近世代数发展历史中的几个问题.docx
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近世代数发展历史中的几个问题
近世代数作业
学院：
数学与统计学院
班级：
09级
（1）班
姓名：
崔新林
学号：
090901103
一、抽象代数简介及其发展史
抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。
抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。
由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。
抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。
抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。
被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。
他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。
伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。
他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。
伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。
最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。
同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。
1843年，哈密顿发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。
第二年，Grassmann推演出更有一般性的几类代数。
1857年，凯莱设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。
他们的研究打开了抽象代数（也叫近世代数）的大门。
实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定（与其余假定是兼容的），就能研究出许多种代数体系。
1870年，克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义；狄德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；狄德金和克隆尼克创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代数学。
有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为代数女皇，她就是诺特,1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。
诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响。
1907-1919年，她主要研究代数不变式及微分不变式。
她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组。
还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题。
对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明。
她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式，在格丁根大学的就职论文中，讨论连续群（李群）下不变式问题，给出诺特定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起。
1920-1927年间她主要研究交换代数与「交换算术」。
1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。
1920年，她已引入「左模」、「右模」的概念。
1921年写出的<<整环的理想理论>>是交换代数发展的里程碑。
建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理。
1926年发表<<代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造>>，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。
诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。
诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。
1927－1935年，诺特研究非交换代数与「非交换算术」。
她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上。
后又引进交叉积的概念并用决定有限维枷罗瓦扩张的布饶尔群。
最后导致代数的主定理的证明，代数数域上的中心可除代数是循环代数。
诺特的思想通过她的学生范．德．瓦尔登的名著<<近世代数学>>得到广泛的传播。
她的主要论文收在<<诺特全集>>（1982）中。
1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派；1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论。
到现在为止，数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子。
这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映。
中国数学家在抽象代数学的研究始于30年代。
当中已在许多方面取得了有意义和重要的成果，其中尤以曾炯之、华罗庚和周炜良的工作更为显著。
二、数学家阿贝尔生平及贡献
尼耳斯·亨利克·阿贝尔（N.H.Abel，1802－1829）1802年8月出生于挪威西南城市斯塔万格附近的芬岛的一个农村。
他很早便显示了数学方面的才华。
16岁那年，他遇到了一个能赏识其才能的老师霍姆伯（Holmboe）介绍他阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作。
大师们不同凡响的创造性方法和成果，一下子开阔了阿贝尔的视野，把他的精神提升到一个崭新的境界，他很快被推进到当时数学研究的前沿阵地。
后来他感慨地在笔记中写下这样的话：
“要想在数学上取得进展，就应该阅读大师的而不是他们的门徒的著作”。
1821年，由于霍姆伯和另几位好友的慷慨资助，阿贝尔才得以进入奥斯陆大学学习。
两年以后，在一本不出名的杂志上他发表了第一篇研究论文，其内容是用积分方程解古典的等时线问题。
这篇论文表明他是第一个直接应用并解出积分方程的人。
接着他研究一般五次方程问题。
开始，他曾错误地认为自己得到了一个解。
霍姆伯建议他寄给丹麦的一位著名数学家去审阅，幸亏审阅者在打算认真检查以前，要求提供进一步的细节，这使阿贝尔有可能自己来发现并修正错误。
这次失败给了他非常有益的启发，他开始怀疑，一般五次方程究竟是否可解？
问题的转换开拓了新的探索方向，他终于成功地证明了要像较低次方程那样用根式解一般五次方程是不可能的。
这个青年人的数学思想已经远远超越了挪威国界，他需要与有同等智力的人交流思想和经验。
由于阿贝尔的教授们和朋友们强烈地意识到了这一点，他们决定说服学校当局向政府申请一笔公费，以便他能作一次到欧洲大陆的数学旅行。
经过例行的繁文缛节的手续和耽搁延宕后，阿贝尔终于在1825年8月获得公费，开始其历时两年的大陆之行。
踌躇满志的阿贝尔自费印刷了证明五次方程不可解的论文（鉴于经费原因，他把内容压缩在了6页上），把它作为自己晋谒大陆大数学家们，特别是高斯的科学护照。
他相信高斯将能认识他工作的价值而超出常规地接见。
高斯见后说：
“太疯狂了，居然这么几页纸就解决了数学界的世界难题？
！
”由于这种不屑，他直接把这本册子扔进了书堆，甚至人们在高斯死后的遗物中发现阿贝尔寄给他的小册子还没有裁开。
柏林是阿贝尔旅行的第一站。
他在那里滞留了将近一年时间。
虽然等候高斯召见的期望终于落空，这一年却是他一生中最幸运、成果最丰硕的时期。
在柏林，阿贝尔遇到并熟识了他的第二个伯乐——克雷勒（Crelle）。
克雷勒是一个铁路工程师，一个热心数学的业余爱好者，他以自己所创办的世界上最早专门发表创造性数学研究论文的期刊《纯粹和应用数学杂志》而在数学史上占有一席之地，后来人们习惯称这本期刊为“克雷勒杂志”。
与该刊的名称所标榜的宗旨不同，实际上它上面根本没有应用教学的论文，所以有人又戏称它为“纯粹非应用数学杂志”。
阿贝尔是促成克雷勒将办刊拟议付诸实施的一个人。
初次见面，两个人就彼此留下了良好而深刻的印象。
阿贝尔说他拜读过克雷勒的所有数学论文，并且说他发现在这些论文中有一些错误。
克雷勒非常地谦虚，他已经意识到眼前这位脸带稚气的年轻人具有非凡的数学天才。
他翻阅了阿贝尔赠送的论五次方程的小册子，坦率地承认看不懂。
但此时他已决定立即实行拟议中的办刊计划，并将阿贝尔的论文载入第一期。
于是阿贝尔的研究论文，克雷勒杂志才能逐渐提高声誉和扩大影响。
阿贝尔一生最重要的工作——关于椭圆函数理论的广泛研究就完成在这一时期。
相反，过去横遭冷遇，历经艰难，长期得不到公正评价的，也就是这一工作。
现在公认，在被称为“函数论世纪”的19世纪的前半叶，阿贝尔的工作[后来还有雅可比（K.G.Jacobi，1804－1851）发展了这一理论]，是函数论的两个最高成果之一。
通过阿贝尔的遭遇，我们认识到，建立一个客观而公正的科学评价体制是至关重要的。
科学界不仅担负着探索自然奥秘的任务，也担负着发现从事这种探索的人才的任务。
科学是人的事业，问题是要靠人去解决的。
科学评价中的权威主义倾向却往往会危害到发现和栽培新的科学人才。
科学家的权威意味着他在科学的某一领域里曾做过些先进工作，他可能是科学发现方面踌躇满志的权威，却不一定是评价、发现、培养科学人才的权威，尤其当科学新分支不断涌现，所要评价的对象是连权威都感到陌生的新领域的工作时，情况更是如此。
为了纪念挪威天才数学家阿贝尔诞辰200周年，挪威政府于2002年设立了一项数学奖——阿贝尔奖。
这项每年颁发一次的奖项的奖金高达80万美元，相当于诺贝尔奖的奖金，是世界上奖金最高的数学奖。
三、第一次数学危机介绍
从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。
它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。
他们认为，“万物皆数”（指整数），数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。
整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。
日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。
为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。
于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。
在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。
以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。
于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。
但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：
直线上存在不对应任何有理数的点。
特别是，他们证明了：
这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。
无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。
无理数的发现，引起了第一次数学危机。
首先，对于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。
其次，无理数看来与常识似乎相矛盾。
在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的，因为与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。
由于毕氏学派关于比例定义假定了任何两个同类量是可通约的，所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上，这样，他们的关于相似形的一般理论也失效了。
“逻辑上的矛盾”是如此之大，以致于有一段时间，他们费了很大的精力将此事保密，不准外传。
但是人们很快发现不可通约性并不是罕见的现象。
泰奥多勒斯指出，面积等于3、5、6、……17的正方形的边与单位正方形的边也不可通约，并对每一种情况都单独予以了证明。
随着时间的推移，无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。
诱发第一次数学危机的一个间接因素是之后“芝诺悖论”的出现，它更增加了数学家们的担忧：
数学作为一门精确的科学是否还有可能？
宇宙的和谐性是否还存在？
在大约公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中，并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。
今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微炒之处。
第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。
反之，数却可以由几何量表示出来。
整数的尊祟地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。
于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。
同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。
从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。
这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物。
回顾在此以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。
即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。
例如，泰勒斯预测日食、利用影子计算金字塔高度、测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。
至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，也就继续走着以算为主，以用为主的道路。
而由于第一次数学危机的发生和解决，希腊数学则走上完全不同的发展道路，形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系，为世界数学作出了另一种杰出的贡献。
但是，自此以后希腊人把几何看成了全部数学的基础，把数的研究隶属于形的研究，割裂了它们之间的密切关系。
这样做的最大不幸是放弃了对无理数本身的研究，使算术和代数的发展受到很大的限制，基本理论十分薄溺。
这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年。
四、第二次数学危机介绍
十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。
从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。
这次危机的萌芽出现在大约公元前450年，芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论：
“两分法”：
向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的1/4点……，如此类推以至无穷。
——结论是：
无穷是不可穷尽的过程，运动是不可能的。
“阿基里斯（《荷马史诗》中的善跑的英雄）追不上乌龟”：
阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。
这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。
“飞矢不动”：
意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上，因而是静止的，所以箭就不能处于运动状态。
“操场或游行队伍”：
A、B两件物体以等速向相反方向运动。
从静止的c来看，比如说A、B都在1小时内移动了2公里，可是从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。
运动是矛盾的，所以运动是不可能的。
芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。
前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点，后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点。
芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大被。
它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。
其后果是，希腊几何证明中从此就排除了无穷小。
经过许多人多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。
牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：
把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分法互为逆运算。
由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题的重要工具。
同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。
关键问题就是无穷小量究竞是不是零？
无穷小及其分析是否合理？
由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。
无穷小量究竟是不是零？
两种答案都会导致矛盾。
牛顿对它曾作过三种不同解释：
1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替。
但是，他始终无法解决上述矛盾。
莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。
英国大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数（导数）“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。
”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”。
贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题，不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索。
当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。
例如，罗尔曾说：
“微积分是巧妙的谬论的汇集。
”在那个勇于创造时代的初期，科学中逻辑上存在这样那样的问题，并不是个别现象。
18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的，强调形式的计算而不管基础的可靠。
其中特别是：
没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。
直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。
从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。
波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分；狄里赫利给出了函数的现代定义。
在这些工作的基础上，威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。
19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。
五、第三次数学危机介绍
数学基础的第三次危机是由1897年的突然冲击而出现的，从整体上看到现在还没有解决到令人满意的程度。
这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。
由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论已经成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。
1897年，福尔蒂揭示了集合论的第一个悖论；两年后，康托发现了很相似的悖论，它们涉及到集合论中的结果。
1902年，罗素发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。
罗素，英国人，哲学家、逻辑学家、数学家。
1902年著述《数学原理》，继而与怀德海合著《数学原理》（1910年～1913年），把数学归纳为一个公理体系，是划时代的著作之一。
他在很多领域都有大量著作，并于1950年获得诺贝尔文学奖。
他关心社会现象，参加和平运动，开办学校。
1968～1969年出版了他的自传。
罗素悖论曾被以多种形式通俗化，其中最著名的是罗索于1919年给出的，它讲的是某村理发师的困境。
理发师宣布了这样一条原则：
他只给不自己刮胡子的人刮胡子。
当人们试图答复下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：
“理发师是否可以给自己刮胡子？
”如果他给自己刮胡子，那么他就不符合他的原则；如果他不给自己刮胡子，那么他按原则就该为自己刮胡子。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了，无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷本末尾写道：
“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。
当本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我就置于这种境地”。
狄德金原来打算把《连续性及无理数》第3版付印，这时也把稿件抽了回来。
发现拓扑学中“不动点原理”的布劳恩也认为自己过去做的工作都是“废话”，声称要放弃不动点原理。
自从在康托的集合论和发现上述矛盾之后，还产生了许多附加的悖论。
集合论的现代悖论与逻辑的几个古代悖论有关系。
例如公元前四世纪的欧伯利得悖论：
“我现在正在做的这个陈述是假的”。
如果这个陈述是真的，则它是假的；然而，如果这个陈述是假的，则它又是真的了。
于是，这个陈述既不能是真的，又不能是假的，怎么也逃避不了矛盾。
更早的还有埃皮门尼德（公元前6世纪，克利特人）悖论：
“克利特人总是说谎的人”。
只要简单分析一下，就能看出这句话也是自相矛盾的。
集合论中悖论的存在，明确地表示某些地方出了毛病。
自从发现它们之后，人们发表了大量关于这个课题的文章，并且为解决它们作过大量的尝试。
就数学而论，看来有一条容易的出路：
人们只要把集合论建立在公理化的基础上，加以充分限制以排除所知道的矛盾。
第一次这样的尝试是策梅罗于1908年做出的，以后还有多人进行了加工。
但是，此程序曾受到批评，因为它只是避开了某些悖论，而未能说明这些悖论；此外，它不能保证将来不出现别种悖论。
另一种程序既能解释又能排除已知悖论。
如果仔细地检查就会发现：
上面的每一个悖论都涉及一个集合S和S的一个成员M（既M是靠S定义的）。
这样的一个定义被称作是“非断言的”，而非断言的定义在某种意义上是循环的。
例如，考虑罗素的理发师悖论：
用M标志理发师，用S标示所有成员的集合，则M被非断言地定义为“S的给并且只给不自己刮胡子人中刮胡子的那个成员”。
此定义的循环的性质是显然的——理发师的定义涉及所有的成员，并且理发师本身就是这里的成员。
因此，不允许有非断言的定义便可能是一种解决集合论的己知悖论的办法。
然而，对这种解决办法，有一个严重的责难，即包括非断言定义的那几部分数学是数学家很不愿丢弃的，例如定理“每一个具有上界的实数非空集合有最小上界（上确界）”。
解决集合论的悖论的其它尝试，是从逻辑上去找问题的症结，这带来了逻辑基础的全面研究。
从1900年到1930年左右，数学的危机使许多数学家卷入一场大辩论当中。
他们看到这次危机涉及到数学的根本，因此必须对数学的哲学基础加以严密的考察。
在这场大辩论中，原来不明显的意见分歧扩展成为学派的争论。
以罗素为代表的逻缉主义、以布劳威为代表的直觉主义、以希尔伯特为代表的形式主义三大数学哲学学派应运而生。
它们都是唯心主义学派，它们都提出了各自的处理一般集合论中的悖论的办法。
他们在争论中尽管言语尖刻，好象势不两立，其实各自的观点都吸收了对方的看法而又有很多变化。
1931年，哥德尔不完全性定理的证明暴露了各派的弱点，哲学的争论黯淡了下来。
此后，各派力量沿着自己的道路发展演化。
尽管争论的问题远未解决，但大部分数学家并不大关心哲学问题。
直到近年，数学哲学问题才又激起人们的兴趣。
承认无穷集合、承认无穷基数，就好象一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。
尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。
现代公理集合论中一大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。
所以，第三次数学危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。
数学中的矛盾既然是固有的，它的激烈冲突——危机就不可避免。
危机的解决给数学带来了许多新认识、新内容，有时也带来了革命性的变化。
把20世纪的数学同以前全部数学相比，内容要丰富得多，认识要深入得多。
在集合论的基础上，诞生了抽象代数学、拓扑学、泛函分析与测度论，数理逻辑也兴旺发达成为数学有机体的一部分。
古代的代数几何、微分几何、复分析现在已经推广到高维。
代数数论的面貌也多次改变，变得越来越优美、完整。
一系列经典问题完满地得到解决，同时又产生更多的新问题。
特别是二次大战之后，新成果层出不穷，从来间断。
数学呈现无比兴旺发达的景象，
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