电大离散数学模拟试题及答案.docx
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电大离散数学模拟试题及答案
电大离散考试模仿试题及答案
一、填空题
1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}，B={1,2}，则A-B＝____________________；ρ（A）-ρ（B）＝__________________________.
2.设有限集合A，|A|=n，则|ρ（A×A）|=__________________________.
3.设集合A={a，b}，B={1，2}，则从A到B所有映射是_______________________________________，其中双射是__________________________.
4.已知命题公式G＝⌝（P→Q）∧R，则G主析取范式是_______________________________
__________________________________________________________.
5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G总度数为__________，分枝点数为________________.
6设A、B为两个集合，A={1,2,4}，B={3,4}，则从A⋂B＝_________________________；A⋃B＝_________________________;A－B＝_____________________.
7.设R是集合A上等价关系，则R所具备关系三个特性是______________________，________________________，_______________________________.
8.设命题公式G＝⌝（P→（Q∧R）），则使公式G为真解释有__________________________，_____________________________，__________________________.
9.设集合A＝{1,2,3,4}，A上关系R1={（1,4）,（2,3）,（3,2）}，R1={（2,1）,（3,2）,（4,3）}，则R1∙R2=________________________,R2∙R1=____________________________,R12=________________________.
10.设有限集A，B，|A|=m，|B|=n，则||ρ（A⨯B）|=_____________________________.
11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A={x|-1≤x≤1，x∈R}，B={x|0≤x<2，x∈R},则A-B=__________________________，B-A=__________________________，
A∩B=__________________________，.
13.设集合A＝{2，3，4，5，6}，R是A上整除，则R以集合形式（列举法）记为__________________________________________________________________.
14.设一阶逻辑公式G=∀xP（x）→∃xQ（x），则G前束范式是_______________________________.
15.设G是具备8个顶点树，则G中增长_________条边才干把G变成完全图。
16.设谓词定义域为{a，b},将表达式∀xR（x）→∃xS（x）中量词消除，写成与之相应命题公式是__________________________________________________________________________.
17.设集合A＝{1，2，3，4}，A上二元关系R＝{（1,1）,（1,2）,（2,3）}，S＝{（1,3）,（2,3）,（3,2）}。
则R⋅S＝_____________________________________________________，
R2＝______________________________________________________.
二、选取题
1设集合A={2,{a},3,4}，B={{a},3,4,1}，E为全集，则下列命题对的是（）。
（A）{2}∈A（B）{a}⊆A（C）∅⊆{{a}}⊆B⊆E（D）{{a},1,3,4}⊂B.
2设集合A={1,2,3},A上关系R＝{（1,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）,（3,3）}，则R不具备（）.
（A）自反性（B）传递性（C）对称性（D）反对称性
3设半序集（A,≤）关系≤哈斯图如下所示，若A子集B={2,3,4,5},则元素6为B（）。
（A）下界（B）上界（C）最小上界（D）以上答案都不对
4下列语句中，（）是命题。
（A）请把门关上（B）地球外星球上也有人
（C）x+5>6（D）下午有会吗？
5设I是如下一种解释：
D＝{a,b}，
则在解释I下取真值为1公式是（）.
（A）∃x∀yP（x,y）（B）∀x∀yP（x,y）（C）∀xP（x,x）（D）∀x∃yP（x,y）.
6.若供选取答案中数值表达一种简朴图中各个顶点度，能画出图是（）.
（A）（1,2,2,3,4,5）（B）（1,2,3,4,5,5）（C）（1,1,1,2,3）（D）（2,3,3,4,5,6）.
7.设G、H是一阶逻辑公式，P是一种谓词，G＝∃xP（x），H＝∀xP（x）,则一阶逻辑公式G→H是（）.
（A）恒真（B）恒假（C）可满足（D）前束范式.
8设命题公式G＝⌝（P→Q），H＝P→（Q→⌝P），则G与H关系是（）。
（A）G⇒H（B）H⇒G（C）G＝H（D）以上都不是.
9设A，B为集合，当（）时A－B＝B.
（A）A＝B（B）A⊆B（C）B⊆A（D）A＝B＝∅.
10设集合A={1,2,3,4}，A上关系R＝{（1,1）,（2,3）,（2,4）,（3,4）}，则R具备（）。
（A）自反性（B）传递性（C）对称性（D）以上答案都不对
11下列关于集合表达中对的为（）。
（A）{a}∈{a,b,c}（B）{a}⊆{a,b,c}（C）∅∈{a,b,c}（D）{a,b}∈{a,b,c}
12命题∀xG（x）取真值1充分必要条件是（）.
（A）对任意x，G（x）都取真值1.（B）有一种x0，使G（x0）取真值1.
（C）有某些x，使G（x0）取真值1.（D）以上答案都不对.
13.设G是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G边数是（）.
（A）9条（B）5条（C）6条（D）11条.
14.设G是5个顶点完全图，则从G中删去（）条边可以得到树.
（A）6（B）5（C）10（D）4.
15.设图G相邻矩阵为
，则G顶点数与边数分别为（）.
（A）4，5（B）5，6（C）4，10（D）5，8.
三、计算证明题
1.设集合A＝{1，2，3，4，6，8，9，12}，R为整除关系。
（1）画出半序集（A,R）哈斯图；
（2）写出A子集B={3,6,9,12}上界，下界，最小上界，最大下界；
（3）写出A最大元，最小元，极大元，极小元。
2.设集合A＝{1，2，3，4}，A上关系R＝{（x,y）|x，y∈A且x≥y}，求
（1）画出R关系图；
（2）写出R关系矩阵.
3.设R是实数集合，σ,τ,ϕ是R上三个映射，σ（x）=x+3，τ（x）=2x，ϕ（x）＝x/4,试求复合映射σ•τ，σ•σ，σ•ϕ，ϕ•τ，σ•ϕ•τ.
4.设I是如下一种解释：
D={2，3}，
a
b
f
（2）
f（3）
P（2，2）
P（2，3）
P（3，2）
P（3，3）
3
2
3
2
0
0
1
1
试求
（1）P（a，f（a））∧P（b，f（b））;
（2）∀x∃yP（y，x）.
5.设集合A＝{1，2，4，6，8，12}，R为A上整除关系。
（1）画出半序集（A,R）哈斯图；
（2）写出A最大元，最小元，极大元，极小元；
（3）写出A子集B={4，6，8，12}上界，下界，最小上界，最大下界.
6.设命题公式G=⌝（P→Q）∨（Q∧（⌝P→R）），求G主析取范式。
7.（9分）设一阶逻辑公式：
G=（∀xP（x）∨∃yQ（y））→∀xR（x），把G化成前束范式.
9.设R是集合A={a，b，c，d}.R是A上二元关系，R={（a,b），（b,a），（b,c），（c,d）},
（1）求出r（R），s（R），t（R）；
（2）画出r（R），s（R），t（R）关系图.
11.通过求主析取范式判断下列命题公式与否等价：
（1）G=（P∧Q）∨（⌝P∧Q∧R）
（2）H=（P∨（Q∧R））∧（Q∨（⌝P∧R））
13.设R和S是集合A＝{a，b，c，d}上关系，其中R＝{（a，a）,（a，c）,（b，c）,（c，d）}，S＝{（a，b）,（b，c）,（b，d）,（d，d）}.
（1）试写出R和S关系矩阵；
（2）计算R•S，R∪S，R－1，S－1•R－1.
四、证明题
1.运用形式演绎法证明：
{P→Q，R→S，P∨R}蕴涵Q∨S。
2.设A,B为任意集合，证明：
（A-B）-C=A-（B∪C）.
3.（本题10分）运用形式演绎法证明：
{⌝A∨B，⌝C→⌝B，C→D}蕴涵A→D。
4.（本题10分）A，B为两个任意集合，求证：
A－（A∩B）=（A∪B）－B.
参照答案
一、填空题
1.{3}；{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
2.
.
3.α1={（a,1），（b,1）}，α2={（a,2），（b,2）},α3={（a,1），（b,2）}，α4={（a,2），（b,1）}；α3，α4.
4.（P∧⌝Q∧R）.
5.12，3.
6.{4}，{1，2，3，4}，{1，2}.
7.自反性；对称性；传递性.
8.（1，0，0），（1，0，1），（1，1，0）.
9.{（1,3）,（2,2）,（3,1）}；{（2,4）,（3,3）,（4,2）}；{（2,2）,（3,3）}.
10.2m⨯n.
11.{x|-1≤x<0，x∈R}；{x|112.12；6.
13.{（2，2）,（2，4）,（2，6）,（3，3）,（3，6）,（4，4）,（5，5）,（6，6）}.
14.∃x（⌝P（x）∨Q（x））.
15.21.
16.（R（a）∧R（b））→（S（a）∨S（b））.
17.{（1，3）,（2，2）}；{（1，1）,（1，2）,（1，3）}.
二、选取题
1.C.2.D.3.B.4.B.
5.D.6.C.7.C.
8.A.9.D.10.B.11.B.
13.A.14.A.15.D
三、计算证明题
1.
（1）
（2）B无上界，也无最小上界。
下界1，3；最大下界是3.
（3）A无最大元，最小元是1，极大元8，12，90+；极小元是1.
2.R={（1,1）,（2,1）,（2,2）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）}.
（1）
（2）
3.
（1）σ•τ＝σ（τ（x））＝τ（x）+3＝2x+3＝2x+3.
（2）σ•σ＝σ（σ（x））＝σ（x）+3＝（x+3）+3＝x+6,
（3）σ•ϕ＝σ（ϕ（x））＝ϕ（x）+3＝x/4+3，
（4）ϕ•τ＝ϕ（τ（x））＝τ（x）/4＝2x/4=x/2,
（5）σ•ϕ•τ＝σ•（ϕ•τ）＝ϕ•τ+3＝2x/4+3＝x/2+3.
4.
（1）P（a，f（a））∧P（b，f（b））=P（3，f（3））∧P（2，f
（2））
=P（3，2）∧P（2，3）
=1∧0
=0.
（2）∀x∃yP（y，x）=∀x（P（2，x）∨P（3，x））
=（P（2，2）∨P（3，2））∧（P（2，3）∨P（3，3））
=（0∨1）∧（0∨1）
=1∧1
=1.
5.
（1）
（2）无最大元，最小元1，极大元8，12；极小元是1.
（3）B无上界，无最小上界。
下界1，2；最大下界2.
6.G=⌝（P→Q）∨（Q∧（⌝P→R））
=⌝（⌝P∨Q）∨（Q∧（P∨R））
=（P∧⌝Q）∨（Q∧（P∨R））
=（P∧⌝Q）∨（Q∧P）∨（Q∧R）
=（P∧⌝Q∧R）∨（P∧⌝Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（⌝P∧Q∧R）
=（P∧⌝Q∧R）∨（P∧⌝Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧⌝R）∨（⌝P∧Q∧R）
=m3∨m4∨m5∨m6∨m7=∑（3，4，5，6，7）.
7.G=（∀xP（x）∨∃yQ（y））→∀xR（x）
=⌝（∀xP（x）∨∃yQ（y））∨∀xR（x）
=（⌝∀xP（x）∧⌝∃yQ（y））∨∀xR（x）
=（∃x⌝P（x）∧∀y⌝Q（y））∨∀zR（z）
=∃x∀y∀z（（⌝P（x）∧⌝Q（y））∨R（z））
9.
（1）r（R）＝R∪IA＝{（a,b），（b,a），（b,c），（c,d），（a,a），（b,b），（c,c），（d,d）},
s（R）＝R∪R－1＝{（a,b），（b,a），（b,c），（c,b）（c,d），（d,c）},
t（R）＝R∪R2∪R3∪R4＝{（a,a），（a,b），（a,c），（a,d），（b,a），（b,b），（b,c），（b,d），（c,d）}；
（2）关系图:
11.G＝（P∧Q）∨（⌝P∧Q∧R）
＝（P∧Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（⌝P∧Q∧R）
＝m6∨m7∨m3
＝∑（3，6，7）
H=（P∨（Q∧R））∧（Q∨（⌝P∧R））
＝（P∧Q）∨（Q∧R））∨（⌝P∧Q∧R）
＝（P∧Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（⌝P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（⌝P∧Q∧R）
＝（P∧Q∧⌝R）∨（⌝P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）
＝m6∨m3∨m7
＝∑（3，6，7）
G,H主析取范式相似，因此G=H.
13.
（1）
（2）R•S＝{（a，b）,（c，d）},
R∪S＝{（a，a）,（a，b）,（a，c）,（b，c）,（b，d）,（c，d）,（d，d）}，
R－1＝{（a，a）,（c，a）,（c，b）,（d，c）},
S－1•R－1＝{（b，a）,（d，c）}.
四证明题
1.证明：
{P→Q，R→S，P∨R}蕴涵Q∨S
（1）P∨RP
（2）⌝R→PQ
（1）
（3）P→QP
（4）⌝R→QQ
（2）（3）
（5）⌝Q→RQ（4）
（6）R→SP
（7）⌝Q→SQ（5）（6）
（8）Q∨SQ（7）
2.证明：
（A-B）-C=（A∩~B）∩~C
=A∩（~B∩~C）
=A∩~（B∪C）
=A-（B∪C）
3.证明：
{⌝A∨B，⌝C→⌝B，C→D}蕴涵A→D
（1）AD（附加）
（2）⌝A∨BP
（3）BQ
（1）
（2）
（4）⌝C→⌝BP
（5）B→CQ（4）
（6）CQ（3）（5）
（7）C→DP
（8）DQ（6）（7）
（9）A→DD
（1）（8）
因此{⌝A∨B，⌝C→⌝B，C→D}蕴涵A→D.
4.证明：
A－（A∩B）
=A∩~（A∩B）
＝A∩（~A∪~B）
＝（A∩~A）∪（A∩~B）
＝∅∪（A∩~B）
＝（A∩~B）
＝A－B
而（A∪B）－B
=（A∪B）∩~B
=（A∩~B）∪（B∩~B）
=（A∩~B）∪∅
=A－B
因此：
A－（A∩B）=（A∪B）－B.
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