圆章末重难点题型举一反三人教版解析版.docx

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圆章末重难点题型举一反三人教版解析版

专题1.4圆章末重难点题型

【人教版】

【考点1巧用圆的半径相等】

【方法点拨】解决此类问题的关键是连接半径，抓住圆的半径相等是关键.

【例1】（2020秋•朝阳区校级月考）如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（　　）

A．8B．6C．4D．2

【分析】如图，连接OC，在Rt△OBC中，求出OB即可解决问题．

【解答】解：

如图，连接OC．

∵四边形OBCD是矩形，

∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10，

∴OB6，

∴AB＝OA﹣OB＝4，

故选：

C．

【点评】本题考查圆，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

【变式1-1】（2020•南召县模拟）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（　　）

A．42°B．28°C．21°D．20°

【分析】利用OB＝DE，OB＝OD得到DO＝DE，则∠E＝∠DOE，根据三角形外角性质得∠1＝∠DOE+∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，然后利用∠E∠AOC进行计算即可．

【解答】解：

连结OD，如图，

∵OB＝DE，OB＝OD，

∴DO＝DE，

∴∠E＝∠DOE，

∵∠1＝∠DOE+∠E，

∴∠1＝2∠E，

而OC＝OD，

∴∠C＝∠1，

∴∠C＝2∠E，

∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，

∴∠E∠AOC84°＝28°．

故选：

B．

【点评】本题考查了圆的认识：

掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．

【变式1-2】（2019秋•句容市校级月考）如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是（　　）

A．a＞b＞cB．a＝b＝cC．c＞a＞bD．b＞c＞a

【分析】连接OA、OD、OM，则OA＝OD＝OM，由矩形的性质得出OA＝BC＝a，OD＝EF＝b，OM＝NH＝c，即可得出a＝b＝c．

【解答】解：

连接OA、OD、OM，如图所示：

则OA＝OD＝OM，

∵四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，

∴OA＝BC＝a，OD＝EF＝b，OM＝NH＝c，

∴a＝b＝c；

故选：

B．

【点评】本题考查了矩形的性质、同圆的半径相等的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．

【变式1-3】（2020秋•天宁区期中）如图，两个正方形都在⊙O的直径MN的同侧，顶点B、C、G都在MN上，正方形ABCD的顶点A和正方形CEFG的顶点F都在⊙O上，点E在CD上．若AB＝5，FG＝3，则OC的长为　　．

【分析】由四边形ABCD，EFGC是正方形，得到∠ABC＝∠FGC＝90°，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：

连接AO，OF，

∵四边形ABCD，EFGC是正方形，

∴∠ABC＝∠FGC＝90°，

∴AB2+BO2＝OG2+FG2，

∴52+（5﹣OC）2＝（3+OC）2+32

∴OC＝2，

故答案为：

2．

【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

【考点2点与圆的位置关系（求范围）】

【方法点拨】解决此类问题关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：

当d＞r时，点在圆外；

当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．

【例2】（2019•嘉定区二模）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3，以点A为圆心作圆A，要使B、C两点中的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径长r的取值范围是　　．

【分析】熟记“设点到圆心的距离为d，则当d＝r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内”即可求解，

【解答】解：

∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3，

∴AB＝6，

如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r＞3，

点B在圆A外，则r＜6，

因而圆A半径r的取值范围为3＜r＜6．

故答案为3＜r＜6；

【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d＝r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．

【变式2-1】（2019•长宁区一模）在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（　　）

A．5B．4C．3D．2

【分析】先根据两点间的距离公式分别计算出OA、OB的长，再由点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外求出r的范围，进而求解即可．

【解答】解：

∵点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4），

∴OA，

OB5，

∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，

∴r＜5，

∴r＝4符合要求．

故选：

B．

【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：

当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．

【变式2-2】（2019秋•大兴区期末）矩形ABCD中，AB＝10，BC＝4，点P在边AB上，且BP：

AP＝4：

1，如果⊙P是以点P为圆心，PD长为半径的圆，那么下列结论正确的是（　　）

A．点B、C均在⊙P外B．点B在⊙P外，点C在⊙P内

C．点B在⊙P内，点C在⊙P外D．点B、C均在⊙P内

【分析】先求出AP的长，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD的长，根据点B、C到P点的距离判断点P与圆的位置关系即可．

【解答】解：

如图，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD＝BC＝4，

∵AB＝10，BP：

AP＝4：

1，

∴AP＝2，BP＝8，

在Rt△ADP中，∵AP＝2，AD＝4，

∴DP6，

在Rt△PBC中，CP4，

∵8＞6，46，

∴点B，点C均在⊙P外，

故选：

A．

【点评】本题考查了矩形的性质，点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断即可．

【变式2-3】（2019秋•绿园区期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的5×5的网格中，选取7个格点（小正方形的顶点），若以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个点在圆内，则r的取值范围是（　　）

A．3＜rB．rC．rD．r≤3

【分析】利用勾股定理求出各格点到点A的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论．

【解答】解：

给各点标上字母，如图所示．

∵AB，AC＝AD，AG＝3，AF，

AE

所以以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，

这三个点只能为B、C、D点，

∴，

故选：

D．

【点评】本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点A的距离是解题的关键．

【考点3点与圆的位置关系（求最值）】

【例3】（2020•长兴县三模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是半径为1的⊙A上的一个动点，点E为CD的中点，连结BE，则线段BE长度的最小值为　　．

【分析】取AC的中点N，连接AD、EN、BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，EN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．

【解答】解：

如图，取AC的中点N，连接AD、EN、BN．

∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，

∴AC5，

∵AN＝NC，

∴BNAC，

∵AN＝NC，DE＝EC，

∴ENAD，

∴BN﹣EN≤BE≤BN+EN，

∴BE，

∴2≤BE≤3，

∴BE的最小值为2，

故答案为：

2．

【点评】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．

【变式3-1】（2020•武昌区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是　　．

【分析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．

【解答】解：

如图，取AC的中点N，连接MN，BN．

∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，

∴AC＝10，

∵AN＝NC，

∴BNAC＝5，

∵AN＝NC，DM＝MC，

∴MN2，

∴BM≤BN+NM，

∴BM≤5+2＝7，

即BM的最大值是7．

故答案为7．

【点评】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．

【变式3-2】（2020•连云港模拟）如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（　　）

A．1B．C．2D．

【分析】如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．利用三角形的中位线定理可得EH＝1，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆．

【解答】解：

如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．

∵CE＝EP，CH＝AH，

∴EHPA＝1，

∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，

∵C（0，4），A（3，0），

∴H（1.5，2），

∴OH2.5，

∴OE的最小值＝OH﹣EH＝2.5﹣1＝1.5，

故选：

B．

【点评】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．

【变式3-3】（2020•泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）

A．1B．C．21D．2

【分析】根据同圆的半径相等可知：

点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．

【解答】解：

如图，

∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，

∴C在⊙B上，且半径为1，

取OD＝OA＝2，连接CD，

∵AM＝CM，OD＝OA，

∴OM是△ACD的中位线，

∴OMCD，

当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，

∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，

∴BD＝2，

∴CD＝21，

∴OMCD，即OM的最大值为；

故选：

B．

【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．

【考点4弧、弦、角、之间的关系】

【方法点拨】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其

余各组量都分别相等，其中圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.

【例4】（2020•建湖县校级模拟）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PA＝PC．求证：

．

【分析】连接AC、OA、OB、OC、OD，根据等腰三角形的性质得到∠PAC＝∠PCA，根据圆周角定理得到∠BOC＝∠AOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论