热学李椿章立源钱尚武习题解答第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布律doc.docx
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第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布律
3-1设有一群粒子按速率分布如下：
粒子数N
2
4
6
8
2
i
速率Vi（m/s）
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
试求
（1）平均速率V；
（2）方均根速率
V
2
Vp
（）最可几速率
3
解：
（1）平均速率：
21.0042.00
6
3.00
84.00
25.00
（m/s）
V
4
6
8
2
3.18
2
（2）方均根速率
2
Ni
Vi
2
V
3.37（m/s）
Ni
3-2计算300K时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。
解：
2RT
2
8
.31
300
m
/s
VP
32
10
3
395
V
8RT
88.31
300
446m/s
3.14
32
10
3
2
3RT
3
8
.31
300
483m/s
V
32
10
3
3-3
计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为
100K、1000K和10000K。
解：
VP
2RT
代入数据则分别为：
T=100K时
VP
2.28
102m/s
T=1000K时
VP
7.21
102m/s
T=10000K时
VP
2.28
103m/s
3-4某种气体分子在温度T1时的方均根速率等于温度
T2时的平均速率，求T2/T1。
解：
因
2
3RT
8RT2
V
V
由题意得：
3RT
8RT2
∴T2/T1=3
8
3-5求0℃时1.0cm3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数（在计算中可
将dv近似地取为△v=1m/s）
解：
设1.0cm3氮气中分子数为N，速率在500~501m/s之间内的分子数为△N，
由麦氏速率分布律：
m
3
m
V2
△
N4（
）2
e2KT
V2
V
N=
2KT
2KT
∵Vp2=m，代入上式
△N=4N
V1V
2
2
e
Vp
V2
V
Vp2
因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率
V=500m/s，
2
8
.31
273
402m/s
△V=1m/s
又VP
28
10
3
v
－3
（vp=1.24）代入计算得：
△N=1.86×10
N个
3-6设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数△N1与速率在1500m/s到1510m/s之间的分子数△N2之比。
解：
取分子速率为V1=3000m/s
V2=1500m/s,△V1=△V2=10m/s
由5题计算过程可得：
V
2
△V1=4N
2
1
V
1
Vp
1V2eVp2
Vp
△N2=4N
2
V
22
V
2
Vp
1V2eVp2
Vp
（V1
）2
（V1）2
e
Vp
∴△N/△N2=
Vp
（V1
（
V1）2
）2e
Vp
Vp
其中VP=
2
8.31
573
2.18103m/s
2
10
3
v1
v2
vp=1.375
，vp
=0.687
∴
N1
1.375
N2
0.687
2
2
e
e
1.3752
0.6872
0.969
解法2：
若考虑△V1=△V2=10m/s比较大，可不用近似法，用积分法求△
N1，
△N2
V
2
V2dV
4N
2
dN=
Vp
3eVP
V2
dN
V
2
dN
V1
△N=
dN
1
V1
0
0
V4
dN
V
4
dN
V3
△N2=
dN
V3
0
0
i
vi
i=1
、2、3、4利用16题结果:
令X=vp
Vi
dN
N[erf（xi
）
2
2
0
xiexi
1
）
2
x22
2
x12
]
（1）
∴△N=N[erf（x2
xie
]N[erf（x1）
x1e
2
）
2
x42
2
x32
]
（２）
△N=N[erf（x4
x4e
]N[erf（x3）
x3e
其中VP=2RT
2.182103m/s
x1
V1
1.375
x2
V2
1.379
VP
VP
x3
V3
0.687
x4
V4
0.6722
VP
VP
查误差函数表得：
erf（x
1）=0.9482
erf（x
2）=0.9489
erf（x
3）=0.6687
erf（x
4）=0.6722
将数字代入（１）、（２）计算，再求得：
N1
0.703
N2
3-7试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率：
（1）速率在区间vp～1.0vp1内
（2）速度分量vx在区间vp～1.0vp1内
（3）速度分量vp、vp、vp同时在区间vp～1.0vp1内
解：
设气体分子总数为N，在三种情况下的分子数分别为△N1、△N2、△N3
（1）由麦氏速率分布律：
V2
V2
V1
△N=dN
dN
dN
V1
0
0
令v2=1.01vp，vi=vp，xi
vi
，则x1
v1
1，x2
v2
1.01，利用16
vp
vp
vp
题结果可得；
N1
erf
（x2
2
x2e
x22
2
x1e
x12
N
）
erf（x1）
查误差函数表：
erf（x1）=0.8427erf（x2）=0.8468
∴
N1
0.008
N
（2）由麦氏速率分布律：
N
vx2
dNx
vp1evp2dvx
v2
vx
2
v1
（
vx
2
∴N2
N
vp
e
（
）
dvx
N
vp
）
1
0
vp
1
0
e
vp
dvx
N2
1
v2
（vx
）2]d（vx）
1
v1
vx
）2]d（vx）
vp
exp[
vp
exp[（
N
0
vp
vp
0
vp
vp
令x
vx，x1
v1
1，x2
v2
1.01
vp
vp
vp
N
2
1
x2
x2
1
x1
x2
∴
e
dx
e
dx
N
0
0
利用误差函数：
erf（x）
2
x
2）dx
exp（x
0
N2
1
[erf
（x2）erf
（x
1）
N
2
1[0.8468
0.8427]
0
.21%
2
（3）令xvx，由麦氏速度分布律得：
vp
dN3
1
vx2
v2y
vz2
vp3e
v2p
dvxdvydvz
N
N3
（1
x2
e
x22
x1
x12
3
）3[
dx
e
dx]
N
0
0
（
N2）3
（0.002）3
0.8
10
8
N
3-8根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以
dN/dv为纵坐标，v为横
坐标，作1摩尔氧气在100K和400K时的分子速率分布曲线。
解：
由麦氏速率分布律得：
dN
4N（
3m
2
m）2e2KT
v2
v
dv
2
KT
将π=3.14，N=NA=6.02×1023T=100K
m=32×10-3代入上式得到常数：
m
3
m
A=4NA
（
）2
eB
KT
2
2KT
∴dN
Ae
BV2
V2
（1）
dv
为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论：
由麦氏速率分布律我们知道，单位速率区间分布的分子数随速率的变化，必
然在最可几速率处取极大值，极大值为：
令y
dN
AeBV2
V2则
dy
dv
A[eBV2
2V
V2
eBV2
（2BV）]0
dv
得V
VP
1
B
又在V=0时，y=0，V→∞时，y→0
又VP1
1
2KT1
VP2
1
2KT2
B1
m
B2
m
∵T1=100K＜T2=400K
∴VP1＜VP2由此作出草图
3-9
根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值
1
。
v
11f（V）dv
v0V
m
3
mv2
4
（
）2
e2KTVdV
2
KT
0
3
m
mV2）
解：
4
（
m
）2（
KT）e2KTV2d（
2
KT
m
0
2KT
3
mV2
4
（
m）2（
KT）e2KT
0
2
KT
m
2m
4
KT
V
3-10一容器的器壁上开有一直径为0.20mm的小圆孔，容器贮有100℃的水银，容器外被抽成真空，已知水银在此温度下的蒸汽压为0.28mmHg。
（1）求容器内水银蒸汽分子的平均速率。
（2）每小时有多少克水银从小孔逸出？
解：
（1）V
8RT
8
8.31
373
3.14
201
103
1.98
102（m/s）
（2）逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸
出的分子数为：
N
1nV
s
t
4
其中1nV
1
PV
是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数，s
（d）2是小孔
4
4
KT
2
面积，t=3600s，故N
1
P
V
st，代入数据得：
4
KT
N=4.05
×1019（个）
MmN
201
10
NA
N
10
∴
6.02
1.35
102（g）
319
234.0510
3-11如图3-11，一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强，分子数密度分别为p1、n1、p2、n2。
两部分气体的温度相同，都等于T。
摩尔质量也相同，均为μ。
试证明：
如隔板上有一面积为A的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为：
MA（P1P2）
2RT
证明：
设p1＞p2，通过小孔的分子数相当于和面积为
A的器壁碰撞的分子数。
从1跑到2的分子数：
N1
1n
1V1
A
t
4
从2跑到1的分子数：
N2
1n
2V2
A
t
4
实际通过小孔的分子数：
（从1转移到2）
N
N1
N2
1At（n
1V1n2V2）
4
因t=1秒，n
P
，V
8RT
KT
T1=T2=T
M
mn
1Am
8RT（P1
P2
4
KT
KT）
∴
1A
8RT（P1
P2）
4
RT
1P2）
2RT
若P2＞P1，则M＜0，表示分子实际是从2向1转移。
A（P
3-12有N个粒子，其速率分布函数为
f
（v）
dN
C（v0
v0）
Ndv
f
（v）
0（v
0v）
（1）作速率分布曲线。
（2）由N和v0求常数C。
（3）求粒子的平均速率。
解：
（1）f（v）C（v0v0）
f（v）0（v0v）
得速率分布曲线如图示
（2）∵
f（v）dv
1
0
∴
f（v）dv
v0
1
0cdv
0
即cv0
1c
1
v0
（3）v
vf（v）dv
1cv02
1v0
0
2
2
3-13N个假想的气体分子，其速率分布如图
3-13所示（当v＞v0时，粒子数为
零）。
（1）由N和V0求a。
（2）求速率在1.5V
0
到2.0V0之间的分子数。
（3）求分子的平均速率。
解：
由图得分子的速率分布函数：
Va
（
0
V
V0）
V0N
a
（
V0
V
2V0
）
N
f（v）=
0
（
V
2V0）
（1）∵dN
Nf
（V
）dv
N
N
f
（V）dV
V0Va
dV
2V
V
adv
∴
0
0
0
V0
1aV02
aV0
3V
0a
2
V0
2
2N
a
3V0
（2）速率在1.5V0到2.0V0之间的分子数
N
2V0
2V0
adV
1.5V0
Nf（V）dV
1.5V
0
a（2V01.5V0）
1
2N
N
2
V
0
3V0
3
3-14证明：
麦克斯韦速率分布函数可以写作：
dN
F（x2）
dx
其中x
v
vp
2KT
vp
m
F（x2）
4Nx2
ex2
证明：
dN
Nf
（v）dv
m
3
mv2
4N（
）2e2KTv2dv
2
KT
3
v2
3
vp2
2
4N
2
vp
e
dv
v
v
2
v
2
4Nev2p
v）
vp2d（
vp
4N
e
x2
x2dx
∴dN
4N
ex2
x2
F（x2）
dx
3-15设气体分子的总数为
N，试证明速度的x分量大于某一给定值
vx的分子数
为：
Nvx
N
[1
erf（x）]
2
（提示：
速度的x分量在0到之间的分子数为N）
2
证明：
由于速度的x分量在区间vx～vx+dvx内的分子数为：
v2x
dNvxNvp1ev2pdvx
故在vx～范围内的分子数为：
NVx
dNvx
vx
vx
dNx
dNvx
0
0
由题意：
dNvx
N
0
2
v2x
vx
N
vx
2
dNvx
0
vp1evp
dvx
0
vx
令x
vp
利用误差函数得：
vx
N
2
x
x
2
dNvx
2
e
dx
0
0
Nerf（x）
2
NVx
N
N
2
2erf（x）
∴
N[1erf
（x）]
2
3-16
设气体分子的总数为
N，试证明速率在
0到任一给定值
v之间的分子数为：
N0
v
N[erf
（x）
2
e
x2
]
其中x
v
，vp为最
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