人教版初一数学从算式到方程(基础)知识讲解.docx
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从算式到方程（基础）巩固练习
【学习目标】
1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；
2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；
3. 理解并掌握等式的两个基本性质.
【要点梳理】
【高清课堂：
从算式到方程 一、方程的有关概念】
要点一、方程的有关概念
1．定义：
含有未知数的等式叫做方程. 要点诠释：
判断一个式子是不是方程，只需看两点：
一.是等式；二.是含有未知数．
2．方程的解：
使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 要点诠释：
判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：
①.它（或它们）是方程中未知数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．
3．解方程：
求方程的解的过程叫做解方程.
4．方程的两个特征：
（1）.方程是等式；
（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.
【高清课堂：
从算式到方程二、一元一次方程的有关概念】
要点二、一元一次方程的有关概念
定义：
只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
要点诠释：
（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．
（2）一元一次方程的标准形式是：
ax+b=0（其中a≠0，a,b是已知数）.
（3）一元一次方程的最简形式是：
ax＝b（其中a≠0，a,b是已知数）.
【高清课堂：
从算式到方程 三、解方程的依据——等式的性质】
要点三、等式的性质
1．等式的概念：
用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
等式的性质1：
等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
如果 ，那么 （c为一个数或一个式子） .
等式的性质2：
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：
；如果
，那么
如果 ，那么 .
要点诠释：
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；
（2）等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，
如x＝0中，两边加上 得x＋ ，这个等式不成立;
（3）等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．
【典型例题】
类型一、方程的概念
1．下列各式哪些是方程？
①3x-2＝7； ②4+8＝12； ③3x-6；
④2m-3n＝0； ⑤3x2-2x-1＝0； ⑥x+2≠3；
2
⑦
x+1
=5； ⑧285-x=x．
5 3
【答案与解析】
解：
②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：
①、④、⑤、⑦、⑧．
【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个．
举一反三：
【变式】下列说法中正确的是（ ）.
2
A．2a-a=a不是等式 B．x-2x-3是方程
C．方程是等式 D ．等式是方程
【答案】C．
2．检验下列各数是不是方程2x=7x+1的解．
3 4
（1）.x＝12
（2）.x=-12
13
【答案与解析】
解：
（1）.把x＝12分别代入方程的左边和右边，左边2´12=8，右边=7´12+1=22．
3 4
∵ 左边≠右边，∴ x＝12不是方程的解．
（2）.把x=-12分别代入方程的左边和右边，左边=2´æ-12ö=-8，
13 3çè13÷ø 13
右边=7´æ-12ö+1=-8．∵ 左边＝右边，∴ x=-12是方程的解．
4ç13÷ 13 13
è ø
【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是．
举一反三：
【变式】下列方程中，解是x=3的是（ ）
A．x+1＝4 B．2x+1＝3 C．2x-1＝2 D．2x+1=7
3
【答案】A．
类型二、一元一次方程的相关概念
3．已知方程①x-2=3；②0.4x＝11；③x=5x-1；④y2-4y＝3；⑤t＝0；⑥x+2y
x 2
＝1．其中是一元一次方程的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B.
【解析】根据一元一次方程的定义判断，因为①不是整式方程（分母中含有未知数）④未知数的次数为2，⑥含有两个未知数．所以①、④、⑥都不是一元一次方程．
3
【总结升华】
x
x
x 3
和 是有区别的，前者的分母中含有字母，而后者的分母中不含字母，
2 x
不是整式，
2
举一反三：
是整式，分母中含有未知数的方程一定不是一元一次方程．
【变式】下列方程中是一元一次方程的是 （只填序号）．
①2x-1＝4；②x＝0；③ax＝b；④1-5=-1．
x
【答案】①②.
类型三、等式的性质
4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的．
（1）如果4x-11=5，那么4x=5+ ；
3 3
（2）如果ax+by＝-c，那么ax＝-c+ ；
（3）如果-4t=3，那么t＝ ．
3 4
【答案与解析】
解：
（1）.11；根据等式的性质1，等式两边都加上11；
（2）.（-by）；根据等式的性质1，等式两边都加上-by；
（3）.-9
16
；根据等式的性质2，等式两边都乘以-3．
4
【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．
举一反三：
【变式】下列说法正确的是（ ）．
A．在等式ab＝ac两边都除以a，可得b＝c.
B．在等式a＝b两边除以c2+1，可得
a
c2+1=
b
.
c2+1
C．在等式b=c两边都除以a，可得b＝c.
a a
D．在等式2x＝2a-b两边都除以2，可得x＝a-b.
【答案】B.
类型四、设未知数列方程
5．根据问题设未知数并列出方程：
一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考
80分，他要做对多少道题？
【答案与解析】
解：
设小明要做对x道题，则有（25-x）道做错或没做的题，依题意有：
4x-（25-x）×1＝80．可以采用列表法探究其解
显然，当x＝21时，4x-（25-x）×1＝80．所以小明要做对21道题．
【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式．举一反三：
【变式】根据下列条件列出方程．
（l）x的5倍比x的相反数大10；
（2）某数的3比它的倒数小4；
4
（3）甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5
分钟出发，问甲用多少时间追上乙？
【答案】
（1）5x-（-x）＝10；
（2）设某数为x，则1-3x=4；（3）设甲用x分钟追上乙，由
1
题意得
（x+5）=
x 4
1x．
30 20
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