三角形全等的判定导学案.docx
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三角形全等的判定导学案
三角形全等的判定导学案
三角形全等的判定
1.三角形全等的判定;
2.直角三角形全等的判定;
3.学习掌握综合证明的格式、步骤。
二.知识要点:
1.三角形全等的判定
(1)三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”。
表示方法:
如图所示,在△ABC和△DEF中,∵,,,∴△ABC≌△DEF(SSS)。
(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”。
表示方法:
如图所示,在△ABC和△DEF中,∵,,,∴△ABC≌△DEF(ASA)。
(3)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”。
表示方法:
如图所示,在△ABC和△DEF中,∵,,,∴△ABC≌△DEF(AAS)。
(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”。
表示方法:
如图所示,在△ABC和△DEF中,∵,,,∴△ABC≌△DEF(SAS)。
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”或“HL”。
表示方法:
如图所示,在Rt△ABC和Rt△DEF中,∵,,∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)。
注意:
①三角形全等的判定方法中有一个必要条件是:
有一组对应边相等。
②两边及其中一边的对角对应相等的情况,可以画图实验,如下图,在△ABC和△ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,显然它们不全等。
③三个角对应相等的两个三角形不一定全等,如两个大小一样的等边三角形。
2.全等三角形的基本图形
在平面几何中,有很多问题都可以借助于三角形全等来解决,比如线段的相等、角的相等、平行、垂直关系等。
在运用三角形全等这一工具时,主要是找两个三角形,并找出它们满足全等的条件来;解题时经常需要通过观察图形的运动状况,把两个全等三角形中的一个看成是另一个的平行移动、翻折、旋转等方法得到的,这需要对常见的全等三角形做到心中有数,如下图列举了几个常见的基本图形。
掌握这些全等形的对应边和对应角的位置关系,对我们在复杂的几何问题中迅速、准确地确定全等三角形是至关重要的。
三.重点难点:
1.重点:
能够快速准确地找出适合题意的三角形全等的判定方法。
理解证明的基本过程,掌握综合法证明的格式。
2.难点:
分析证明命题的途径,这一步学习起来比较困难,需要在学习中逐步培养学生的分析能力。
【考点分析】
三角形全等的判定是一个比较重要的知识点,在考题中一般是选择题和填空题,也有证明题和计算题,甚至是探究题。
【典型例题】
例1.如图所示,AB=CD,AC=DB。
求证:
△ABC≌△DCB。
分析:
由已知可得AB=CD,AC=DB,又因为BC是两个三角形的公共边,所以根据SSS可得出△ABC≌△DCB。
证明:
在△ABC和△DCB中,
∵
∴△ABC≌△DCB(SSS)
评析:
证明格式:
①点明要证明的两个三角形;②列举两个三角形全等的条件(注意写在前面的三角形,条件也放在前面),用大括号括起来;③条件按照“SSS”顺序排序;④得出结论,并把判断的依据注在后面。
例2.已知:
如图所示,AB=DE,∠B=∠DEF,BE=CF。
求证:
AC∥DF。
分析:
欲证AC∥DF,可通过证明∠ACB=∠F,由平行线的判定定理即可得证。
而∠ACB与∠F分别是△ABC和△DEF的内角,所以应先证明△ABC≌△DEF。
由BE=CF易得BC=EF,再结合已知条件AB=DE,∠B=∠DEF即可达到目的。
证明:
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF。
在△ABC和△DEF中,
∵
∴△ABC≌△DEF(SAS)。
∴∠ACB=∠F。
∴AC∥DF。
评析:
通过证明两个三角形全等可以提供角相等、线段相等,进而解决其它问题。
这里大括号中的条件按照“SAS”顺序排列。
例3.如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CD于D,BF⊥CD于F,AB交CD于E,求证:
AD=BF-DF。
分析:
要证AD=BF-DF,观察图形可得CF=CD-DF,只需证明CF=AD,CD=BF即可,也就是要证明△CFB≌△ADC。
由已知BC=AC,∠CFB=∠ADC=90°,只要再证明有一个锐角对应相等即可,由BF⊥CD,∠ACB=90°,易证得∠CBF=∠ACD,问题便得到证明。
证明:
∵∠ACB=90°,BF⊥CD
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠CBF+∠BCD=90°
∴∠CBF=∠ACD(同角的余角相等)
又∵AD⊥CD,∴∠CFB=∠ADC=90°
在△CFB和△ADC中,
∵
∴△CFB≌△ADC(AAS)
∴CF=AD,BF=CD(全等三角形的对应边相等)
又∵CF=CD-DF
∴AD=BF-DF
评析:
由条件AC=BC和垂直关系可得,AC、BC为两个直角三角形的斜边,还需要一对角相等即可用AAS证三角形全等;由条件可用余角性质转换角度证明角相等。
例4.如图所示,AB∥CD,AF∥DE,BE=CF,求证:
AB=CD。
分析:
要证明AB=CD,由于AB、CD分别是△ABF和△DCE的边,可尝试证明△ABF≌△DCE,由已知易证:
∠B=∠C,∠AFB=∠DEC,下面只需证明有一边对应相等即可。
事实上,由BE=CF可证得BF=CE,由ASA即可证明两三角形全等。
证明:
∵AB∥CD,
∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等)
又∵AF∥DE,∴∠AFC=∠DEB(同上)
∴∠AFB=∠CED(等角的补角相等)
又∵BE=CF,∴BE-EF=CF-EF,即BF=CE
在△ABF和△DCE中,
∵
∴△ABF≌△DCE(ASA)
∴AB=CD(全等三角形对应边相等)
评析:
由平行条件转化角,由线段和差关系转化线段,为证三角形全等做准备。
解题思路:
由已知条件,探寻三角形全等的条件,证得全等,再利用全等的性质解决相关问题。
例5.如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动。
问点P运动到AC上什么位置时,△ABC才能和△PQA全等?
分析:
要使△ABC与△PQA全等,由于∠C=∠PAQ=90°,PQ=AB,则只需AP=CB或AP=CA,由HL即可知道它们全等,从而容易确定P点的位置。
解:
由题意可知,∠C=∠PAQ=90°,又AB=PQ,要使△ABC≌△PQA,则只需AP=CB或AP=CA即可,从而当点P运动至AP=5cm,即AC中点时,△ABC≌△QPA;或点P与点C重合时,即AP=CA=10cm时,△ABC≌△PQA。
评析:
要证某两个三角形全等,但缺少条件,要求把缺少的条件探索出来。
解决这类题要从结论出发,借助相关的几何知识,探讨出使结论成立所需的条件,从而使问题得以解决。
本题中涉及到分类讨论的思想,要求同学们分析思考问题要全面,把各种情况都考虑到。
例6.(2007年四川内江)如图,△ABC和△EBD都是等腰直角三角形,A、B、D三点在同一直线上,连结CD、AE,并延长AE交CD于F。
(1)求证:
△ABE≌△CBD。
(2)直线AE与CD互相垂直吗?
请证明你的结论。
分析:
根据已知条件易得AB=BC,BE=BD,∠ABC=∠CBD=90°正好是△ABE和△CBD全等的条件。
对于AE与CD垂直关系的证明需要推证出∠CFA=90°。
证明:
(1)∵△ABC和△EBD都是等腰直角三角形,
∴AB=CB,BE=BD,∠ABC=∠CBD=90°
∴△ABE≌△CBD(SSA)
(2)AE⊥CD,
∵在△ABE和△CEF中,∠EAB=∠ECF,∠AEB=∠CEF,且∠ABE=90°,
∴∠ECF+∠CEF=∠EAB+∠AEB
∴∠ECF+∠CEF=180°-(∠EAB+∠AEB)
即∠AFC=∠ABE=90°
∴AE⊥CD。
评析:
利用已知,结合图形探索三角形全等的条件,逐步分析解决问题,把握解题思路。
【方法总结】
1.现阶段三角形全等所需的三个条件常与下列几种情况有关:
①利用中点的定义证明线段相等;②利用垂直的定义证明角相等;③利用平行线的性质证明角相等;④利用三角形的内角和等于180°证明角相等;⑤利用图形的和、差证明边或角相等。
2.证明一个几何中的命题有以下步骤:
①根据题意,画出图形。
②根据题设、结论,结合图形,写出已知、求证。
③经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明的过程。
在一般情况下,分析的过程不要求写出来,有些题目中,已经画好了图形,写好了已知、求证,这时只要写出“证明”一项就可以了。
证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”。
这些根据,可以是已知条件,也可以是定义、公理、已经学过的重要结论。
3.构造全等三角形
要能够构造两个全等三角形,利用“全等三角形的对应边相等”的特征,实地操作,测量出不能到达的两点之间的距离,并能说出这样测量的道理。
【模拟试题】(答题时间:
60分钟)
一.选择题
1.下列条件不能判定两个三角形全等的是()
A.有两边和夹角对应相等B.有三边分别对应相等
C.有两边和一角对应相等D.有两角和一边对应相等
2.下列条件能判定两个三角形全等的是()
A.有三个角相等B.有一条边和一个角相等
C.有一条边和一个角相等D.有一条边和两个角相等
3.如图所示,已知AB∥CD,AD∥BC,那么图中共有全等三角形()
A.1对B.2对C.4对D.8对
4.如图所示,已知∠A=∠D,∠1=∠2,那么要得到△ABC≌△DEF,还应给出的条件是()
A.∠E=∠BB.ED=BCC.AB=EFD.AF=CD
5.如图所示,点E在△ABC外部,点D在BC边上,DE交AC于F,若∠1=∠2,
∠E=∠C,AE=AC,则()
A.△ABC≌△AFEB.△AFE≌△ADC
C.△AFE≌△DFCD.△ABC≌△ADE
6.我们学过的判定两个直角三角形全等的条件,有()
A.5种B.4种C.3种D.2种
7.如图所示,AB∥EF∥CD,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中的全等三角形有()
A.1对B.2对C.3对D.4对
8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,且BC=6cm,则BD=__________.()
A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm
9.如图所示,DE⊥AB,DF⊥AC,AE=AF,则下列结论成立的是()
A.BD=CDB.DE=DFC.∠B=∠CD.AB=AC
二.填空题
10.如图所示,AC∥BD,AC=BD,那么__________,理由是__________.
11.已知△ABC≌△A'B'C',AB=6cm,BC=7cm,AC=9cm,∠A'=70°,∠B'=80°,则A'B'=__________,B'C'=__________,A'C'=__________,∠C'=__________,∠C=__________.
12.如图所示,已知AB=AC,在△ABD与△ACD中,要使△ABD≌△ACD,还需要再添加一个条件是_______________
13.如图所示,已知△ABC≌△DEF,AB=4cm,BC=6cm,AC=5cm,CF=2cm,∠A=70°,∠B=65°,则∠D=__________,∠F=__________,DE=__________,BE=__________.
14.(2007年福州)如图,点D、E分别在线段AB、AC上,BE、CD相交于点O,AE=AD,要使△ABE≌△ACD,需添加一个条件是__________(只要求写一个条件).
15.(2007年沈阳)如图,AC、BD相交于点O,∠A=∠D,请你再补充一个条件,使得△AOB≌△DOC,你补充的条件是__________.
三.解答题
16.(2007年浙江温州)已知:
如图,∠1=∠2,∠C=∠D,求证:
AC=AD.
17.(2007年浙江金华)如图,A、E、B、D在同一直线上,在△ABC和△DEF中,AB=DE,AC=DF,AC∥DF.
(1)求证:
△ABC≌△DEF;
(2)你还可以得到的结论是__________(写出一个即可,不再添加其他线段,不再标注或使用其它字母)
18.(2007年武汉)你一定玩过跷跷板吧!
如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图,横板绕它的中点O上下转动,立柱OC与地面垂直.当一方着地时,另一方上升到最高点.问:
在上下转动横板的过程中,两人上升的最大高度AA'、BB'有何数量关系?
为什么?
19.MN、PQ是校园里的两条互相垂直的小路,小强和小明分别站在距交叉口C等距离的B、E两处,这时他们分别从B、E两点按同一速度沿直线行走,如图所示,经过一段时间后,同时到达A、D两点,他们的行走路线AB、DE平行吗?
请说明你的理由.
20.有一块不规则的鱼池,下面是两位同学分别设计的能够粗略地测量出鱼池两端A、B的距离的方案,请你分析一下两种方案的理由.
方案一:
小明想出了这样一个方法,如图①所示,先在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A、C、E在同一条直线上,测得DE的长就是AB的长.你能说明一下这是为什么吗?
方案二:
小军想出了这样一个方法,如图②所示,先在平地上取一个可以直接到达鱼池两端A、B的点C,连结AC并延长到点D,使CD=CA,连结BC并延长到E,使CE=CB,连结DE,量出DE的长,这个长就是A、B之间的距离.你能说明一下这是为什么吗?
21.我们知道,两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等.那么在什么情况下,它们会全等?
(1)阅读与证明:
对于这两个三角形均为直角三角形,显然它们全等.
对于这两个三角形均为钝角三角形,可证它们全等(证明略).
对于这两个三角形均为锐角三角形,它们也全等,可证明如下:
已知:
△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形,AB=A1B1,BC=B1C1,∠C=∠C1.
求证:
△ABC≌△A1B1C1.(请你将下列证明过程补充完整)
证明:
分别过点B,B1作BD⊥CA于D,B1D1⊥C1A1于D1.
则∠BDC=∠B1D1C1=90°,
∵BC=B1C1,∠C=∠C1,
∴△BCD≌△B1C1D1,
∴BD=B1D1.
______________________________。
(2)归纳与叙述:
由
(1)可得到一个正确结论,请你写出这个结论.
【试题答案】(教师用)
1.C2.D3.C4.D5.D6.A7.C8.C9.B
10.△AOC≌△BOD;AAS或ASA
11.6cm7cm9cm30°30°
12.BD=CD或∠BAD=∠CAD
13.70°45°4cm2cm
14.∠B=∠C、∠AEB=∠ADC、∠CEO=∠BDO、AB=AC、BD=CE(任选一个即可)
15.AO=DO或AB=DC或BO=CO
16.证△ACB≌△ADB
17.
(1)证明:
∵AC∥DF,∴∠A=∠D,在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(SAS)
(2)答案不唯一,如:
AE=DB,∠C=∠F,BC∥EF等.
18.答:
AA'=BB',证△AA'O≌△BB'O
19.平行.理由如下:
由已知条件得,AB=DE,BC=CE,
在Rt△ABC和Rt△DCE中,
∴Rt△ABC≌Rt△DCE(HL),∴∠ABC=∠DEC,∴AB∥DE.
20.小明的做法有道理,其理由如下:
因为AB⊥BF,DE⊥BF,所以∠ABC=∠EDC,又因为A、C、E三点在同一条直线上,所以∠ACB=∠ECD,且BC=DC,所以△ABC≌△EDC(ASA),所以AB=DE(全等三角形的对应边相等).小军的做法有道理,其理由如下:
因为在△ABC和△DCE中,CD=CA,∠ACB=∠DCE(对顶角相等),CE=BC,所以△ABC≌△DEC(SAS),所以AB=DE(全等三角形的对应边相等).
21.
(1)又∵AB=A1B1,∠ADB=∠A1D1B1=90°,∴△ADB≌△A1D1B1,∴∠A=∠A1,又∵∠C=∠C1,BC=B1C1,∴△ABC≌△A1B1C1
(2)若△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形,AB=A1B1,BC=B1C1,∠C=∠C1,则△ABC≌△A1B1C1.