陕西省汉中中学届高三数学上学期第二次月考试题理.docx
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陕西省汉中中学届高三数学上学期第二次月考试题理
陕西省汉中中学2020届高三数学上学期第二次月考试题理
1•答题前，考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填
写清楚，并贴好条形码•请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目；
2•每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号•在试题卷上作答无效.
第I卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
2
1•已知集合A
_
XX2x30,BXXa，若AB，则实数a的取值范围是
（）
A.1,B.1,
C.3,
D.3,
2•下列说法止确的是（）
A.命题P
:
“xR,sinx
cosx
B.“X
1”是“x23x
20”
C.命题“
xR,使得x2
2x3
2”，贝UP是真命题
的必要不充分条件
2
0”的否定是：
“xR,x2x30
XOA-，已知点A沿单位圆按逆时
D.“a1
3.若向量m
”是“fxlogaxa0,a1在0,
上为增函数”的充要条件
（）
2k
1,k与向量n
4,1共线，则k
A4
1
1
4
A.
B
C
D.
9
2
2
9
4.已知函数f
X
cos
2x（
为常数）为奇函数，
那么cos
（）
A.0
B
丄
C.2
D.
1
2
2
5.如图，点A为单位圆上一点,
34
的值为（
针方向旋转h到点B-,-，则sin2
55
A.
2
B.
1C.
2,
D.
1,
uuir
1umr
uuu
uuu
2UUUT
&
在
ABC中，
AN
NC,
P是BN上的一点，
若AP
mAB
-AC
，则实数m的值
2
9
为
（
）
A.
3
B
1C
1
D
1
3
9
9.
将函数fx
2sin
2x-
的图像向右平移
（0）
个单位长度，再将图像上每一
4
上单调递增，则k的取值范围是（）
点的横坐标缩短到原来的
1
丄倍（纵坐标不变），所得图像关于直线
2
X对称，则
最小值为（）
的
1bf21.2，cf，则a,b,c的大小关系为（）
2
A.acbB.bcaC.bacD.abc
2x1
11.已知函数fxxR满足fx4fx，若函数y与yfX图像的
x
10
交点为,X2,y2,L,为。
，％。
，贝V人y（）
i1
ab
D，使fx在a,b上的值域为,-
22
则称fx为“倍缩函数”.若函数
12.设函数的定义域为D,若满足条件：
存在a,b
x
x=et为“倍缩函数”，则实数t的取值范围
1In2
1In2
1In2
AR
D
A・,B・
C・
2
2
2，
1In2
J
2
第n卷（非选择题共
90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）
13.11x22xdx•
0
14.设函数fxAsinxxR,0,0,的部分图像如下图所示，则函
2
数fx的表达式是
15.如图是抛物线形拱桥，当水面在I时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后,
水面宽为米.
①若a=0，则fx的最大值为；②若fx无最大值，则实数a的取值范围是
三、解答题：
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
已知函数fxsin2x3sinxcosx0的最小正周期为n.
（i）求3的值;
18.（本题满分12分）
在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知cos2A3cosBC1.
（I）求角A的大小；
（n）若ABC的面积S53，b5，求sinBsinC的值.
19.（本题满分12分）
一缉私艇发现在北偏东二亍方向，距离12nmile的海面上有一走私船正以10nmile/h的
速度沿东偏南1罗方向逃窜•缉私艇的速度为14nmile/h,若要在最短的时间内追上该
走私船，缉私艇应沿北偏东45°的方向去追，求追及所需的时间和角的正弦值•
20.（本题满分12分）
xa3
已知函数fXlnx（其中aR）,且曲线yfx在点1,f1处的切
4x2
1
线垂直于直线y-x.
2
（I）求a的值及此时的切线方程；
（n）求函数fx的单调区间与极值.
21.（本题满分12分）
已知函数fxx2ax3.
（I）当a4时，求函数fx的零点；
（n）若函数fx对任意实数xR都有f1xf1x成立，求函数fx的解析式；
（川）若函数fx在区间1,1上的最小值为3，求实数制的值.
22.（本题满分12分）
已知函数f（x）Inx,h（x）ax（aR）.
（I）函数f（x）与h（x）的图像无公共点，求实数a的取值范围；
1m
（n）是否存在实数m，使得对任意的x-,，都有函数yf（x）的图像在
2x
函数
x
g（x）—的图像的下方？
若存在，请求出最大整数m的值；若不存在，请说理由•（参
x
考数据：
In20.6931,In31.0986,.e1.6487,3e1.3956）.
2
2cosA+3cosA-20，
汉中中学2020届高三第二次模拟考试数学（理科）参考答案
、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
A
B
A
D
C
D
B
D
B
、填空题
13•—1；
4；
14.
fXsin2x-；15.26；
16.①2
②（-s.
-1）
三、解答题
17.
解：
（I）
由于fX
sin（2x
-）丄
62
2
，所以二
2
解
得
3=1
4分
（□）由（
I）得
fx
二sin（2x
—）
1>-,
6"
2
因
为
0
x
2
所
以
3
—
2x—
7
6分
6
6
6
所以当2x
或
2x=
7
，即x
0或x
2
时，函数f
x有最小值
6
6
6
6
3
0；..
•…8分
当2x
=—
即x
—
时，
函
数fX有
最大
值
62
3
3
…1
0分
2
18.
解
:
（
I）
由
cos2A
3cosBC1
得
3分
1
因为0A
解得cosA或cosA2（舍去）
2
A6分
3
（n：
）由
1
SbcsinA
1
bc
^bc
5.3，得
bc
20.
2
2
2
4
又
b
5
所
以
c4.
…8分
由
余
弦定理
得
2a
.22
bc
2bccosA
25
16
2021,
故
a.21
又由正
弦定理得
sinBsinC
bsinACsinA^sin2Aaaa
12分
19.
解：
设AC分别表示缉私艇、走私船的位置，设经过
x小时后
在B处追上走私船，
则有
AB14x,BC
10x,
ACB120°,
所以
22
14x122
2
10x
240xcos120°，
解得
3（舍）
4
，贝VAB28,BC
20.
11分
由正弦定理得：
sin20sin120丄!
.
2814
答：
所需时间2小时,
且sin
14
分
20.
解：
（I）由于fx
1a
4x2
1
1，所以f
11a1
3a,
x
4
4
1
由于yf（x）在点1,f
（1）处的切线垂直于直线y=2X,
12
则3a
4
5
2,解得a=4.
此时fx
x53
-——Inx一
44x2
切点为1,0
，所以切线方程为
2x
y2
0.
（□）由（
x
I）知fX
5
lnx
3（x
4
4x
2
令f（x）
0，解得x5或x
1
（舍），
••••6分
0）,则f
x
2
x4x5
4x2'
……8
x
0,5
5
5,+
fx
0
fx
递减
极小值ln5
递增
分
则x,fx,fx的变化情况如下表,
分
10
（n）由于fixfix对任意实数xR恒成立，
所以函数fx图像的对称轴为x1，即a1，解得a2.
所以函数yf（x）的减区间为0,5，增区间为
5,+.
12
函数y
f（x）的极小值为
ln5，无极大值•
分
21.
解：
（I）
当时，fx
2
x4x3x
1x3,
由fX
0可得x1或x
3，所以函数fx
的零点为和.
3分
2
故函数的解析式为
2
fxx2x3.6分
（川）由题意得函数fXx2ax3图像的对称轴为x-.
2
①
当a
2
1
即a
2时，fx在
1,1上单调递减，
所
以
fx
min
f
1a43
解得a7.
符合题
意.
••…8分
②
当1
a
2
1
即
2a2时，
a
fx在1,上单调递减，在
2
旦，1上单
2
调递增，
所以
fx
f
a
43a2
3，解得a26，与2a
2矛盾，舍
min
2
4
去.…10分
a
③当1，即a2时，fx在1,1上单调递增,
2
所以1
fxi
min
f14a3，
解得a7.
符合题意.
所
以
a7
或
a7.
••••12分
22.解：
（
I）函数
f（x）与h（x）无公共点，
等价于方程
lnx亠s
a在（0,x
）无解•
令
lnx
1
lnx
t（x）
，则
t'（x）
2,令
t'（x）0,
得
xx
X
（0,e）
e
（e,）
t'（X）
+
0
一
t（X）
递增
1
极大值一
e
递减
xe
2分
因为X
1
tmaxt（e）—
e是
唯
一的
极大
'4分
值点，
故
e
Inx
故要使方程
a在（0,
）无解，
当且仅当a
1、
时成立，
X
e
故实
数
a
的取
值
范围
为
1
（,）.6分
e
（n）假设存在实数
m满足题意，则不等式
X
me
Inx
XX
对X
6
）恒成立
即
X
me
xInx在
1
xQ）
上
恒
成
立.
•…7分
令r（x）
exxIn
x，贝yr'（x）exInx
1,
令（x）
exInx
1
1，贝U'（x）ex-
X
因为'（
x）在（右
1
）上单调递增，'（-）
1
e"20,
'
（1）
e1
0，且
'（X）的
11xi
图像在（一,1）上连续，所以存在x0（一,1），使得'（x0）0，即e00,则
22X。
XoInXo.
…9分
1
所以当X（2，Xo）时，（X）0,贝y（x）单调递减,
当X（X0,）时，（X）0，则（X）单调递增.
则（x）的最小值为（x0）
eX0InX0
1X0112X0—110,
X0X0
所以r'（x）
0恒成立，即
1
r（X）在区间（?
）内单调递增.
1
故mr（）
111
e2—In—
e21In2
1.99525,
2
22
2
所以存在实数
m满足题意,
且最大整数
m
的值为1.
•-12
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