数学建模A题车灯线光源的优化设计参考答案doc.docx
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A题 车灯线光源的优化设计 参考答案
A题 车灯线光源的优化设计
安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方,其开口半径36毫米，深度21.6毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下。
在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。
在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。
要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
请解决下列问题：
（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。
（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
（3）讨论该设计规范的合理性。
注意：
以下答案是命题人给出的，仅供参考。
各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
四.反射光亮区的计算
分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，判断其是否与车灯反射面相交，若相交，一次反射光不能到达测试屏，否则求出该反射光线与反射屏平面的交点，即为反射亮点。
所有这些亮点的集合即为反射光亮区。
亮区的上半部分由下图所示（横坐标为x轴，纵坐标为y轴，单位为mm）,下半部分与上半部分是关于x轴对称的。
汽车前照灯线光源的优化设计
（2）
汽车前照灯分为"近"和"远"两个档位，"近光"的距离取的是汽车前照灯正前方的一恒定距离（国际通用的标准为25米远）。
汽车的配光性能可以通过在接收屏上测光强等手段来衡量。
针对一个已经提出配光性能要求的汽车前照灯光源设计问题，本文提出了"双向蒙特卡罗方法"，此方法能够大大节省计算量，使计算量至少降低了一个数量级（具体数据见正文中第五部分的表格）；同时，在具体求解时还根据题目特点，使用了进一步优化计算的逆向蒙特卡罗法。
计算接收屏上定接收点的能量时采用蒙特卡罗光能算法：
将光源发出的光束细分为光线后，对每条光线依据反射定理及空间解析几何等有关知识，计算出此条光线最终是否落在屏上的定点，以此统计屏上定点的光线数目。
计算线光源最小功率时建立了优化模型：
线光源能量P等于其功率密度h与长度a的乘积，使其最小是第一个目标，另外一个目标是k＝EB/EC在大于2倍的前提下与2尽量接近,这里EB、EC分别表示B、C两点上的光能量。
在此两个目标值的基础上兼顾到对实际生产有意义的光源长度精度值限制，求出了最优长度为3.90mm。
根据几何光学的光路可逆原理，进行光路的逆转，将原来的线光源与接收屏上的点转变为线接收器与点光源，此时在线光源与接收屏上的点之间建立了"联系"的光线，虽然能量分布产生了变化，但边界点的轨迹是不变的。
即：
如果把屏上点N当作点光源时没有光线照射到线接收器上，那么线光源发出的光也就不会落在点N上。
这样用逆向蒙特卡罗法计算出所有这种点的集合，其补集即为所求亮区域。
本文对模型的计算量简化程度进行了定性分析，验证了模型的合理性，并以此论证了采用双向光路追迹的意义，又对第二个问题进行了扩展，仍然使用双向蒙特卡罗法，求出了总的屏上光能量分布情况，并绘制了等高线描述的光能量分布图，对总光能分布的特点进行了详细的分析。
特别地，本文在最后讨论了模型在实际生产中的应用与变化，从结构、质地、物理性质等方面指出了模型适用性与有待改进的地方，增强了模型的实用性。
汽车前照灯线光源的优化设计（3）
一、问题重述
安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方,其开口半径36毫米，深度21.6毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下。
在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。
在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。
要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
请解决下列问题：
（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。
（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
（3）讨论该设计规范的合理性。
二、模型假设
1、反射面上无能量损耗。
2、根据汽车制造业的惯例，车灯设计中只使用几何光学的光路追迹法，物理光学理论中的干涉衍射及色散等因素对光能量的影响不予考虑。
则空间一点的光强度与通过该点的光线数目成正比且不受光程影响。
（此段论述参考了2001年广西省南宁市汽车配件一厂的前照灯设计课题中的有关假设）
3、线光源能量分布均匀，功率密度一定时总功率与长度成正比。
三、符号说明
四、问题分析与模型建立
为了便于后面的分析，首先提出以下定理。
引理：
光路可逆。
由引理可以推出：
定理1：
设从线光源正向光路追迹到屏上点的光线与抛物面上的作用域的范围为∑（若作用域为一个个离散点则∑代表点集），从屏上点发光追迹到线光源的光线与抛物面的作用域的范围为∑'（若作用域为一个个离散点则∑'代表点集），则有
∑＝∑'
定理2：
当光源发光光强一定时，接收面上的光强度等于面上各微元面收到的光线数目ｎ之和成正比。
A:
问题分析
此问题的难点在于对于抛物面这样一个旋转对称的曲面，只有对称轴上的点才具有这样的对称性，而非轴上点（即线光源上除焦点以外的所有点）对抛物面存在一个离焦的问题。
那么如果想从理论上寻找一些简化的光路表达式，不是一件容易的事。
因此我们的主要方向在于寻找能够降低计算量的办法。
光路逆向与双向光路追迹的提出
为了确定光线与抛物面的作用轨迹，追迹从线光源发出到达屏上的光线需要在整个旋转抛物面上求解，而若光路逆向（即假设B、C两点为总能量均为K的点光源，而原线光源为长度为a的线接收器，B，C发出的光线经过抛物面反射后部分落在线接收器），由于屏与抛物面相隔距离很远，从屏上点光源发出的光线追迹时只需取空间一个很小的立体角就能够分析完全可能照射到抛物面上的所有光线。
则我们初步推测如果能够合理利用逆向追迹的这一特点，就能够对降低计算量做出贡献。
逆向求解时"倒置"了光源，此时光线在全空间的强度分布产生了变化，左边上下两图反映了光源倒置前后的光能分布变化。
可见通过O、N两点的光线疏密程度均发生了改变，而从现有数据无法计算出"光源倒置"前后的全空间能量分布具体变化情况，即单独用逆向法不能够得出正确的能量关系，也就不能解决第一问所提出的问题。
但又由定理1，此方法能够求解出线光源上的光线与抛物面的作用域∑。
（同样，因为第二问只需要求接收屏上的亮区，即线光源上的光线与接收屏的作用域范围，此方法可以用来巧解本文第二问中的有/无光照的分界线）
综合考虑逆向法的优越性及局限性，使用光路正、反双向追迹法是合理的，鉴于此，我们提出了双向蒙特卡罗光路追迹法。
B：
模型建立
蒙特卡罗光路追迹法说明：
蒙特卡罗光路追迹的过程是，认为点光源射出的是分布均匀的光线（即光源发出一批总数目为N，N极大的均匀光线），然后把接收面细分为矩形小方格，光线最终被收集到一个个的矩形小方格内，由定理2，点光源发光为等光强度发光，可用接收面上接收的光线数目n衡量接收面能量强弱，也即到达每个矩形小方格的光能值依赖于小方格所收集到的光线的数量。
方格越小对光能描述得越好。
需要声明的是，蒙特卡罗法本身是随机地产生点数，在计算点光源发光时一般追迹的光线数目为上万条，当光线数目如此密集之后，这样实际上光源所追迹的光线已经均匀化。
基于此，我们在下面的理论及计算中，都假设光源发出均匀光线，而不是随机生成光线。
双向蒙特卡罗光路追迹法：
依据上述分析，我们建立了双向蒙特卡罗光路追迹法，此理论中各向的追迹均采用蒙特卡罗光路追迹；
第一步（逆向过程）：
把屏上的点看作发光点，进行光路逆向，对屏上一点所发出光线进行光路追迹，得出落在线接收器上的光线与抛物面的作用域范围∑'；
第二步（正向过程）：
根据第一步所得的∑'，依据定理1，采用正向光路追迹，即线光源上各点发光，此时，求解范围被限制在了∑＝∑'内。
对此区域求得落在屏上对应点的光线分布，也即光能量分布。
此两步一正一反，故称为双向蒙特卡罗光路追迹法。
相应的，我们也可以定义逆向蒙特卡罗法，就是只采用上面第一步里的逆向运算。
由上面的具体方案，我们回头再分析双向追迹的优越性。
在第一步中屏上点发出的光线只需追迹与抛物面相交的很小的一块空间区域，计算量比起不使用逆向追迹有少量增加；在第二步中，由于有了第一步所得的作用区域，大大减少了正向追迹时光线的求解范围。
两者综合作用，其反向追迹增加的计算量与正向追迹减少的计算量相比，小到可以忽略不计。
比起只用正向求解，总体速度得到很大的提高。
五、模型的求解、评价与优化
问题1的求解
采用双向蒙特卡罗法结合几何光学的反射定理与光路追迹公式得出B、C两点能量比值k，为使线光源达到最小功率，我们建立了一个目标函数如下：
合理性评价
从计算量的节省程度大致可以判断出，我们所研究的作用域肯定不会是曲面而很可能是二次曲线。
2、优越性
仅仅采用正向光束积分法求解时，为了降低计算量，设计算法时往往不得不从反射面本身的一些特殊性质（如本题中的抛物线的轴对称性等），而本模型适用于任何形状的反射面。
六、模型的实用化
1、真实的汽车前照灯并非为一个光滑连续的旋转抛物面，而是一块块"小曲面"组成，这一块块小曲面分别是焦点位置不同的旋转抛物面的部分截块，总的反光镜面没有真正意义上的焦点，在现有模型的基础上解决这个实际问题只需分区域对每个连续光滑曲面应用本模型求解最后汇总即可。
2、实际生产中卤素灯主要用作汽车的前照灯，有其独特的配光结构。
每支灯管内有两组灯丝，一组是主光束灯丝，发出的光经灯罩反射镜反射后径直向前射去，这种光源俗"远光"；另一组是偏光束灯丝，发出来的光被遮光板挡住灯罩反射镜的上半部分，其反射出去的光线都是朝下漫射向地面，不会给对面来车的驾驶者造成眩目，这种光源俗称"近光"。
这就意味着：
本模型接收屏上光的亮区肯定不再是完整的。
而是只有水平轴的下半部分的影响存在，形状对称的上半部为暗区，避免了光线直射人的眼睛。
3、为降低车头的空气阻力，进而改善油耗情况，如今设计的汽车前照灯均为倾斜安置的，这样会使近光距离处的配光性能产生变化，光强分布也会改变。
4、由物理光学理论，成束光线的传播必然存在干涉衍射等因素的影响，而光线射出前照灯之前的反射与投射、卤素灯内用来延长灯丝寿命的气态碘也必然会削减光波的能量，最终屏上点的实际能量会小于几何光学计算所得的理论值，则B、C两点间的能量差别会缩小一些，导致所需的线光源长度要略大于几何光学的计算结果。
但由于实际设计中用来做前照灯的光源仪器并非精度要求很高的精密光学仪器，所以简化后的计算结果误差一般可以不予考虑。
综合以上论述，模型改进后的计算机模拟近光距离光能分布与真实的光照图如下，可以看出左右两图的光能分布吻合的相当好。
七、参考文献
【1】赵凯华，钟锡华.光学（上册）【M】.北京：
北京大学出版社，1984
【2】陈锦昌.画法微分几何【M】.广州：
华南理工大学出版社，1990
【3】《数学手册》编写组.数学手册【M】.北京：
人民教育出版社，1979
【4】安连生，李国栋.照明光学系统照度分布的计算机模拟分析【J】.光学技术98.11
【5】蔡汉文.车辆头灯照明设计的发展与研究【J】.光学工程86.12
【6】ArriaKaneko,andNaohiNino.NewOpticalSystemforLowProfileHeadlamps【J】.SAETech,paperNo.890690,1989
【7】GerhardLindae.ImprovementsofLow-BeamPatternbyuseofPolyelipsoidHeadlamps【J】SAETech,PaperNo.850228,1985
【8】汽车前照灯配光性能GB4599－94
B题 彩票中的数学
近年来"彩票飓风"席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到"彩民"的行列，目前流行的彩票主要有"传统型"和"乐透型"两种类型。
"传统型"采用"10选6+1"方案：
先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。
投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。
以中奖号码"abcdef+g"为例说明中奖等级，如表一（X表示未选中的号码）。
"乐透型"有多种不同的形式，比如"33选7"的方案：
先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。
投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。
又如"36选6+1"的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。
从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。
这两种方案的中奖等级如表二。
以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。
现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。
低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：
[（当期销售总额×总奖金比例）-低项奖总额]×单项奖比例
（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。
（2）设计一种"更好"的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。
（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。
2002年全国大学生数学建模竞赛
（B题）
湖南农业大学
（410128）
队员
伍俊祥
谭聪权
张新其
指导老师
王志明
完卷日期2002年9月23日
彩票中的数学模型设计
[摘要]本文分两个部分。
首先我们利用
软件算出了29种方案的各奖项的中奖概率，并对其进行数据处理，建立了以各项奖金额的平均方差和为评判标准。
利用多目标搜索法编程求出其最优化方案，并列出其奖金分配比例。
并且我们从该模型可以很明确地看出奖项和奖金额的设置对模型结果的影响比较大；结论是方案6最好。
其次，在第一个模型的基础上，我们考虑了更一般的情况，建立了第二个模型。
模型二依旧采用模型一的评价标准，只不过模型二考虑到了更改奖项和奖金额的设置、奖项之间的比例分配大小等因素变化对结论的影响。
模型二在那些影响彩民吸引力的诸多因素中进行搜索，因此我们通过模型二完全可以找到一个合理的方案来。
本文的结论及提出的评判标准，对于彩票发行具有很强的指导性，列出了很多较优方案供有关部门参考。
一问题重述：
关于彩票抽奖有很多种玩法即方案，例如6+1/10，7/33，6+1/33，7/35等。
这些方案基本上都有这样的规则：
返回奖金比例一定，一等奖的保底和封顶金额都固定。
高项奖按比例分配，低项奖数额固定。
问题为1：
对这些已有的方案加以分析各种奖项的概率，并从奖项和奖金额的设置对彩民的吸引力等因素出发分析其方案的合理性；2：
设计一个更优的方案，并写出其算法；3：
写出一篇短文，供彩民在实际操作中参考。
二基本假设
（1）假设每人只买一注奖券，若有一人买多注的情况则看成是多个人每人只买一注的情况。
每注金额为2元。
若有m个人购买，则卖奖券的总的资金收入为
，那么各种方案各个奖项的实际中奖人数就为
。
（2）忽略上次滚入的金额数。
即每次买奖券的人员中的实际中奖比例就为各种方案中各种奖项的中奖比例，而且每次抽奖的奖金全部返回给彩民。
（3）每次卖彩票的总收入的
至少多于各奖项的保底金额。
（4）每次中一等奖的保底金额为60万元，封顶金额为500万元。
并且得高级别的奖不再兼得低级别的奖。
三符号说明
中
等奖的每个人所能够得到的奖金金额
买彩票的总人数
通过低项奖返回给彩民的金额
第
种方案中第
等奖的概率
第
种方案中第
等奖占高项奖总奖金的百分比
或低项奖的单注保底金额
。
表示在高项奖中一等奖奖金达到保底时所需分配的最小比例矩阵。
表示在高项奖中一等奖奖金达到封顶时所需分配的最大比例矩阵。
四数据预处理
我们首先用
软件编程（程序见附录的程序一）求出了题目给出的29种方案中各奖项的中奖概率如下表（表一）：
（在
软件程序里我们把该表记为矩阵
）
序号
一等奖
二等奖
三等奖
四等奖
五等奖
六等奖
七等奖
1
2e-7
8e-7
1.5e-5
2.61e-4
3.4e-3
3.73e-2
0
2
2e-7
8e-7
1.5e-5
2.61e-4
3.4e-3
3.73e-2
0
3
2e-7
8e-7
1.5e-5
2.61e-4
3.4e-3
3.73e-2
0
4
2e-7
8e-7
1.5e-5
2.61e-4
3.4e-3
3.73e-2
0
5
6.4e-7
4.48e-6
9.42e-5
2.8e-4
2.8e-3
4.2e-3
2.98e-2
6
6.4e-7
1.4e-5
8.46e-5
8.88e-4
2.2e-3
1.48e-2
7.79e-2
7
4.9e-7
3.4e-6
7.56e-5
2.27e-4
2.4e-3
4.0e-3
2.65e-2
8
4.9e-7
3.4e-6
7.56e-5
2.27e-4
2.4e-3
4.0e-3
2.65e-2
9
4.9e-7
3.4e-6
7.56e-5
2.27e-4
2.4e-3
4.0e-3
2.65e-2
10
3.8e-7
2.66e-6
6.12e-5
1.8e-4
2.0e-3
3.4e-3
2.36e-2
11
3.8e-7
2.66e-6
6.12e-5
1.8e-4
2.0e-3
3.4e-3
2.36e-2
12
2.97e-7
2.1e-6
4.99e-5
1.5e-4
1.7e-3
2.9e-3
2.1e-2
13
2.97e-7
2.1e-6
4.99e-5
1.5e-4
1.7e-3
2.9e-3
2.1e-2
14
2.97e-7
2.1e-6
4.99e-5
1.5e-4
1.7e-3
2.9e-3
2.1e-2
15
2.34e-7
1.64e-6
4.1e-5
1.23e-4
1.5e-3
2.5e-3
1.88e-2
16
2.34e-7
1.64e-6
4.1e-5
1.23e-4
1.5e-3
2.5e-3
1.88e-2
17
1.86e-7
1.30e-6
3.38e-5
1.01e-4
1.3e-3
2.1e-3
1.69e-2
18
1.86e-7
1.30e-6
3.38e-5
1.01e-4
1.3e-3
2.1e-3
1.69e-2
19
1.49e-7
1.04e-6
2.81e-5
8.43e-5
1.1e-3
1.8e-3
1.52e-2
20
1.49e-7
1.04e-6
2.81e-5
8.43e-5
1.1e-3
1.8e-3
1.52e-2
21
1.49e-7
1.04e-6
2.81e-5
8.43e-5
1.1e-3
1.8e-3
1.52e-2
22
1.49e-7
1.04e-6
2.81e-5
8.43e-5
1.1e-3
1.8e-3
1.52e-2
23
1.49e-7
2.4e-5
1.18e-3
1.7e-2
1.06e-1
0
0
24
1.2e-7
3.47e-6
2.08e-5
2.91e-4
7.31e-4
6.6e-3
8.8e-3
25
1.2e-7
3.47e-6
2.08e-5
2.91e-4
7.31e-4
6.6e-3
8.8e-3
26
1.2e-7
8.39e-7
2.35e-5
7.04e-4
9.5e-4
1.6e-3
1.37e-2
27
9.7e-8
6.8e-7
1.97e-5
5.91e-5
8.28e-4
1.4e-3
1.24e-2
28
2.6e-7
1.56e-6
5.16e-5
1.29e-4
2.1e-3
2.8e-3
2.84e-2
29
1.83e-7
9.15e-7
4.9e-5
9.88e-5
2.6e-3
2.6e-3
4.54e-2
<表一>
特别地：
第23种方案因为它的各奖项奖金的分配比较特殊，所以它的中奖概率是我们另外算出来的。
五模型的建立与求解
<一>对问题1的分析与求解
本小题的目标是根据题目已经给定的记录数据通过分析计算而得到一种最能够吸引彩民的方案，以帮助彩票部门进行决策，使得买彩票的人数尽可能多。
我们可以用每种彩票对彩民的吸引程度的大小来表示这种彩票发行方案设计的合理性。
某种彩票发行方案对彩民的吸引程度越大表示该种彩票发行方案设计越合理。
要增加对彩民的吸引度，我们可以从以下面几个条件考虑：
1、高项奖的金额比较大
2、高项奖的中奖率比较高
3、总中奖率要比较大
我们认为跟上述条件符合性越好，则该种方案对彩民的吸引力越大。
又我们从彩民的中奖心理来看，彩民都看好那种高项奖的中奖率和高项奖的总金额都比较高的那种彩票类型。
基于以上几个方面的考虑，我们发现用各项奖的单注金额的方差和（
）对以上几个条件的区分度比较高，而且该和越小的那种方案与我们的条件符合度越好。
所以，根据我们的理解，我们认为，该和如果越小，则表明中奖的比例越大，这样会使得更多的彩民购买该彩票。
彩民越多当然表明该彩票比较合理了；反之，如果该和越大，则表明中奖的比例越小，这样的话购买该彩票的人当然会少，这显然不是我们所看到的结果。
显然也不是较合理的方案。
基于以上思想，我们给出如下模型：
S.T
我们用
软件编程求解，程序见（附录的程序二）。
我们的编程思路如下：
1建立中奖概率矩阵P和奖金分配矩阵
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