变方向后,前进的方向与原来的航行方向平行,已知第一次向左拐50°,那么第二次向右拐（　　）

A.40°B.50°C.130°D.150°

8.如图所示,从A地到B地有①,②,③三条路可以走,这三条路的长分别为l,m,n,则下列各式正确的是（　　）

A.l>m>nB.l

C.mm=n

9.一条公路修到湖边时,需拐弯绕道而过（如图所示）,如果第一次拐的角∠B是75°,第二次拐的角∠C是145°,第三次拐的角是∠D,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,那么∠D应为（　　）

A.100°B.110°

C.120°D.130

10.可以通过平移图案

（1）得到的是下图中的（　　）

二、填空题（每小题4分,共32分）

11.（2015·丹东中考）如图所示,∠1=∠2=40°,MN平分∠EMB,则∠3=　　　　°. 

12.如图BE,CF相交于O,OA,OD是射线,其中构成对顶角的角是　　　　. 

13.如图所示,直线AB,CD相交于O,OE平分∠AOC,∠EOC=35°,则∠BOC=　　　　. 

14.如图所示,∠ABC=40°,DE∥BC,DF⊥AB于点F,则∠ADF=　　　　. 

15.如图所示,AB⊥CD于O,EF为过点O的直线,MN平分∠AOC,若∠EON=100°,那么∠EOB=　　　　,∠BOM=　　　　. 

16.已知∠α是锐角,∠α与∠β互补,∠α与∠γ互余,则∠β-∠γ的值等于　　　　. 

17.如图所示,∠AOB=75°,∠AOC=15°,OD是∠BOC的平分线,则∠BOD=　　　　. 

18.将一个图形沿着正北方向平移5厘米后,再沿着正西方向平移5厘米,这时图形在原来位置的　　　　方向上. 

三、解答题（共58分）

19.（8分）一块边长为12米的正方形土地,修了横竖各两条道路,宽都是2米,空白的部分种上各种花草,请利用平移的知识求出种花草的面积.

20.（8分）如图所示,当光线从空气中射入水中时,光线的传播方向发生了变化,在物理学中这种现象叫做光的折射,∠1=43°,∠2=27°,那么光的传播方向改变了多少度?

21.（10分）如图所示,MO⊥NO,OG平分∠MOP,∠PON（小于180°）=3∠MOG,求∠GOP的度数.

22.（10分）如图所示,两个直角梯形重合在一起,将一个直角梯形沿AD的方向平移,平移的距离为AE的长,其中HG=20cm,QC=5cm,QG=8cm,求阴影部分的面积.

23.（10分）如图所示,AB⊥BC,∠1+∠2=90°,∠2=∠3,试说明BE∥DF.

24.（12分）有一天李小虎同学用《几何画板》画图,他先画了两条平行线AB,CD,然后在平行线间画了一点E,连接BE,CE后（如图

（1）所示）,他用鼠标左键点住点E,拖动后,分别得到图

（2）（3）（4）,这时突然想,∠B,∠D与∠BED之间的度数有没有某种联系呢?

接着李小虎同学通过利用《几何画板》的“度量角度”和“计算”的功能,找到了这三个角之间的关系.

（1）你能探讨出图

（1）至（4）中的∠B,∠D与∠BED之间的关系吗?

（2）请从所得的四个关系中,选一个说明它成立的理由.

【答案与解析】

1.B

2.C

3.C（解析:

因为∠1与∠2互为补角,所以∠1+∠2=180°,所以∠2的余角=90°-∠2=（∠1+∠2）-∠2=（∠1-∠2）.）

4.D

5.A

6.D（解析:

有三种情况,分别是三条直线都经过一个点、三条直线中有两条互相平行、三条直线互不平行.）

7.B

8.C（解析:

根据两点之间,线段最短,知m最小,路③根据平移知和路①长度相等,所以m

9.B（解析:

如图所示,过点C作CF∥AB,于是∠1=∠B=75°,所以∠2=∠BCD-∠1=145°-75°=70°,因为AB∥CF,AB∥DE,所以CF∥DE.所以∠D+∠2=180°,∠2=180°-70°=110°.故选B.）

10.B

11.110（解析:

根据对顶角相等,可知∠2=∠MEN,所以∠1=∠MEN,可知直线AB平行于直线CD,然后再根据同旁内角、角平分线定义等求得.）

12.∠BOC和∠EOF,∠EOC和∠BOF

13.110°

14.50°

15.55°　135°

16.90°（解析:

∠α与∠β互补,有∠α+∠β=180°,∠α与∠γ互余,有∠α+∠γ=90°,可推出∠β-∠γ=90°.）

17.30°

18.西北

19.解:

通过平移得到下图.种花草的面积=（12-2×2）×（12-2×2）=64（平方米）.

20.解:

∠BFD=∠1=43°,∠2=27°,则∠DFE=∠BFD-∠2=43°-27°=16°,所以光的传播方向改变了16°.

21.解:

设∠GOP的度数为x°,因为OG平分∠MOP,所以∠MOG=∠GOP=x°,所以∠PON=3∠MOG=3x°,因为MO⊥NO,所以∠MON=90°,因为∠MON+∠MOG+∠GOP+∠PON=360°,所以90+x+x+3x=360,解得x=54,所以∠GOP=54°.

22.解:

因为梯形EFGH是由梯形ABCD平移得到的,所以阴影部分的面积与梯形DHGQ的面积相等.由图形的平移可知GH=CD=20cm,因为QC=5cm,所以DQ=CD-QC=20-5=15（cm）,S四边形DHGQ=（DQ+HG）•QG=×（15+20）×8=140（cm2）,即所求阴影部分的面积为140cm2.

23.解:

因为AB⊥BC,所以∠3+∠EBC=90°（垂直定义）.因为∠1+∠2=90°,∠2=∠3,所以∠1+∠3=90°（等量代换）.所以∠1=∠EBC（等角的余角相等）.所以BE∥DF（同位角相等,两直线平行）.

24.解:

（1）图

（1）:

∠BED=∠B+∠D;图

（2）:

∠B+∠BED+∠D=360°;图（3）:

∠BED=∠D-∠B;图（4）:

∠BED=∠B-∠D.

（2）选图（3）.理由如下:

如图所示,过点E作EF∥AB.因为AB∥CD,所以EF∥CD,所以∠D=∠DEF,∠B=∠BEF,因为∠BED=∠DEF-∠BEF,所以∠BED=∠D-∠B.