步步高大一轮复习讲义12命题及充分条件必要条件.docx

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步步高大一轮复习讲义12命题及充分条件必要条件

§1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件

1．命题的概念

在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以____________的陈述句叫做命题．其中______________的语句叫真命题，____________的语句叫假命题．

2．四种命题及其关系

（1）四种命题

命题

表述形式

原命题

若p，则q

逆命题

否命题

逆否命题

（2）四种命题间的逆否关系

（3）四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性____________．

3．充分条件与必要条件

（1）如果p⇒q，则p是q的______________，q是p的______________；

（2）如果p⇒q，q⇒p，则p是q的______________．

[难点正本　疑点清源]

1．用集合的观点，看充要条件

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：

（1）若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件；

（2）若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件；

（3）若A＝B，则p是q的充要条件；

（4）若A⃘B，且B⃘A，则p是q的既不充分也不必要条件．

2．从逆否命题，谈等价转换

由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．这就是常说的“正难则反”．

1．（课本改编题）给出命题：

“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是______．

2．（课本改编题）下列命题中所有真命题的序号是________．

①“a>b”是“a2>b2”的充分条件；

②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件；

③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．

3．（课本改编题）“x>2”是“

<

”的________条件．

4．（2011·天津）设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x（x－2）>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5．已知α，β的终边在第一象限，则“α>β”是“sinα>sinβ”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

题型一　四种命题的关系及真假判断

例1

　以下关于命题的说法正确的有________（填写所有正确命题的序号）．

①“若log2a>0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数”是真命题；

②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；

③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；

④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．

探究提高　

（1）熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；

（2）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；（3）认真仔细读题，必要时举特例．

有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．

其中真命题的序号为________．

题型二　充分、必要、充要条件的概念与判断

例2

　指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）．

（1）在△ABC中，p：

∠A＝∠B，q：

sinA＝sinB；

（2）对于实数x、y，p：

x＋y≠8，q：

x≠2或y≠6；

（3）非空集合A、B中，p：

x∈A∪B，q：

x∈B；

（4）已知x、y∈R，p：

（x－1）2＋（y－2）2＝0，

q：

（x－1）（y－2）＝0.

探究提高　判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：

一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．

给出下列命题：

①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；

②“a＝2”是“函数f（x）＝|x－a|在区间[2，＋∞）上为增函数”的充要条件；

③“m＝3”是“直线（m＋3）x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；

④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝

，则A＝30°是B＝60°的必要不充分条件．

其中真命题的序号是________．

题型三　充要条件的证明

例3

　求证：

关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.

探究提高　

（1）条件已知证明结论成立是充分性，结论已知推出条件成立是必要性．

（2）证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．

（3）证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论．

已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q（p≠0，且p≠1），求证：

数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.

1.

等价转化思想在充要条件关系

中的应用

试题：

（12分）已知p：

≤2，q：

x2－2x＋1－m2≤0（m>0），且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．

审题视角　

（1）先求出两命题的解集，即将命题化为最简．

（2）再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组，得出结论．

规范解答

解　方法一　由q：

x2－2x＋1－m2≤0，

得1－m≤x≤1＋m，[2分]

∴綈q：

A＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}，[3分]

由

≤2，解得－2≤x≤10，[5分]

∴綈p：

B＝{x|x>10或x<－2}．[6分]

∵綈p是綈q的必要而不充分条件．

∴AB，即

或

，

即m≥9或m>9.∴m≥9.[12分]

方法二　∵綈p是綈q的必要而不充分条件，

∴p是q的充分而不必要条件，[2分]

由q：

x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，

∴q：

Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，[4分]

由

≤2，解得－2≤x≤10，

∴p：

P＝{x|－2≤x≤10}．[6分]

∵p是q的充分而不必要条件，

∴PQ，即

或

，

即m≥9或m>9.∴m≥9.[12分]

批阅笔记　本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问

题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问

题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.

方法与技巧

1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个（或n个）作为大前提．

2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的．

3．命题的充要关系的判断方法

（1）定义法：

直接判断若p则q、若q则p的真假．

（2）等价法：

利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

（3）利用集合间的包含关系判断：

若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．

失误与防范

1．否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论．要注意区别．

2．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．

课时规范训练

（时间：

60分钟）

A组　专项基础训练题组

一、选择题

1．（2011·陕西）设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是（　　）

　A．若a≠－b，则|a|≠|b|

B．若a＝－b，则|a|≠|b|

C．若|a|≠|b|，则a≠－b

D．若|a|＝|b|，则a＝－b

2．已知集合M＝{x|0

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．下列命题中为真命题的是（　　）

A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

B．命题“x>1，则x2>1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题

二、填空题

4．“m<

”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的____________条件．

5．下列命题：

①若ac2>bc2，则a>b；

②若sinα＝sinβ，则α＝β；

③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；

④若f（x）＝log2x，则f（|x|）是偶函数．

其中正确命题的序号是________．

6．已知p（x）：

x2＋2x－m>0，如果p

（1）是假命题，p

（2）是真命题，则实数m的取值范围为________．

三、解答题

7．已知p：

|x－3|≤2，q：

（x－m＋1）（x－m－1）≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．

8．设p：

实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：

实数x满足x2－x－6≤0，或x2＋2x－8>0，且綈p是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围．

B组　专项能力提升题组

一、选择题

1．（2011·福建）若a∈R，则“a＝2”是“（a－1）（a－2）＝0”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

2．已知p：

≥1，q：

|x－a|<1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（　　）

A．（－∞，3]B．[2,3]

C．（2,3]D．（2,3）

3．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x5”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

二、填空题

4．设有两个命题p、q.其中p：

对于任意的x∈R，不等式ax2＋2x＋1>0恒成立；命题q：

f（x）＝（4a－3）x在R上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a的取值范围是____________．

5．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．

6．在“a，b是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集，则a2－4b≥0”，给出下列命题：

①若a2－4b≥0，则不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集；

②若a2－4b<0，则不等式x2＋ax＋b≤0的解集是空集；

③若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是空集，则a2－4b<0；

④若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集，则a2－4b<0；

⑤若a2－4b<0，则不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集；

⑥若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是空集，则a2－4b≥0.

其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________（按要求的顺序填写）．

7．（2011·陕西）设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

三、解答题

8．已知全集U＝R，非空集合A＝

，B＝

.

（1）当a＝

时，求（∁UB）∩A；

（2）命题p：

x∈A，命题q：

x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

答案

要点梳理

1．判断真假　判断为真　判断为假．

2．

（1）若q，则p　若綈p，则綈q若綈q，则綈p

（2）逆命题　否命题　逆否命题

（3）①相同　②没有关系

3．

（1）充分条件　必要条件　

（2）充要条件

基础自测

1．3　2.②③　3.充分不必要　4.C　5.D

题型分类·深度剖析

例1

　②④

变式训练1　①③

例2

　解　

（1）在△ABC中，∠A＝∠B⇒sinA＝sinB，反之，若sinA＝sinB，因为A与B不可能互补（因为三角形三个内角和为180°），所以只有A＝B.故p是q的充要条件．

（2）易知，綈p：

x＋y＝8，綈q：

x＝2且y＝6，显然綈q⇒綈p，但綈pD⇒/綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．

（3）显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条件．

（4）条件p：

x＝1且y＝2，条件q：

x＝1或y＝2，所以p⇒q但qD⇒/p，故p是q的充分不必要条件．

变式训练2　①④

例3

　证明　充分性：

当a＝0时，

方程为2x＋1＝0，其根为x＝－

，

方程有一个负根，符合题意．

当a<0时，Δ＝4－4a>0，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实根，且

<0，方程有一正一负根，符合题意．

当0

，

故方程有两个负根，符合题意．

综上知：

当a≤1时，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根．

必要性：

若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根．

当a＝0时，方程为2x＋1＝0符合题意．

当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0应有一正一负根或两个负根．

则

<0或

.

解得a<0或0

综上知：

若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一负根，则a≤1.

故关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.

变式训练3　证明　充分性：

当q＝－1时，

a1＝S1＝p＋q＝p－1.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1（p－1）．

当n＝1时也成立．

于是

＝

＝p（n∈N*），

即数列{an}为等比数列．

必要性：

当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1（p－1）．

∵p≠0，p≠1，∴

＝

＝p.

∵{an}为等比数列，

∴

＝

＝p，又S2＝a1＋a2＝p2＋q，

∴a2＝p2－p＝p（p－1），∴

＝p，

即p－1＝p＋q.∴q＝－1.

综上所述，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．

课时规范训练

A组

1．D　2.B　3.A

4．充分不必要

5．①③④

6．[3,8）

7．解　由题意p：

－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.

∴綈p：

x<1或x>5.q：

m－1≤x≤m＋1，

∴綈q：

xm＋1.

又∵綈p是綈q的充分而不必要条件，

∴

　∴2≤m≤4.

8．解　设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3a

B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}

＝{x|x<－4或x≥－2}．

∵綈p是綈q的必要不充分条件，

∴綈q⇒綈p，且綈pD⇒/綈q.

则{x|綈q}{x|綈p}，

而{x|綈q}＝∁RB＝{x|－4≤x<－2}，

{x|綈p}＝∁RA＝{x|x≤3a或x≥a，a<0}，

∴{x|－4≤x<－2}{x|x≤3a或x≥a，a<0}，则

或

综上，可得－

≤a<0或a≤－4.

B组

1．A　2．C　3．B　

4.

∪（1，＋∞）

5．[1,2）

6．①③②④

7．3或4

8．解　

（1）当a＝

时，

A＝

＝

，

B＝

＝

，

∴∁UB＝

.

∴（∁UB）∩A＝

.

（2）∵a2＋2>a，∴B＝{x|a

①当3a＋1>2，即a>

时，A＝{x|2

∵p是q的充分条件，∴A⊆B.

∴

，即

.

②当3a＋1＝2，即a＝

时，A＝∅，不符合题意；

③当3a＋1<2，即a<

时，A＝{x|3a＋1

由A⊆B得

，∴－

≤a<

.

综上所述：

a∈

∪

.