实验四线性系统时域响应分析.docx

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实验四线性系统时域响应分析

实验四线性系统时域响应分析

一、实验目的

1．熟练掌握step（）函数和impulse（）函数的使用方法，研究线性系统在单位阶跃、单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。

2．通过响应曲线观测特征参量

和

对二阶系统性能的影响。

3．熟练掌握系统的动态性能指标在MATLAB中的求取方法。

二、基础知识及MATLAB函数

（一）基础知识

时域分析法直接在时间域中对系统进行分析，可以提供系统时间响应的全部信息，具有直观、准确的特点。

为了研究控制系统的时域特性，经常采用瞬态响应（如阶跃响应、脉冲响应和斜坡响应）。

本次实验从分析系统的性能指标出发，给出了在MATLAB环境下获取系统时域响应和分析系统的动态性能和稳态性能的方法。

用MATLAB求系统的瞬态响应时，将传递函数的分子、分母多项式的系数分别以s的降幂排列写为两个数组num、den。

由于控制系统分子的阶次m一般小于其分母的阶次n，所以num中的数组元素与分子多项式系数之间自右向左逐次对齐，不足部分用零补齐，缺项系数也用零补上。

1．用MATLAB求控制系统的瞬态响应

1）阶跃响应

求系统阶跃响应的指令有：

step（num,den）时间向量t的范围由软件自动设定，阶跃响应曲线随即绘出step（num,den,t）时间向量t的范围可以由人工给定（例如t=0:

0.1:

10）

[y，x]=step（num,den）返回变量y为输出向量，x为状态向量

[y,t,x]=step（num,den,t）向量t表示脉冲响应进行计算的时间

在MATLAB程序中，先定义num,den数组，并调用上述指令，即可生成单位阶跃输入信号下的阶跃响应曲线图。

考虑下列系统：

该系统可以表示为两个数组，每一个数组由相应的多项式系数组成，并且以s的降幂排列。

则matlab的调用语句：

num=[0025];%定义分子多项式

den=[1425];%定义分母多项式

step（num,den）%调用阶跃响应函数求取单位阶跃响应曲线

gridon%画网格标度线

xlabel（‘t/s’）,ylabel（‘c（t）’）%给坐标轴加上说明

title（‘Unit-stepRespinseofG（s）=25/（s^2+4s+25）’）%给图形加上标题名

则该单位阶跃响应曲线如图4-1所示：

图4-2定义时间范围的单位阶跃响应

图4-1二阶系统的单位阶跃响应

为了在图形屏幕上书写文本，可以用text命令在图上的任何位置加标注。

例如：

text（3.4,-0.06,’Y1’）和text（3.4,1.4,’Y2’）

第一个语句告诉计算机，在坐标点x=3.4,y=-0.06上书写出’Y1’。

类似地，第二个语句告诉计算机，在坐标点x=3.4,y=1.4上书写出’Y2’。

若要绘制系统t在指定时间（0-10s）内的响应曲线，则用以下语句：

num=[0025];

den=[1425];

t=0:

0.1:

10;

step（num,den,t）

即可得到系统的单位阶跃响应曲线在0-10s间的部分，如图4-2所示。

2）脉冲响应

①求系统脉冲响应的指令有：

impulse（num,den）时间向量t的范围由软件自动设定，阶跃响应曲线随即绘出

impulse（num,den,t）时间向量t的范围可以由人工给定（例如t=0:

0.1:

10）

[y,x]=impulse（num,den）返回变量y为输出向量，x为状态向量

[y,t,x]=impulse（num,den,t）向量t表示脉冲响应进行计算的时间

例：

试求下列系统的单位脉冲响应：

在matlab中可表示为

num=[001];

den=[10.21];

impulse（num,den）

grid

title（‘Unit-impulseResponseofG（s）=1/（s^2+0.2s+1）’）

由此得到的单位脉冲响应曲线如图4-3所示：

②求脉冲响应的另一种方法

应当指出，当初始条件为零时，G（s）的单位脉冲响应与sG（s）的单位阶跃响应相同。

考虑在上例题中求系统的单位脉冲响应，因为对于单位脉冲输入量，R（s）=1所以

因此，可以将G（s）的单位脉冲响应变换成sG（s）的单位阶跃响应。

向MATLAB输入下列num和den，给出阶跃响应命令，可以得到系统的单位脉冲响应曲线如图4-4所示。

num=[010];

den=[10.21];

step（num,den）

grid

title（‘Unit-stepResponseof

sG（s）=s/（s^2+0.2s+1）’）

3）斜坡响应

MATLAB没有直接调用求系统斜坡响应的功能指令。

在求取斜坡响应时，通常利用阶跃响应的指令。

基于单位阶跃信号的拉氏变换为1/s，而单位斜坡信号的拉氏变换为1/s2。

因此，当求系统G（s）的单位斜坡响应时，可以先用s除G（s），再利用阶跃响应命令，就能求出系统的斜坡响应。

例如，试求下列闭环系统的单位斜坡响应。

对于单位斜坡输入量，R（s）=1/s2，因此

在MATLAB中输入以下命令，得到如图4-5所示的响应曲线：

num=[0001];

den=[1110];

step（num,den）

title（‘Unit-RampResponseCuveforSystemG（s）=1/（s^2+s+1）’）

4）任意输入的响应

格式：

lsim（sys,u,t）

%给定系统对象sys，控制输入向量u和等间隔时间向%量t，求系统的单位脉冲响应并作图。

lsim（sys,u,t,x0）%计算带初始条件x0的时间响应并作图。

lsim（sys1,sys2,…u,t,x0）%多系统任意输入时间响应并绘图。

y=lsim（sys,u,t）%返回变量格式，不作图。

[y,t,x]=lsim（sys,u,t,x0）

2.特征参量

和

对二阶系统性能的影响

标准二阶系统的闭环传递函数为：

二阶系统的单位阶跃响应在不同的特征参量下有不同的响应曲线。

1）

对二阶系统性能的影响

已知二阶系统的传递函数为：

当ωn=1时，试计算ξ从0.1变至1时二阶系统的响应，并绘制一簇阶跃响应曲线。

程序及结果如下：

num=1;y=zeros（200,1）;i=0;

forbc=0.1:

0.1:

1

den=[1,2*bc,1];

t=[0:

0.1:

19.9]';

sys=tf（num,den）;

i=i+1;

y（:

i）=step（sys,t）;

end

mesh（flipud（y）,[-10020]）

图4-6二阶系统阻尼比变化时的阶跃响应曲线簇三维图

2）

对二阶系统性能的影响

同理，设定阻尼比

时，当

分别取1,2,3时，利用MATLAB求取单位阶跃响应曲线，分析参数

对系统的影响。

num1=[001];den1=[10.51];

t=0:

0.1:

10;step（num1,den1,t）;

grid;holdon

text（3.1,1.4,’wn=1’）

num2=[004];den2=[114];

step（num2,den2,t）;holdon

text（1.7,1.4,’wn=2’）

num3=[009];den3=[11.59];

step（num3,den3,t）;holdon

text（0.5,1.4,’wn=3’）

由此得到的响应曲线如图4-7所示：

3.动态性能指标的求取

一种比较常用的方法就是用编程方式求取时域响应的各项性能指标。

编程方法稍微复杂，但通过下面的学习，读者可以掌握一定的编程技巧，能够将控制原理知识和编程方法相结合，自己编写一些程序，获取一些较为复杂的性能指标。

通过前面的学习，我们已经可以用阶跃响应函数step（）获得系统输出量，若将输出量返回到变量y中，可以调用如下格式

[y,t]=step（G）

该函数还同时返回了自动生成的时间变量t，对返回的这一对变量y和t的值进行计算，可以得到时域性能指标。

峰值时间（timetopeak）可由以下命令获得：

[Y,k]=max（y）;　　　　　　　　　　　　　　　　　

timetopeak=t（k）　　　　　　　　　　　　　　　　

应用取最大值函数max（）求出y的峰值及相应的时间，并存于变量Y和k中。

然后在变量t中取出峰值时间，并将它赋给变量timetopeak。

最大（百分比）超调量（percentovershoot）可由以下命令得到：

C=dcgain（G）;

[Y,k]=max（y）;

percentovershoot=100*（Y-C）/C

dcgain（）函数用于求取系统的终值，将终值赋给变量C，然后依据超调量的定义，由Y和C计算出百分比超调量。

上升时间（risetime）可利用MATLAB中控制语句编制M文件来获得。

首先简单介绍一下循环语句while的使用。

while循环语句的一般格式为：

while<循环判断语句>

循环体

end

其中,循环判断语句为某种形式的逻辑判断表达式。

当表达式的逻辑值为真时，就执行循环体内的语句；当表达式的逻辑值为假时，就退出当前的循环体。

如果循环判断语句为矩阵时，当且仅当所有的矩阵元素非零时，逻辑表达式的值为真。

为避免循环语句陷入死循环，在语句内必须有可以自动修改循环控制变量的命令。

要求出上升时间，可以用while语句编写以下程序得到：

C=dcgain（G）;

n=1;

whiley（n）

n=n+1;

end

risetime=t（n）

在阶跃输入条件下，y的值由零逐渐增大，当以上循环满足y=C时，退出循环，此时对应的时刻，即为上升时间。

对于输出无超调的系统响应，上升时间定义为输出从稳态值的10%上升到90%所需时间，则计算程序如下：

C=dcgain（G）;

n=1;

whiley（n）<0.1*C

n=n+1;

end

m=1;

whiley（n）<0.9*C

m=m+1;

end

risetime=t（m）-t（n）

调节时间（setllingtime）可由while语句编程得到：

C=dcgain（G）;

i=length（t）;　　　

while（y（i）>0.98*C）&（y（i）<1.02*C）

i=i-1;

end

setllingtime=t（i）

用向量长度函数length（）可求得t序列的长度，将其设定为变量i的上限值。

例已知二阶系统传递函数为:

利用下面的stepanalysis.m程序可得到阶跃响应如图4-8及性能指标数据。

G=zpk（[],[-1+3*i,-1-3*i],3）;

%计算最大峰值时间和它对应的超调量

C=dcgain（G）

[y,t]=step（G）;

plot（t,y）

grid

[Y,k]=max（y）;

timeopeak=t（k）%取得最大峰值时间

percentovershoot=100*（Y-C）/C%计算超调量

%计算上升时间

n=1;

whiley（n）

n=n+1;

end

risetime=t（n）

%计算稳态响应时间

i=length（t）;

while（y（i）>0.98*C）&（y（i）<1.02*C）

i=i-1;

end

settingtime=t（i）

运行后的响应图如图4-8,命令窗口中显示的结果为:

C=　　　　　　　　　　　　　　timetopeak=

0.3000　　　　　　　　　　　　　　1.0491

percentovershoot=　　　　　　　risetime=

35.0914　　　　　　　　　　　　　　0.6626

setllingtime=

3.5337

三、实验内容

1．观察函数step（）和impulse（）的调用格式，假设系统的传递函数模型为

可以用几种方法绘制出系统的阶跃响应和脉冲响应曲线？

试分别绘制。

2．对典型二阶系统

1）分别绘出

，

分别取0,0.25,0.5,1.0和2.0时的单位阶跃响应曲线，分析参数

对系统的影响。

2）绘制出当

=0.25,

分别取1,2,4,6时单位阶跃响应曲线，分析参数

对系统的影响。

3.单位负反馈系统的开环传递函数为

，编写程序求系统动态性能指标：

超调量、调节时间、上升时间、峰值时间。

4.参考教材P120，学习使用图形工具LTIViewer，对上题3中的系统求取动态性能指标，并与编程所得结果进行比较。

选做：

5.已知单位反馈系统开环传函为：

试绘制k=1.4,2.3,3.5时单位阶跃响应曲线（在同一坐标下）。

6.单位反馈开环零极点增益模型为：

，

试绘制该系统单位阶跃响应曲线和单位斜坡响应曲线，并计算单位阶跃响应的稳态误差（或画出误差曲线）。