圆锥曲线中的焦点三角形.docx

1、圆锥曲线中的焦点三角形焦点二角形焦点三角形问题是重要考点， 考到的内容有：椭圆或双曲线定义和正余弦定理以及面积公式等。常与曲线的离心率相结合，注意平面几何知识的应用。一:椭圆的焦点三角形椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点 F1, F2与椭圆上任意一点 P为顶点组成的三角形。(1)| PF1 | | PF2| 2a(2)4c2 | PF, |2 | PF2 |2 2|PF, |PF2 |cos F,PF2（3）椭圆上的点与两焦点连线的夹角以椭圆短轴顶点与两焦点连线的夹角最大2 2证明：设P是椭圆 笃笃 1 （ a b 0，c为半焦距）上的一点，0为原点，E、F是 a b椭圆的两焦点，PE m，

2、 PF n则 cos EPF2 2,2m n 4c2mn4 b2 2mn2mn2b22b2mna21，由余弦函数图象性质知b2L1 cos=b2 tan 2证明：由正弦定理得:f1f2 pf2sin (180 ) sinPF1sin由等比定理得:PFj |PF2sin( ) sin sinEPF有最大值，当且仅当 P在短轴端点时取到该最大值。（4）设P为椭圆上的任意一点，角 F1F2P ， F2F1P ， F2PF1 ，则有离心sin( ) SS PF1F2sin sin而sin(2c)sin()PF! PF2sin sinsin2asinsin(sin)osin例题:PF12圆2aPF2,|

3、PF1 |2、设P2b 1(a，b4,|PF2|2为椭圆冷a0）的两个14.求椭圆的方程3(a b0）上一点，占八、x2F1, F2 ,点P在椭圆上，且2y- 14F1、F2为焦点，如果PF1F2 75 ,PF2F115，则椭圆的离心率为（）A 、232 n 6A.B .C .D.2233223、F1、,XF2疋椭圆y1的两个焦点，A为椭圆上一点，且/ AF1F2 450，则97AF2的面积为（17A. 7 Bc.2x4、F2是椭圆一251的两个焦点， A为椭圆上一点，且90 ,，则 A 至UA.垃B.16or16D.非上述答案35355、设已，F2分别是椭圆2 X2y1的左、右焦点，P为椭圆

4、上一点，%F2,P是直角2516三角形的一个顶点，则P点到X轴的距离是A芒B.兰C.1616 或D.非上述答案35536、设F2分别是椭圆2 Xy291的左、右焦点，P为椭圆上一点，%F2,P是是直25x轴的距离为b29、已知椭圆b21(a0）的左、右焦点分别为F, c,0）, F2（c,0），若椭圆上存在一点P使一sinaPF，则该椭圆的离心率的取值范围为sin PF2F!A(、2 1,1) B. (.3 1,1) C. (. 3 21) D.(0二：双曲线的焦点三角形双曲线的焦点三角形是指以双曲线的两个焦点F1, F2与双曲线上任意一点 P为顶点组成的2 2三角形。笃岭 1(a 0,b 0

5、)a b性质有:)|PR| IPF2I 2a(2) 4c2 | PR I2 IPF2I2 2|PF1 |PF2 |cos F1PF2(3) 设P为椭圆上的任意一点，角 F1F2P ， F2F1P ，F2PF1 ，则A. 9 B.9C. 9 或 9D. 非上述答案455 47、过椭圆左焦点F，倾斜角为 的直线交椭圆于 A，B两点，若FA2 FB，则椭圆的离心率为（构造焦点三角形，两次应用余弦定理，整体处理余弦定理的结果）8、已知 Rt ABC, ABAC1,点C为椭圆221（a b 0）的右焦点，且 AB为有离心率e - （sin sin)，S pF1f2b2tan 2经过椭圆左焦点的弦，求椭圆

6、的离心率。(4)例题：21、设P为双曲线X2 丫 1上的一点，F, F2是该双曲线的两个焦点，若12| PFi |:| PF21 3: 2，则 PF1F2 的面积为(A. 6.3 B. 12C.12.3D.242、已知F1,F2为双曲线C: x2y2 2的左右焦点，点P 在 C 上，| PF1 | 2 | PF2 |，则COS F1PF23、双曲线x21的焦点为45F1、F2，点M在双曲线上且Mf1 MF2 0 ,则点M到x轴的距离为（A.-3B.C.34、已知F1、F2为双曲线C:x21的左、右焦点，点 P在C上，/ F1 P F2=60，则P到x轴的距离为(A) i3 ( B)于(C)(D

7、) .6x25、设F1, F2分别是双曲线a使（oP oF） F2P一点P,2 y_ b21（a 0,b 0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在I IO为坐标原点，且 则该双曲线的离心率为A.3 1 B.亠2C.2 2P是双曲线牛弓a2 b2F2分别是双曲线的左、右焦点，且B.6、设点1(a,bIPF1 |A . -.52 2 2 20）与圆x y a b在第一象限的交点，3| PF21，则双曲线的离心率D.-C. .102 27、过双曲线冷爲 1( aa b0,b 0)的左焦点F (-c,0)作圆x2 y2 a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P , O为原点，若 oE i(OFoP)，

8、则双曲线的离心率&已知F1、F2分别为双曲线2 2x yC: -2 2 1 a b 0 的左、a b右焦点，点 P为双曲线右支上一点，满足| PF2 | | F1F2 |，且F2到直线PFi的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为2 2x y9、已知F1、F2分别为双曲线C:二 2 1 a b 0a b的左、右焦点，若双曲线上存在-一占八、P，满足| PR | 2| PF2 |，则该双曲线的离心率范围为(1,310、已知Fi,F2为离心率为 2的双曲线的左右焦点，点P 在 C 上，| PFi | 2 | PF2 |，则cosPF2F1A. 1411、设F1, F2分别是双曲线x21的左、

9、右焦点.若点P在双曲线上，且则(A. ,10B. 2.10D. 2、5212、设F1 F2分别是双曲线a2y_b21的左、右焦点，A, B是圆a2 b2与双曲线左支的两个交点，且ABF2为等边三角形，则 该双曲线的离心率A. 5 B. 3 C.2x2a占1 a 0,b 0右支上一点，F1、bF2分别是双曲线的左、右焦点，I为PF1F2的内心，若S IPF1S |PF2IF1F2成立，则该双曲线的离心率为A. 4B. 2C.2 D. 22214、已知P是双曲线y1上一点，F1、43则 | PF2 |1or92215、已知P是双曲线y1上一点，F1、412则 | PF2 |922练习：已知双曲线

10、2y2 1(a 0,b 0)ab2F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PFi| 5F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PFi| 5的两个焦点为 F1( c,0)、F2(c,0)，若双曲线上存在一点P满足Sin PFiF2 a,则该双曲线的离心率的取值范围是 sin PF2F-i c(1,1 2)支交于代B两点，若 RAB是以A为直角顶点的等腰三角形，贝U e2 5 2 2X2 y216、已知双曲线 2 1 (a 0, b 0)的两个焦点为 F1、F2，点A在双曲线第一象a b限的图象上，若AF1 F2的面积为1，且 tan1AF1F22,tanAF2F12，则双曲线方程为A 12x2A. 3y25

11、x21 B. -2y 1C. 3x212y21 D.2 X5y2 1512353122 2X y17、设F1,F2是双曲线 2 1(a 0,b 0)的左右焦点，过点 F2的直线与双曲线的右a b2 2X y18、设F1,F2是双曲线 2 1(a 0,b 0)的左右焦点，过点 F1的直线与双曲线的左a b右支交于 AB两点，若| AB |:| BF? |:|AF? | 3:4:5，则双曲线的离心率是132 219、如图设F1,F2是双曲线笃爲a b1(a 0,b 0)的左右焦点，IRF2I 4 , P为双曲线右支上一点，F2P与y轴交于点A ,AP&的内切圆在边PF!上的切点为Q，若|PQ| 1

12、，则双曲线的离心率是B) 2(C)-2(D)(A) 3(X椭圆与双曲线的焦点三角形2x例题：若椭圆m21(m n n2 20)和双曲线 1 (s,t 0)有相同的焦点F1和F2，s t而P是这两条曲线的一个交点，则A.m s B.1(m s)2PRC.PF2的值是(D.2例题：若椭圆my2 1 m 12与双曲线 y2n0有相同的焦点，点 P是两曲线的一个公共点，则EPF?的面积是2 2例题：设R与F2是曲线C1: 乂 1的两个焦点，点M是曲线G与曲线6 22X 2C2: y 1的一个交点，求 MF1F2的面积.3F F2例题：如图,Fi,F2是椭圆Ci : y2 1与双曲线C2的公共焦点，A,

13、B分别是Ci, C2在第4二、四象限的公共点.若四边形af1bf2为矩形,则c2的离心率是A. 2 B.、3 C.3 D.-62 2例题：已知点P是以Fi, F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点， 且PFi PF?，分别为椭圆和双曲线的离心率，贝y2 2 L 1 1Aqe? 2 Be e 4 C.qe? 2j2 D.-2 2 2e e例题：已知点 P是以F1, F?为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且 EPF? 60,1 1e,仓分别为椭圆和双曲线的离心率，则 的最大值为4、3 2、3A. B. C.3 D.2F1PF260：,3 3例题：已知F1、F?是椭圆和双曲线的公共焦点， 点P为它们的一个公共点,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值是（ ）提示:2cB.C. 3 D. 2n m n 2a1 m n 2a2sin 60 sinsinsin sinsin sin例题: