圆锥曲线中的焦点三角形.docx

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圆锥曲线中的焦点三角形

焦点二角形

焦点三角形问题是重要考点，考到的内容有：

椭圆或双曲线定义和正余弦定理以及面积公式

等。

常与曲线的离心率相结合，注意平面几何知识的应用。

一:

椭圆的焦点三角形

椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点F1,F2与椭圆上任意一点P为顶点组成的三角形。

（1）|PF1||PF2|2a

（2）4c2|PF,|2|PF2|22|PF,||PF2|cosF,PF2

（3）椭圆上的点与两焦点连线的夹角以椭圆短轴顶点与两焦点连线的夹角最大

22

证明：

设P是椭圆笃笃1（ab0，c为半焦距）上的一点，0为原点，E、F是ab

椭圆的两焦点，PEm，PFn

则cosEPF

22,2

mn4c

2mn

4b22mn

2mn

2b2

2b2

mn

a2

1，由余弦函数图象性质知

b2」L

1cos

=b2tan—

2

证明：

由正弦定理得:

f1f2pf2

sin（180°）sin

PF1

sin

由等比定理得:

PFj|PF2

sin（）sinsin

EPF有最大值，当且仅当P在短轴端点时取到该最大值。

（4）设P为椭圆上的任意一点，角F1F2P，F2F1P，F2PF1，则有离心

sin（）S

SPF1F2

sinsin

而

sin（

2c

）sin（）

PF!

PF2

sinsin

sin

2a

sin

sin（

sin

）

o

sin

例题:

PF1

2

圆

2

a

PF2,|PF1|

2、设P

2

b1（a，b

4

|PF2|

2

为椭圆冷

a

0）的两个

14

.求椭圆的方程

3

（ab

0）上一点，

占

八、、

x2

F1,F2,点P在椭圆上，且

2

y-1

4

F1、F2为焦点，如果

PF1F275,

PF2F1

15，则椭圆的离心率为（）

A、2

3

2n

■6

A.

B.

C.

D.

2

2

3

3

2

2

3、F1、

,X

F2疋椭圆

y

1的两个焦点，

A为椭圆上一点，且/AF1F2450，则

9

7

AF^2的面积为（

\17

A.7B

c.

2

x

4、F2是椭圆一

25

1的两个焦点，A为椭圆上一点，且

90,，则A至U

A.垃

B.

16

or

16

D

.非上述答案

3

5

3

5

5、设已，

F2分别是椭圆

2X

2

y

1的左、

右焦点，

P为椭圆上一点，

%

F2,P

是直角

25

16

三角形的一个顶点，则

P点到X轴的距离是

A芒

B.兰

C.

16

16或—

D.

非上述答案

3

5

5

3

6、设％

F2分别是椭圆

2X

y2

9

1的左、

右焦点，

P为椭圆上一点，

%

F2,P

是是直

25

x轴的距离为

b2

9、已知椭圆

b2

1（a

0）的左、右焦点分别为

F,c,0）,F2（c,0），若椭圆上存在

一点P使一

sin

a

PF^

，则该椭圆的离心率的取值范围为

sinPF2F!

A（、21,1）B.（.31,1）C.（..321）D.

（0

二：

双曲线的焦点三角形

双曲线的焦点三角形是指以双曲线的两个焦点

F1,F2与双曲线上任意一点P为顶点组成的

22

三角形。

笃岭1（a0,b0）

ab

性质有:

）|PR|IPF2I2a

（2）4c2|PRI2IPF2I22|PF1||PF2|cosF1PF2

（3）设P为椭圆上的任意一点，角F1F2P，F2F1P，

F2PF1，则

A.9B.

9

C.9或9

D.非上述答案

4

5

54

7、过椭圆左焦点

F

，倾斜角为§的直线交椭圆于A，B两点，若FA

2FB，则椭圆的

离心率为

（构造焦点三角形，

两次应用余弦定理，整体处理余弦定理的结果）

8、已知RtABC,AB

AC

1,点C为椭圆

2

2

1（ab0）的右焦点，且AB为

有离心率e-（

sinsin

），SpF1f2

b2

tan—

2

经过椭圆左焦点的弦，求椭圆的离心率。

（4）

例题：

2

1、设P为双曲线X2丫1上的一点，F,F2是该双曲线的两个焦点，若

12

|PFi|:

|PF213:

2，则△PF1F2的面积为（

A.6.3B.12

C.

12.3

D.

24

2、已知F1,F2为双曲线

C:

x2

y22的左右焦点，点

P在C上，|PF1|2|PF2|，则

COSF1PF2

3、双曲线x2

1的焦点为

4

5

F1、F2，点M在双曲线上且Mf1MF20,则点M到x轴

的距离为（

A.-

3

B.

C.

.3

4、已知F1、F2为双曲线

C:

x2

1的左、右焦点，点P在C上，/F1PF2=60°，则

P到x轴的距离为

（A）i3（B）于

（C）

（D）.6

x2

5、设F1,F2分别是双曲线—

a

使（oPoF^）F2P

一点P,

2y_b2

1（a0,b0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在

II

O为坐标原点，且则该双曲线的离

心率为

A.

31B.亠

2

C.

22

P是双曲线牛弓

a2b2

F2分别是双曲线的左、右焦点，且

B.

6、设点

1（a

b

IPF1|

A.-.5

2222

0）与圆xyab在第一象限的交点，

3|PF21，则双曲线的离心率

D.-

C..10

22

7、过双曲线冷爲1（a

ab

0,b0）的左焦点F（-c,0）作圆

x2y2a2的切线，切点

为E，延长FE交双曲线于点

P,O为原点，若oEi（OF

oP），则双曲线的离心率

&已知F1、F2分别为双曲线

22

xy

C:

-221ab0的左、

ab

右焦点，点P为双曲线右

支上一点，满足|PF2||F1F2|，且F2到直线PFi的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线

的离心率为

22

xy

9、已知F1、F2分别为双曲线C:

二21ab0

ab

的左、右焦点，若双曲线上存在

-一占

八、、

P，满足|PR|2|PF2|，则该双曲线的离心率范围为

（1,3]

10、

已知Fi,F2为离心率为2的双曲线的左右焦点，点

P在C上，|PFi|2|PF2|，则

cos

PF2F1

A.1

4

11、设F1,F2分别是双曲线x2

1的左、右焦点.若点P在双曲线上，且

则

（

A.,10

B.2.10

D.2、5

2

12、设F1F2分别是双曲线

a

2

y_

b2

1的左、右焦点，A,B是圆

a2b2与双曲

线左支的两个交点，且

ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率

A.5B.3C.

2

x

2

a

占1a0,b0右支上一点，F1、

b

F2分别是双曲线的左、

右焦点，I为PF1F2的内心，若SIPF1

S|PF2

IF1F2成立，则该双曲线的离心率为

A.4

B.2

C.

2D.2

2

2

14、已知

P是双曲线—

y

1上一点，

F1、

4

3

则|PF2|

1or9

2

2

15、已知

P是双曲线—

y

1上一点，

F1、

4

12

则|PF2|

9

2

2

练习：

已知双曲线2

y

21

（a>0,

b>0）

a

b

2

F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PFi|5

F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PFi|5

的两个焦点为F1（c,0）、F2（c,0），若双曲

线上存在一点P满足SinPFiF2a,则该双曲线的离心率的取值范围是

sinPF2F-ic

（1,12）

支交于代B两点，若RAB是以A为直角顶点的等腰三角形，贝Ue2522

X2y2

16、已知双曲线—21（a>0,b>0）的两个焦点为F1、F2，点A在双曲线第一象

ab

限的图象上，若△

AF1F2的面积为

1，且tan

1

AF1F2

2

tan

AF2F1

2，则双曲线

方程为

A12x2

A.—

3y2

5x2

1B.-

2

y1

C.3x2

12y2

1D.

2X

5y21

5

12

3

5

3

12

22

Xy

17、设F1,F2是双曲线—21（a0,b0）的左右焦点，过点F2的直线与双曲线的右

ab

22

Xy

18、设F1,F2是双曲线—21（a0,b0）的左右焦点，过点F1的直线与双曲线的左

ab

右支交于AB两点，若|AB|:

|BF?

|:

|AF?

|3:

4:

5，则双曲线的离心率是

13

22

19、如图设F1,F2是双曲线笃爲

ab

1（a0,b0）的左右焦点，IRF2I4,P为双曲线

右支上一点，F2P与y轴交于点A,

AP&的内切圆在边PF!

上的切点为Q，若|PQ|1，

则双曲线的离心率是

B）2

（C）

-2

（D）

（A）3

（

X

椭圆与双曲线的焦点三角形

2

x

例题：

若椭圆—

m

2

—1（mnn

22

0）和双曲线1（s,t0）有相同的焦点F1和F2，

st

而P是这两条曲线的一个交点，则

A.msB.

1

（ms）

2

PR

C.

PF2的值是（

D.

2

例题：

若椭圆—

m

y21m1

2

与双曲线y2

n

0有相同的焦点，点P是两曲

线的一个公共点，则

EPF?

的面积是

22

例题：

设R与F2是曲线C1:

—乂1的两个焦点，点M是曲线G与曲线

62

2

X2

C2:

y1的一个交点，求MF1F2的面积.

3

FF

2

例题：

如图,Fi,F2是椭圆Ci:

y21与双曲线C2的公共焦点，A,B分别是Ci,C2在第

4

二、四象限的公共点.若四边形af1bf2为矩形,则c2的离心率是

A.2B.、、3C.3D.-6

22

例题：

已知点P是以Fi,F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且PFiPF?

，分

别为椭圆和双曲线的离心率，贝y

22L11

Aqe?

2Bee4C.qe?

2j2D.-2—22

ee

例题：

已知点P是以F1,F?

为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且EPF?

60,,

11

e,,仓分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为

4、32、3

A.B.C.3D.2

F1PF2

60：

33

例题：

已知F1、F?

是椭圆和双曲线的公共焦点，点P为它们的一个公共点,

则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值是（）

提示:

2c

B.

C.3D.2

nmn2a1mn2a2

sin60sin

sin

sinsin

sinsin

例题: