热学李椿章立源钱尚武习题解答第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布律doc.docx

1、热学李椿章立源钱尚武习题解答第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布律doc第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律3-1 设有一群粒子按速率分布如下：粒子数 N24682i速率 Vi （ m/s）1.002.003.004.005.00试求 (1) 平均速率 V；（2）方均根速率V2Vp（ ）最可几速率3解：（1）平均速率：2 1.00 4 2.0063.008 4.002 5.00(m/s)V46823.182(2)方均根速率2N iV i2V3. 37 (m/s)N i3-2 计算 300K 时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。解：2 RT28. 31300m/ sV

2、P32103395V8 RT8 8.31300446 m / s3 .143210323 RT38.31300483 m / sV321033-3计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K、1000K 和 10000K。解：VP2 RT代入数据则分别为：T=100K时V P2.2810 2 m / sT=1000K时V P7 .2110 2 m / sT=10000K时V P2.2810 3 m / s3-4 某种气体分子在温度 T1 时的方均根速率等于温度T2 时的平均速率，求 T2/T 1。解：因23 RT8RT 2VV由题意得：3 RT8RT 2T2/T 1= 383-5 求 0时

3、1.0cm3 氮气中速率在 500m/s 到 501m/s 之间的分子数（在计算中可将 dv 近似地取为 v=1m/s）解：设 1.0cm3 氮气中分子数为 N，速率在 500501m/s之间内的分子数为 N，由麦氏速率分布律：m3mV 2N 4 () 2e 2 KTV 2VN=2KT2KTV p2= m ，代入上式N=4 NV 1V22eV pV 2VV p2因 500 到 501 相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s，28.31273402 m / sV=1m/s又 V P28103v 3（vp =1.24 ）代入计算得： N=1.8610N个3-6 设氮气的温度为 300

4、，求速率在 3000m/s 到 3010m/s 之间的分子数 N1 与速率在 1500m/s 到 1510m/s 之间的分子数 N2 之比。解： 取分子速率为 V1=3000m/sV 2=1500m/s, V1= V2 =10m/s由 5 题计算过程可得：V2V1= 4 N21V1V p1 V 2 e V p2V pN2= 4 N2V22V2V p1 V 2 e V p2V p( V 1) 2(V1)2eV p N/N2=V p( V1(V1 )2) 2 eV pV p其中 VP=28 .315732.18 10 3 m/s2103v1v2vp =1.375， vp=0.687N 11.375

5、N 20 .68722ee1 .375 20.687 20 .969解法 2：若考虑 V1=V2=10m/s 比较大，可不用近似法，用积分法求N1，N2V2V 2 dV4 N2dN=V p3 e V PV 2dNV2dNV 1 N=dN1V100V 4dNV4dNV 3N2=dNV 300ivii=1、2、3、4 利用 16 题结果 :令 X =vpV idNN erf ( x i)220x i e xi1)2x 222x12（1） N= N erf ( x2x i e N erf ( x1 )x1 e2)2x 422x32（）N= N erf ( x 4x4 e N erf ( x 3 )x

6、 3 e其中 VP= 2RT2.182 103 m / sx1V11.375x2V21.379VPVPx3V30.687x4V40.6722VPVP查误差函数表得：erf(x1)=0.9482erf(x2)=0.9489erf(x3)=0.6687erf(x4)=0.6722将数字代入（）、（）计算，再求得：N10.703N 23-7 试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率：（1） 速率在区间 vp1.0v p1 内（2） 速度分量 vx 在区间 vp1.0v p1 内（3） 速度分量 vp 、vp、vp 同时在区间 vp 1.0v p1 内解：设气体分子总数为 N，在三种情况下的分子

7、数分别为 N1 、 N2、 N3（1） 由麦氏速率分布律：V 2V 2V1 N= dNdNdNV100令 v2=1.01v p，vi =vp， xivi，则 x1v11 ， x2v21.01，利用 16v pv pvp题结果可得；N 1erf( x 22x 2 ex222x1ex12N)erf ( x1 )查误差函数表： erf （x1） =0.8427 erf （x2） =0.8468N 10 .008N（2） 由麦氏速率分布律：Nv x2dN xv p1 e v p2 dv xv 2vx2v1(vx2 N 2Nv pe()dv xNv p)10vp10ev pdv xN 21v 2( v

8、x) 2 d ( v x )1v1v x) 2 d ( v x )v pexpv pexp (N0v pv p0v pv p令 xvx ， x1v11 ， x2v21.01v pvpv pN21x2x 21x1x 2edxedxN00利用误差函数：erf ( x )2x2 ) dxexp ( x0N 21 erf( x 2 ) erf( x1 )N21 0 .84680 .8427 0.21 %2（3）令 x vx ，由麦氏速度分布律得：vpdN 31v x2v2yv z2v p 3 ev2pdv x dv y dv zNN 3( 1x2ex 22x1x123) 3 dxedx N00(N2)

9、3(0.002 ) 30 .8108N3-8 根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以dN/dv 为纵坐标， v 为横坐标，作 1 摩尔氧气在 100K 和 400K 时的分子速率分布曲线。解：由麦氏速率分布律得：dN4 N (3m2m) 2 e 2 KTv 2vdv2KT将 =3.14 ，N=NA=6.02 1023T=100Km=3210-3 代入上式得到常数：m3mA=4 NA() 2eBKT22 KT dNAeBV 2V 2（ 1）dv为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论：由麦氏速率分布律我们知道， 单位速率区间分布的分子数随速率的变化， 必然在最可几速率处取极大值，极

10、大值为：令 ydNAe BV 2V 2 则dydvA e BV 22VV 2e BV 2( 2BV) 0dv得 VV P1B又在 V=0时， y=0，V时， y0又V P112KT 1V P 212KT 2B1mB 2mT1=100K T2 =400KVP 1 V P 2 由此作出草图3-9根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值1。v11 f (V )dvv0 Vm3mv24() 2e 2KT VdV2KT03mm V 2 )解： 4(m) 2 (KT )e 2 KT V 2 d (2KTm02KT3mV 24(m ) 2 (KT ) e 2 KT02KTm2m4KTV3-10 一容器的器

11、壁上开有一直径为 0.20mm的小圆孔，容器贮有 100的水银，容器外被抽成真空，已知水银在此温度下的蒸汽压为 0.28mmHg。（1） 求容器内水银蒸汽分子的平均速率。（2） 每小时有多少克水银从小孔逸出？解：（1） V8 RT88.313733.1420110 31.9810 2 ( m / s)（2）逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸出的分子数为： N1 nVst4其中 1 nV1P V是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数， s( d ) 2 是小孔44KT2面积， t=3600s ，故 N1PVs t ，代入数据得：4KTN=4.05 1019（个）MmN20110N

12、 AN106 .021 .3510 2 ( g )3 1923 4.05 103-11 如图 3-11 ，一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强，分子数密度分别为 p1 、n1 、p2、n2。两部分气体的温度相同，都等于 T。摩尔质量也相同，均为。试证明：如隔板上有一面积为 A 的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为：M A(P1 P2)2 RT证明：设 p1 p2，通过小孔的分子数相当于和面积为A 的器壁碰撞的分子数。从 1跑到 2 的分子数： N11 n1V1At4从2跑到1的分子数： N21 n2 V 2At4实际通过小孔的分子数： （从 1 转移到 2）NN 1N 21 At ( n1

13、V1 n 2 V 2 )4因 t=1 秒， nP， V8 RTKTT1=T2 =TMm n1 Am8RT ( P1P24KTKT )1 A8RT (P1P2 )4RT1P2 )2 RT若 P2 P1，则 M0，表示分子实际是从 2 向 1 转移。A(P3-12 有 N 个粒子，其速率分布函数为f(v )dNC ( v0v 0 )Ndvf( v )0 ( v0 v)(1)作速率分布曲线。(2)由 N 和 v0 求常数 C。(3)求粒子的平均速率。解：（ 1） f (v ) C ( v 0 v 0 )f ( v ) 0 ( v 0 v )得速率分布曲线如图示（ 2）f ( v) dv10f ( v

14、 ) dvv010cdv0即 cv 01 c1v 0（ 3） vvf ( v ) dv1 cv 021 v 00223-13 N 个假想的气体分子，其速率分布如图3-13 所示（当 v v0 时，粒子数为零）。（1）由 N 和 V0 求 a。（2）求速率在 1.5V0到 2.0V 0 之间的分子数。（3） 求分子的平均速率。解：由图得分子的速率分布函数：Va(0VV 0 )V 0 Na(V 0V2 V 0)Nf(v)=0(V2V0 )(1) dNNf( V) dvNNf( V ) dVV 0 VadV2 VVadv000V 01 a V 02aV 03 V0 a2V 022 Na3 V 0(2

15、) 速率在 1.5V 0 到 2.0V 0 之间的分子数N2 V 02 V 0adV1.5V0Nf ( V ) dV1.5V0a ( 2 V 01 . 5 V 0 )12 NN2V03 V 033-14 证明：麦克斯韦速率分布函数可以写作：dNF ( x 2 )dx其中 xvv p2 KTv pmF ( x 2 )4 N x 2e x2证明：dNNf(v ) dvm3mv 24 N () 2 e 2 KT v 2 dv2KT3v23v p224 N2v pedvvv2v24 N e v 2pv )v p2 d (v p4 Nex2x 2 dx dN4 Ne x 2x 2F ( x 2 )dx3

16、-15 设气体分子的总数为N，试证明速度的 x 分量大于某一给定值vx 的分子数为： N vxN 1erf ( x )2（提示：速度的 x 分量在 0 到 之间的分子数为 N ）2证明：由于速度的 x 分量在区间 vx vx +dv x 内的分子数为：v2xdNv x N v p 1 e v 2p dv x故在 vx 范围内的分子数为：N V xdN vxvxv xdN xdN v x00由题意：dN v xN02v2xv xNvx2dN vx0v p1 e v pdv x0v x令 xv p利用误差函数得：v xN2xx2dN vx2edx00Nerf ( x)2N V xNN22 erf ( x )N 1 erf( x)23-16设气体分子的总数为N，试证明速率在0 到任一给定值v 之间的分子数为：N 0vN erf( x )2ex 2其中 xv， vp 为最