公务员招聘考试行测数学运算必考题型速解技巧全解29九类问题.docx

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公务员招聘考试行测数学运算必考题型速解技巧全解29九类问题

29.九类问题

有一些题型构不成一种复杂多变的数学运算类型，但是在考试中也有一定的出现频率，我们将这样的题型中最常见的九类挑选出来，供大家参考。

1.阶梯缴费问题

解答阶梯缴费问题，最重要的是找到费率变化的临界点。

解决此类问题可先假设按一种缴费标准缴费，所得出的缴费总额与实际缴费总额一定会产生差额，这个差额是由于两种缴费标准存在差别引起的，以此入手解决问题。

【例题1】（2007年湖北第31题）某市居民生活用电每月标准用电量的基本价格为每度0.60元，若每月用电量超过标准用电量，超出部分按基本价格的80%收费，某户九月份用电100度，共交电费57.6元，则该市每月标准用电量为：

　　A.60度B.70度C.80度D.90度

【例题解析】若100度电均按每度0.60元收费，则应缴纳60元电费。

由于超出标准部分按80%收费，每度电少收取了0.60×（1-80%）=0.12元。

实际少缴纳电费总数为60-57.6=2.4元，则超出部分电量为2.4÷0.12=20度，故标准用电量为100-20=80度。

故应选择C选项。

【例题2】（2008年国考第53题）为节约用水，某市决定用水收费实行超额超收，月标准用水量以内每吨2.5元。

超过标准的部分加倍收费。

某用户某月用水15吨，交水费62.5元。

若该用户下月用水12吨，则应交水费多少钱？

A.42.5元B.47.5元C.50元D.55元

【例题解析】根据已知，超额用水的超额部分每吨应多交2.5元。

用水15吨须交纳基本水费为2.5×15=37.5元，超额费用为62.5-37.5=25元.则超额吨数为25÷2.5=10吨，即标准吨数为15-10=5吨，用水12吨应交费为2.5×5+5×（12-5）=47.5元。

故应选择B选项。

2.等差数列问题

等差数列问题是一类较简单的题型，只要灵活掌握等差数列公式，大多题目即可轻松解出。

需要注意的是，结合平均数的概念解题也是解答等差数列问题时常用的方法。

项数为N（N为奇数）的等差数列中，前N项的平均数即为此数列的中间项，因此，项数为奇数的等差数列，SN=平均数×项数。

项数为N（N为偶数），公差为d的等差数列中，前N项的平均数±

即为该数列中最中间两项的数值。

【例题3】（2008年国考第48题）{an}是一个等差数列，a3+a7-a10=8，a11-a4=4,则数列前13项之和是

A.32B.36C.156D.182

【例题解析】此题中a11-a10=d，a3-a4=-d，故（a3+a7-a10）+（a11-a4）=12

a7=12

a7为此等差数列中前13项的中间项，故S13=13a7=156

故应选择C选项。

【例题4】10个连续偶数的和是从1开始的10个连续奇数和的2.5倍，其中最大的偶数是多少？

A.34B.38C.40D.42

【例题解析】根据等差数列公式，从1开始的10个奇数的和是（1+19）×10÷2=100，

故这10个连续偶数和应为100×2.5=250，这10个连续偶数构成一个公差为2的等差数列，且平均值是250÷10=25，故此偶数列第五项为24，第六项为26，则最大项第十项为26+4d=34。

故应选择A。

3.过河问题

过河问题实际上是一类与我们日常生活息息相关的简单问题，与生活中的用“车载人”问题无异。

只要排除“划船者”的干扰，只考虑实际乘客数，过河问题往往就能迎刃而解。

需要提醒考生特别注意的是最后一次渡河，往往只需渡河不需返回，计算单程即可。

【例题5】（2006年北京市第24题）49名探险队员过一条小河，只有一条可乘7人的橡皮船，过一次河需3分钟。

全体队员渡到河对岸需要多少分钟？

（）

A.54B.48C.45D.39

【例题解析】49人全部渡河其中一人负责划船，剩下48人每次过6人，可以得（49-1）÷6=8，共需8次渡河。

由于除最后一次渡河外，其余七次渡河均需返程，故共需7×（3+3）+3=45分钟。

故应选择C选项。

【例题6】（2007年国家考试第54题）32名学生需要到河对岸去野营，只有一条船，每次最多载4人（其中需1人划船）。

往返一次需5分钟。

如果9时整开始渡河，9时17分时，至少有（）人还在等待渡河。

A.16B.17C.19D.22

【例题解析】每次可载4人，其中1人划船，事实上每次渡河可载3人。

9点开始，9点17分实际上第四次已经开出，故至少还有32-（3×4+1）=19人在等待渡河。

故应选择C选项。

4.青蛙跳井问题

青蛙跳井问题是一类简单的数学运算问题，可以把“青蛙跳井”的整个过程看做两步，第一步是“边跳边下滑”，第二步是“一跃而出”。

青蛙跳出井口所用的总天数为两个步骤所用天数的总和。

“一跃而出”的过程为一天，所跳距离为青蛙的跳上速度；“边跳边下滑”的过程，青蛙跳井的速度为跳上速度-下滑速度，所跳距离为井深-跳上速度，所用天数为（井深-跳上速度）÷（跳上速度-跳下速度）。

在这里需要特别提醒考生注意，“天数”一般向上取整。

【例题7】（2010年湖北省第59题）有一只青蛙在井底，每天上爬10米，又下滑6米，这口井深20米，这只青蛙爬出井口至少需要多少天？

A.2B.3C.4D.5

【例题解析】青蛙每天上爬10米又下滑6米，则青蛙实际每天上爬10-6=4米，20÷4=5，但是由于最后一天上爬10米已经超过井口，不会下滑了，所以需要4天。

5.空瓶换酒问题

空瓶换酒问题是指在很多促销活动中，N个空瓶可以换回一瓶新酒。

此类问题的解题关键就在于换回的酒，仍可作为空瓶再次兑换。

即N个空瓶=1瓶酒=1个空瓶+1酒（不含瓶）

实际上换酒的过程就相当于N-1个空瓶=1酒（不含瓶）

掌握了这解题一关键，就可以剔除每次“换酒”后仍余“空瓶”的干扰，使“空瓶换酒”问题迎刃而解了。

【例题8】（2006国考第33题）如果4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝矿泉水多少瓶？

A.3瓶B.4瓶C.5瓶D.6瓶

【例题解析】因为4个空瓶可以换一瓶水，相当于3个瓶子换一份水。

所以15个瓶子最多可以换5份水。

故应选择C选项。

【例题9】（2009年浙江第50题）“红星”啤酒开展“7个空瓶换一瓶啤酒”的优惠促销活动。

现在已知张先生在活动促销期间共喝掉347瓶“红星”啤酒，问张先生最少用钱买了多少瓶啤酒？

（）

A.296瓶B.298瓶C.300瓶D.302瓶

【例题解析】“7个空瓶换一瓶啤酒”后，又可得到一个空瓶，实际相当于6个空瓶换一瓶啤酒。

实际喝的啤酒瓶数-购买的啤酒瓶数=购买的啤酒瓶数÷6，设张先生购买了x瓶啤酒，可列方程，347-x=x÷6解得x≈298瓶。

故应选择B。

6.称羊问题

为了说明称羊问题，我们举个例子：

有五头羊，两两称重分别得到重量由重到轻依次为A1A2……A10，假设五头羊的重量从重到轻分别为B1B2……B5，那么必然有A1=B1+B2，A2=B1+B3，同理，A10=B5+B4，A9=B5+B3……这样，根据题目给出条件，很多类似问题就可推理解答了。

【例题10】（2010年湖北省第50题）小赵、小王、小李和小陈四人，其中每三个人的岁数之和分别为65、68、62、75其中年龄最小的是多少岁？

A.15B.16C.17D.18

【例题解析】设四人年龄从大到小依次为A、B、C、D

则有A+B+C+=75，B+C+D=62，A+B+D=68，A+C+D=65

将四个“年龄和”相加可得

3（A+B+C+D）=65+68+62+75=270

则A+B+C+D=90

故D的年龄为90-75=15岁，故应选择A选项。

【例题11】食堂买来5只羊，每次取出两只合称重量，得到10种不同重量（单位：

千克）47、50、51、52、53、54、55、57、58、59。

最重一只是多少千克？

A.25B.28C.30D.32

【例题解析】方法一：

为了下面叙述方便，我们依重量称5只羊为A、B、C、D、E，最轻的组合肯定是D+E=47，倒数第二轻的组合肯定是E+C=50，这样就有50-47=C-E=3，同理，最重的组合肯定是A+B=59，第二重的组合是A+C=58，这样就有59-58=B-C=1，又由于C-D=3，所以B-D=3+1=4，又由于A+B=59，所以A+D=55，这样59=A+B，58=A+C，所以第三重的组合是B+C=57，又由于B-C=1，所以B=29，又由于A+B=59，所以最重的A=30。

故应选择C选项。

方法二：

依重量从重到轻的顺序，我们分别将5只羊称作为A、B、C、D、E，5只羊两两称重，称得10个重量，将十个重量相加，

则有4×（A+B+C+D+E）=47+50+51+52+53+54+55+57+58+59=536则A+B+C+D+E=134

因为最轻的组合为D+E=47，第三重的组合为B+C=57，

则最重的羊A=（A+B+C+D+E）-（B+C）-（D+E）=134-47-57=30。

故应选择C选项。

【例题12】一盒巧克力和一瓶蜂蜜18元，一包泡泡糖和一袋香肠11元。

一包泡泡糖和一瓶蜂蜜14元。

一袋香肠比一盒巧克力贵1元。

这4样食品中最贵的是什么？

A.泡泡糖B.巧克力C.香肠D.蜂蜜

【例题解析】巧克力+蜂蜜=18泡泡糖+香肠=11泡泡糖+蜂蜜=14

即（巧克力+蜂蜜+泡泡糖+香肠）－（泡泡糖+蜂蜜）=香肠+巧克力=15

又根据已知我们知道香肠比巧克力贵1元，因此可算得巧克力为7元香肠为8元。

进一步求得蜂蜜=11元，泡泡糖=3元，因此最贵的为蜂蜜

故应选择D选项。

【例题13】（2010年4.25联考第14题）A、B、C、D、E是5个不同的整数，两两相加的和共有8个不同的数值，分别是17、25、28、31、34、39、42、45，则这5个数中能被6整除的有几个？

A.0B.1C.2D.3

【例题解析】方法一：

设五个整数从小到大依次是A、B、C、D、E，五个数两两相加的和应有10个，分别为

A+B,A+C,A+D,A+E,B+C,B+D,B+E,C+D,C+E,D+E；

由于“两两相加的和共有8个不同的数值”，故定有两个数值重复出现过。

分析可知，A+B和A+C分别是数值最小的两个数，即A+B=17,A+C=25；

C+E和D+E分别是数值最大的两个数，即C+E=42,D+E=45。

并且这四个数字是不能重复的，即重复出现的数字一定是在28、31、34、39

五个整数两两相加的和一定满足能被4整除（每个数都加了四遍）。

而题目中两两相加得出的8个不同数值的和为261，除以4余数为1，那么重复出现的两个数的和除以4一定余3。

28、31、34、39中只有28+31=59与28+39=67两个数除以4，余3，故数字28一定是重复出现的数字。

由于28是第三大的数字，可推知B+C=A+D=28,联立A+C=25，可知B-A=3,再联立A+B=17，可知A=7,B=10。

同法可依次解得C=18,D=21,E=24。

五个数字中能被6整除的有两个，故选择C选项。

方法二：

五个数字两两相加，得出的八个和中有5个是奇数，有3个是偶数，可以推论这五个数字中奇数个数必为两个或者三个。

（如果只有一个奇数，那么加和最多只能出现4个奇数；如果有4个奇数，那么加和最多只能出现4个奇数；如果有5个奇数，那么加和不可能出现奇数）即五个数字中要么有三个奇数，要么有三个偶数。

只有同奇同偶数字相加时，和才能为偶数，故28、34、42三个数必为三个同奇同偶数字两两相加的和。

设三个同奇同偶数字分别A、B、C，则有2×（A+B+C）=28+34+42，即A+B+C=52，从而可以分别解出三个同奇同偶数字分别为52-28=24，52-34=18，52-42=10。

三个数字中有两个数字能被6整除，剩余两数定为奇数，定不能被6整除，故能被6整除的数字共有2个。

故应选择C选项。

方法三：

设五个整数从小到大依次是A、B、C、D、E，五个数两两相加的和应有10个，分别为

A+B,A+C,A+D,A+E,B+C,B+D,B+E,C+D,C+E,D+E；

分析可知，A+B和A+C分别是数值最小的两个数，即A+B=17,A+C=25；

C+E和D+E分别是数值最大的两个数，即C+E=42,D+E=45。

数值28可能为A+D的和，也可能为B+C的和；

数值39可能为B+E的和，也可能为C+D的和。

可推断5个数的奇偶性，

当A为奇数时，奇偶性如下：

当A为偶数时，奇偶性如下

ABCDEABCDE

奇偶偶奇偶偶奇奇偶奇

经观察可知，无论何种情况B与E必定同奇或同偶，即B+E≠39。

故C+D=39。

联立C+E=42,D+E=45,C+D=39，易求E=24，

从而可分别求出A=7,B=10,C=18,D=21,E=24

有C、E两个值可被6整除，故应选择C选项。

7.植树问题

植树问题的核心问题就在于植树数与植树间隔数间的关系。

通常情况下，植树数=植树间隔数+1；在环形路上植树，植树数=植树间隔数；此外，还应注意题目的叙述方式，分辨是在路的单边植树还是在路的两侧植树。

【例题14】（2006年国家考试一卷47题）为了把2008年北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。

某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的（不相交）两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗（）。

A.8500棵B.12500棵C.12596棵D.13000棵

【例题解析】路的总长是不变的，设有x棵树

4（x+2754-4）=5（x-396-4）

解得x=130000棵

答案为D

【思路点拨】在两条路的两旁栽树，则需要栽不相交的四排树。

故栽树的总数量要比树间产生的间隔数多4棵。

【例题15】（2006北京市第20题）李大爷在马路边散步，路边均匀地栽着一行树，李大爷从第一棵树走到第13棵树用了6分钟，李大爷又往前走了几棵树后就往回走，当他回到第五棵树时共用了30分钟（包括之前的6分钟），李大爷散步到第几棵树时开始往回走？

（）

A.第32棵B.第33棵C.第37棵D.第38棵

【例题解析】李大爷从第一棵树走到第13棵树共走了12个树的间隔，用时6分钟，因此他每分钟走2个树的间隔。

他走回第五棵树时用了30分钟，则当他回到第13棵树时，用了30-（13-5）÷2=26分钟。

则李大爷从第13棵树算起，到回到第13棵树，共走了26-6=20分钟。

则其散步到第13+20×10÷10=33棵树时，开始往回走。

故应选择B选项。

【例题16】（2010年4.25联考第11题）有一排长椅总共有65个座位，其中已经有些座位上有人就坐。

现在又有一人准备找一个位置就坐，但是此人发现，无论怎么选择座位，都会与已经就坐的人相邻。

问原来至少已经有多少人就坐？

A.13B.17C.22D.33

【例题解析】据题意，只有当首尾各空出一个座位，其余位置每两人相隔2个座位（每

3个位置上有一个人）时，才能使无论怎么选择座位，都会与已经就坐的人相邻。

故

至少有（65-2）÷3+1=22人，故选择C选项。

8.剪贴问题

将长绳切割分段，则所切段数=切割次数+1。

将长绳折N折后切断，则切割后有2N+1段绳子。

将N段绳子粘接成一段绳子，则有N-1段接头。

【例题17】（2007年湖南第38题）把一根圆木锯成3段需要8分钟，如果把同样的圆木锯成9段需要多少分钟?

A.24分钟B.27分钟C.32分钟D.36分钟

【例题解析】将一根圆木锯成3段需要锯3-1=2下，锯每下需8÷2=4分钟；则将同样的圆木锯成9段需要锯9-1=8下，则需要4×8=32分钟。

故应选择C选项。

【例题18】（2008年江苏第14题）一根长200米的绳子对折三次后从中间剪断，最后绳子的段数是（）

A.8B.9C.11D.16

【例题解析】将一根绳子对折三次后从中间剪断，则切割后有23+1=9段绳子。

故应选择B选项。

【例题19】（2006年北京16题）用10张同样长的纸条粘接成一条长61厘米的纸条，如果每个接头处都重叠1厘米，那么每条纸条长多少厘米？

（）

　　A.6B.6.5C.7D.7.5

【例题解析】每个接头重叠1cm，10张连在一起共9个接头（61+9）÷10=7

答案为C

9.因数分解

因数分解与其说是一种题目类型不如说是一种解题方法，是很多题目在解题过程中的关键环节，也可以运用在很多题型的题目中进行验算。

有一些问题看似缺少条件，实际上由于各个数量都是由整数组成，只要将总数因数分解，就可以寻求出问题的答案。

例如有一张老照片，是一些同龄的中年人毕业几十年后在校庆上的合影，我们只知道这些人年龄总和是378岁，问合影上有几个人。

由于将376分解因数等于47×2×2×2，根据常识所以照片上的人数只可能为8个47岁的中年人。

【例题20】（2006年北京13题）将1-9九个自然数分成三组，每组三个数，第一组三个数之积是48。

第二组三个数之积是45，三组数字中三个数之和最大是多少？

（）

　　A.15B.17C.18D.20

【例题解析】第二组三数之积是45，45=1×3×3×5由于1—9九个自然数不能重复出现，所以第二组三个数只能是1、5、9和为15。

第一组三数之积是48，48=1×2×2×2×2×3，则第一组可以是2、3、8也可以是2、4、6和分别为13、12，当第一组为2、4、6时有第三组为3、7、8的和为最大值18，故应选择C选项。

【例题21】二十几个小朋友围成一圈，按顺时针方向一圈一圈地连续报数。

如果报2和200的是同一个人，那么共有（）个小朋友。

A.22B.24C.27D.28

【例题解析】2与200的差是198，198=2×3×3×11，答案中只有22同时含有因数2和11，可以整除198，故应选择A选项。

【例题22】（2007年国家考试第48题）把144张卡片平均分成若干盒，每盒在10张到40张之间，则共有（）种不同的分法。

A．4B.5C．6D．7

【例题解析】144=2×2×2×2×3×3可以分解出来的因数中大于10小于40的有12、16、18、24、36，所以共有5种分法，12×12、16×9、18×8、24×6、36×4。

故应选择B选项。

【例题23】甲、乙、丙三人先后登楼，甲每分钟登5级楼梯，乙每分钟登6级楼梯，丙每分钟登7级楼梯，他们各走了几分钟（整数）后，停下来，离顶层甲还有10级，乙还有16级，丙还有28级。

这幢楼每层有14级楼梯，每层高度2.8米，那么，这幢楼高度至少有多少米？

（）

A.16.8米B.18.2米C.14.0米D.19.6米

【例题解析】甲还差10级楼梯，即甲还需登楼梯2分钟可到达楼顶，丙还差28级楼梯，即丙需要4分钟行程就可以到达楼顶。

同时可推得楼梯级数是5和7的公倍数，也就是35的整数倍，乙还差16级楼梯即可到达楼顶，也就是说乙登楼梯2分钟后还差4级楼梯才能达到楼顶，即楼梯总级数被6除余4，符合上述条件的最小整数为70,楼高为2.8×6=16.8米，故应选择A选项。

【重点提示】本题主要注意到达顶层，而不是顶层的露台，所以，在求高度的时间还要再加一层。

【例题24】樊政编写一部教材共1508页，每小时编写两页。

樊政每天固定拿出n小时编写这部教材。

一直到2011年元旦晚上，樊政已经写了864页了。

为了能够在2011年春节前写完，樊政决定从元旦之后的某一天起每天再多用两小时，这样正好能2011年2月17日写完。

问樊政从哪一天起每天多加了两小时写作？

A.1月28日B.1月29日C.1月30日D.2月1日

【例题解析】元旦之后到2月17日共有31-1+17=47天，设樊政未增加写作时间的日数为x,那么增加写作时间的日数为47-x。

设未增加写作时间之前每天写作a页，则增加写作时间后每天写作a+4页。

元旦后总写作页数为1508-864=644

可列出方程式ax+（a+4）（47-x）=644

整理得47a=4（114+x）因为a,x都是整数，所以a必须为4的倍数，且x不大于47，所以a只能为4的3倍。

解得a=12,x=27。

即元旦后樊政又经过了27天后开始增加写作时间。

即29日开始增加写作时间。

故应选择B选项。