几种常用连续型随机变量.docx
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几种常用连续型随机变量
几种常用的连续型随机变量
给出一个新概念：
广义概率密度函数。
设连续型随机变量E的概率密度函数为0（x）,那么任何与之成正比的函数f（x）x0（x）,都叫做
E的广义概率密度函数，或者说，一个函数f（x）是E的广义概率密度函数，说明存在着一实数a,使得
（Xx）=af（x）
（1）
-bO
而知道了广义概率密度函数，E的概率密度函数就可以根据性质「（x）dx=1,求出
将
（1）式代入得：
3
-bo-bo
（x）dx二af（x）dx=1
j
f（x）dx
因此，知道了广义概率密度函数就等于知道了一般的概率密度函数我们只需矢心函数的形
状就可以了解概率密度的性质了•因此也不必矢于那个常数是什么4.4指数分布
指数分布的概率密度函数为
八x0
®（X）=<
其它
它的图形如下列图所示
）
它的期望和方差汝一'…亠：
-boj-bO
=Jx®（x）dx=JxgFdx=Jxd（-e厂巧）
•:
00
j-foe
讼，11
_xe〞xbe+[eAdx=_e=—
o•L入
=jx2®（x）dx=Jx?
扎eAXdx=Jx2d（—eAX）
=-xLk+RxeAdx=E：
卩。
D二E2_（E尸二指数分布常用来作为各种〞寿命〞分布的近似
4.51•分布
如果一个随机变量乘上指数函数d｛即
E只取正值，且在正半轴的广义概率密度函数的形式是x的某次方xk
那么就称E服从r分布了•上式中之所以要求k»i,〉0,是因为广义积分
-bo-bo
f（x）dx二xke,5dx
二：
0
只有在这种条件下才收敛•
x「°e觇X0（r0A0）
f（x）
此外，传统上为了方便起见，用另一个常数r=k+1,因此广义概率密度函数写为
其它
而真实的概率密度函数?
x）=af（x）,可以给出常数a由下式计算
1
a=
xrjAXdx
0
-bo
这样，计算的尖键就是要计算广义积分xrje_Xdx作代换^入X贝Ux=t/入dx=d"入
0
那么.x「-dtTJ4^dt,
-be
问题就转成怎样计算广义积分・fe'dt,这个积分有一个参数r>0,在r为一些特定
o
的参数时，如当=1时，上面的广义积分还是可以计算的，但是当r为任意的正实数时，此广
义积分就没有一般的公式，一般的原函数表达式•在这种情况下数学家常用的方法就是定义一个新的函数•比方说，在中学学的三角函数就无法用一个加减乘除的公式表示，因此就发
明了sin,cos这样的记号来代表三角函数•同样，上面的广义积分的取值只依赖于参数r,每
给定一个r值就有一个积分值与之对应，因此也可以定义一个函数，叫1•函数，定义为
:
（r）二trJeldt
因此，i•分布的概率密度函数的形式为
:
（r1）=tre±dtzi-trdeJ
二rt「上dt二r】（r）
此外，山）=1,因・
（1）=f'e'dt
（r1）rrr
当r■时，『分布就是指数分布，当「为正整数时,
®（x）二」（r-1）!
其它
为r阶爱尔朗分布或称厄兰分布〔Erlang〕,在排队论中用到，女口，在接完一个之后又
接了r次所需要的时间，在设备出了一次故障之后又出了r次故障的时间.
当r=n/2〔n是正整数〕,Q1/2时，
nx
[〜2
—x2e2x>0
〔x〕二2A〔n〕
2
。
乙其它
称为具有n个自由度的X•分布，是数理统计中最重要的几个常用统计量之一
一个重要结论，当有假设干个参数M都相同的相互独立的服从r分布的随机变量相加得到
新的随机变量，那么此新的随机变量也服从r*分布，其入参数仍然不变，而r参数那么是各个随
机变量的r参数相加.
即如果1•入「1〕，才I•入⑵，…加~rm〕两两相互独立，贝y
手8+題+•••+勿~叮入「〔+「2+・・・+rn〕
此性质最常用到的地方，就是当有k个相互独立的服从自由度为LU，巴，…侏的X■分布的随机变量&，总，…，&相加得到的随机变量手&+护•••+乐服从自由度为nm+rb+—+m的X■分布
4.6正态分布
正态分布也叫高斯分布，是最常用的一种分布，用来描述许多误差或者大量随机变量之和的分布。
标准正态分布
在讨论正态分布之前，先讨论标准正态分布。
说随机变量E服从标准正态
分布，是指它的概率密度函数为
o（X）
证明:
o（x）dx=l如下:
a
xf~
令u=,dx=（2du，那么
4址
上式=4Je』du=
-bo
上式利用了普阿松广义积分公式eHdx=•二
普阿松积分公式的证明：
-bo
假设I二e*dx
22
e°xy）dxdy
2—f21,2-be
上式二e」rdrdV・e」丨因此I
oo2卩
由于禹（X）为偶函数，因此EE=O,
勺C2.XX2
b
利用定积分的分部积分公式udv=uv
*兰
令v=e2，那么dv二・xe2
一'个般定理，如果ex）,r=b+p,b>0,那么En=（EE+必n的分布函数为
F（x）=P{乞X}=P{；
bx」x_P
「」x}=P{cr}=F0
对两边求导得n与E的概率密度|确勺尖系为:
现在，当E服从标准正态分布时，将其乘上一个正的常数随b再加上一个常数口得到的机变量就服从一般的正态分布，其概率密度为
1gf
（x）二eK
122
如果随机变量E的概率密度函数为上式，那么记E~N（g肉,
0a[i
如
（x）
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