上海民办金苹果学校选修一第二单元《直线和圆的方程》测试包含答案解析.docx
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上海民办金苹果学校选修一第二单元《直线和圆的方程》测试包含答案解析
一、选择题
1．设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
2．过点、且圆心在直线上的圆的标准方程为（）
A．B．
C．D．
3．已知，，直线上存在唯一一点，使得，则的值为（）
A．B．或6C．2或D．
4．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（）
A．B．C．D．
5．过点引直线与曲线交于，两点，为坐标原点，当值时，直线的斜率等于（）.
A．B．C．D．
6．圆C：
x2＋y2－6x－8y＋9＝0被直线l：
ax＋y－1－2a＝0截得的弦长取得最小值时，此时a的值为（）
A．3B．－3C．D．－
7．已知，，直线：
，：
，且，则的最小值为（）
A．2B．4C．D．
8．已知圆，若圆C上至少有3个点到直线的距离为，则实数r的取值范围为（）
A．B．C．D．
9．已知是直线上一点，是外一点，则方程表示的直线（）
A．与重合B．与交于点C．过与平行D．过与相交
10．唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？
在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）
A．B．C．D．
11．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（）
A．B．C．D．
12．若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
二、填空题
13．如果圆上总存在点到原点的距离为3，则实数的取值范围为________．
14．在平面直角坐标系中，过圆：
上任一点作圆：
的一条切线，切点为，则当取最小值时，______．
15．已知点，对于直线的任意一点P，都有，则实数m的取值范围是__________.
16．设、为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为__________．
（1）存在实数，使得点N在直线l上；
（2）若，则过M、N的直线与直线l平行；
（3）若，则直线l经过的中点；
（4）若，则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交；
17．如图，已知圆是圆上两个动点，点，则矩形的顶点的轨迹方程是___________．
18．已知圆被直线截得的弦长为，则______．
19．设圆，定点，若圆O上存在两点到A的距离为2，则r的取值范围是________．
20．定义点到直线的有向距离.已知点到直线l的有向距离分别是，给出以下命题：
①若，则直线与直线l平行；②若，则直线与直线l平行；③若，则直线与直线l垂直；④若，则直线与直线l相交.其中正确命题的个数是_______.
三、解答题
21．已知斜率为且过点的直线与圆相交于不同两点
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：
为定值；
（3）若为坐标原点，且，求直线的方程.
22．已知圆过点，圆M关于直线对称的圆为圆C，设P点为T点关于的对称点．
（1）求圆C的方程；
（2）设Q为圆C上的一个动点，求的最小值；
（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB分别与x轴的交点分别为E，F，若是以P为顶点的等腰三角形，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行，并说明理由．
23．已知圆，直线．
（1）求证:
对任意的，直线与圆恒有两个交点;
（2）设与圆相交于两点，求线段的中点的轨迹方程．
24．已知直线过点，且分别与轴正半轴、轴正半轴交于点、，（为坐标原点）
（1）当的面积为时，求直线的一般式方程；
（2）当取最小时，求直线的一般式方程.
25．已知圆，点、，其中．
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若以为直径的圆与圆有公共点，求实数的取值范围．
26．在①经过直线与直线的交点.②圆心在直线上.③被轴截得弦长；从上面这三个条件中任选一个，补充下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由.问题：
是否存在圆，且点，均在圆上？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：
D
【分析】
求出线段的方程，列方程组求得直线与线段交点坐标（横坐标），由可求得的范围．
【详解】
，∴方程为，即，
由，解得，（显然），
由解得或．
故选：
D．
【点睛】
方法点睛：
本题考查直线与线段有公共点问题，解题方法有两种：
（1）求出直线方程，由直线方程知直线方程联立方程组求得交点坐标（只要求得横坐标），然后由横坐标在已知两个点的横坐标之间列不等式解之可得；
（2）求出直线过定点，再求出定点与线段两端点连线斜率，结合图形可得直线斜率范围，从而得出参数范围．
2．A
解析：
A
【分析】
设圆心的坐标为，根据圆心到点、的距离相等可得出关于实数的等式，求出的值，可得出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出所求圆的标准方程.
【详解】
设圆心为，由可得，
整理可得，解得，所以圆心，
所求圆的半径为，因此，所求圆的标准方程为.
故选：
A.
【点睛】
方法点睛：
求圆的方程常见的思路与方法如下：
（1）求圆的轨迹方程，直接设出动点坐标，根据题意列出关于、的方程即可；
（2）根据几何意义直接求出圆心坐标和半径，即可写出圆的标准方程；
（3）待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般方程，再根据所给条件求出参数即可.
3．B
解析：
B
【分析】
设，由可得，则本题等价于直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】
设，由可得，
整理可得，
则直线上存在唯一一点，使得，等价于直线与圆相切，
则，解得或6.
故选：
B.
【点睛】
关键点睛：
解决本题的关键是将题转化为直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解.
4．D
解析：
D
【分析】
连接圆心与弦中点，根据垂径定理的逆定理得到直线与弦所在的直线垂直，由圆的标准方程求出圆心的坐标，再由弦中点的坐标，求出直线的斜率，根据两直线垂直斜率的乘积为，求出弦所在直线的斜率，再由弦中点的坐标及求出的斜率，写出弦所在直线的方程即可．
【详解】
解：
由题意，知圆的标准方程为，圆心为.
因为点为弦的中点，所以.
又的斜率，所以直线的斜率为2，
所以弦所在直线的方程为，
即.
故选：
D
【点睛】
此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：
圆的标准方程，垂径定理，直线斜率的求法，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，解题的关键是连接圆心与弦中点，根据垂径定理的逆定理得到直线与弦所在的直线垂直．
5．A
解析：
A
【分析】
方法一：
利用的面积，求点到直线的距离，再求直线的斜率；方法二：
设直线方程，利用点到直线的距离求弦长以及面积，利用三角形的面积取得最大值时，求直线的斜率..
【详解】
方法一：
根据三角形的面积公式和圆的弦的性质求解.
由于，即，
直线与交于两点，
如图所示，
，
且当时，
取得最大值，
此时，点到直线的距离为，
则，所以直线的斜角为30°，则斜率为.
方法二：
由，得.
所以曲线表示单位圆在轴上方的部分（含与x轴的交点），
设直线的斜率为，要保证直线与曲线有两个交点，且直线不与轴重合，
则，直线的方程为，即.
则原点到的距离，被半圆截得的半弦长为
则
令，则，
当，即时，有最大值为.
此时由，解得.
故选：
A
【点睛】
思路点睛：
本题考查直线与圆的位置关系，本题第一种方程，重点是分析几何关系，即点到直线的距离后就可知道斜率，第二种方程，重点是由条件可知当时，此时的面积最小，即用斜率表示面积，求最值，得到直线的斜率.
6．C
解析：
C
【分析】
先判断直线恒过点，可得直线垂直于直线时，截得的弦长最短，利用直线垂直的性质可得答案.
【详解】
直线可化为，
故直线恒过点.
圆的圆心为，半径为.
当直线垂直于直线时，截得的弦长最短，
因为直线的斜率，
ax＋y－1－2a＝0的斜率为，
此时.
故选：
C.
【点睛】
方法点睛：
判断直线过定点主要形式有：
（1）斜截式，，直线过定点；
（2）点斜式直线过定点；
（3）化为的形式，根据求解.
7．D
解析：
D
【分析】
根据得到，再将化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.
【详解】
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：
D
【点睛】
易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
8．D
解析：
D
【分析】
根据题意，得到直线不过圆心，且求得圆心到直线的距离，结合题中条件，得到实数r的取值范围.
【详解】
圆的圆心到直线为：
，
且直线不过圆心，
若圆上至少有3个点到直线的距离为，
则有，
所以实数r的取值范围为，
故选：
D.
【点睛】
思路点睛：
该题考查的是有关直线与圆的相关问题，解决该题的思路如下：
（1）求得圆心到直线的距离，并且发现直线不过圆心；
（2）结合题中条件，得到r的取值范围.
9．C
解析：
C
【分析】
由题意有可得，，，，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论．
【详解】
解：
由题意有可得，，，，则方程，，，
即，，，它与直线的一次项系数相等，但常数项不相等，
故，，表示过点且与平行的直线，
故选：
C．
【点睛】
根据平行直线系方程，即两直线方程与互相平行.
10．B
解析：
B
【分析】
先求出点关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短．
【详解】
解：
设点A关于直线的对称点，，
的中点为，故解得，，
要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，
即为点和圆上的点连线的最小值，为点和圆心的距离减半径，
“将军饮马”的最短总路程为，
故选：
B
【点睛】
本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．
11．D
解析：
D
【分析】
设抛物线y=x2上一点为A（x0，x02），点A（x0，x02）到直线2x-y-4=0的距离由此能求出抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标．
【详解】
设抛物线y=x2上一点为A（x0，x02），
点A（x0，x02）到直线2x-y-4=0的距离
∴当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短．
故选D．
【点睛】
本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
12．A
解析：
A
【分析】
到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得的取值范围．
【详解】
解：
作出到直线的距离为1的点的轨迹，得到与直线平行，
且到直线的距离等于1的两条直线，
圆的圆心为原点，
原点到直线的距离为，
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