手拉手模型 北京市中考数学一轮辅导专题复习.docx

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手拉手模型北京市中考数学一轮辅导专题复习

手拉手模型

【课前诊断】

1．（5分）如图，已知△ABC和△ADE是等边三角形.

（1）求证：

BD＝CE；

（2）求∠DPC的大小．

2.（5分）如图，已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°.

求证：

△AEC∽△ADB

改错区：

【知识梳理】

考点自查表

考点

知识难度

是否掌握

①等腰三角形的性质

☆

□

②全等三角形的判定

☆☆

□

③全等三角形的性质

☆☆☆

□

④相似三角形的判定

☆☆☆

□

一、手拉手全等模型

1．储备知识

（1）等腰三角形的性质：

“等边对等角”；

（2）等腰三角形的判定：

“等角对等边”；

（3）等边三角形的性质：

三边相等，各内角为60°；

（4）正方形的性质：

四边相等，各内角为90°.

2．模型特点

“共顶点，等线段，夹角相等”

如图，已知△ABE和△ACD为等腰三角形，且AB＝AE，AC＝AD，∠DAC＝∠BAE＝α.

3．结论

（1）BD＝；

（2）∠DOC＝；

（3）OA平分.

二、手拉手模型的逆向运用

已知一个等腰三角形，通过证明一对全等三角形，推出另一个三角形与已知三角形是共顶点等顶角的等腰三角形.

三、手拉手相似模型

1．储备知识

（1）相似三角形的判定定理：

两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似；

（2）比例的性质：

若

，则

.

2．模型特点

“共顶点，成比例线段，夹角相等”

如图，已知

，∠BAE＝∠CAD.

3．结论

（1）△ABE∽；

（2）△ABC∽.

四、构造手拉手全等模型

题目本身没有手拉手模型，需要我们去构造手拉手模型，再通过证明全等来解决问题；

关键：

关注共顶点的等线段以及从这个顶点出发的其他线段.

【典型例题】

【例题1】如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1）AE与DC的夹角为60°；

（2）AE与DC的交点设为H，BH平分∠AHC．

【练习1】如图，以锐角△CDE的边CD、DE为边长向外分别作正方形ABCD和DEFG，连接AE和CG，交于点H，CG与DE交于点K．

（1）求证：

AE＝CG；

（2）求证：

AE⊥CG．

【例题2】如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，∠ADE＝∠AED＝45°，∠DAE＝90°，AD＝AE．解答下列问题：

（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°．

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CE、BD之间的位置关系为　　，数量关系为　　．（不用证明）

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．

试探究：

当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C、E重合除外）？

画出相应的图形．

【练习2】如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．如果AB＝AC，∠BAC＝90°．

解答下列问题：

（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段CF、BD之间的位置关系为　　，数量关系为　　．

（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（要求写出证明过程）

【例题3】如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，点E、F分别在直线AB、AC上运动，且始终保持AE＝CF．

（1）如图①，若点E、F分别在线段AB，AC上，求证：

DE＝DF且DE⊥DF；

（2）如图②，若点E、F分别在线段AB，CA的延长线上，

（1）中的结论是否依然成立？

说明理由．

【练习3】在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．

（1）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图1），求∠BDG的度数；

（2）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图2），直接写出∠BDG的度数．

【例题4】如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是线段AB上的一点（不与A、B重合）．过点B作BE⊥CD，垂足为E．将线段CE绕点C顺时针旋转90°，得到线段CF，连结EF．设∠BCE度数为α．

（1）①补全图形．②试用含α的代数式表示∠CDA．

（2）若

，求α的大小．

（3）直接写出线段AB、BE、CF之间的数量关系．

【练习4】如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，连接BD，CE．

（1）判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论；

（2）若AB＝2，AD＝2

，∠BAC＝105°，∠CAD＝30°．

①BD的长为　　；

②点P，Q分别为BC，DE的中点，连接PQ，写出求PQ长的思路．

【例题5】已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC边上的一点．

（1）以点C为旋转中心，将△ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；

（2）延长AD交BE于点F，求证：

AF⊥BE；

（3）若AC＝

，BF＝1，连接CF，则CF的长度为　　．

【练习5】正方形ABCD中，将边AB所在直线绕点A逆时针旋转一个角度α得到直线AM，过点C作

CE⊥AM，垂足为E，连接BE．

（1）当0°＜α＜45°时，设AM交BC于点F，

①如图1，若α＝35°，则∠BCE＝　　°；

②如图2，用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明；

（2）当45°＜α＜90°时（如图3），请直接用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系．

【小试牛刀】

1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．

（1）请根据题意补全图1；

（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；

（3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°，AB＝2，

AD＝1时，补全图形，直接写出PB的长．

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．

（1）∠BAE的度数是否为定值？

若是，求出∠BAE的度数；若不是，说明理由．

（2）直接写出DE的最小值．

【易错点总结】

【巩固练习】

1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点E为线段AB上一动点（不与点A，B重合），连接CE，将∠ACE的两边CE，CA分别绕点C顺时针旋转90°，得到射线CE′，CA′，过点A作AB的垂线AD，分别交射线CE′，CA′于点F，G．

（1）依题意补全图形；

（2）若∠ACE＝α，求∠AFC的大小（用含α的式子表示）；

（3）用等式表示线段AE，AF与BC之间的数量关系，并证明．

2．△ACB中，∠C＝90°，以点A为中心，分别将线段AB，AC逆时针旋转60°得到线段AD，AE，连接DE，延长DE交CB于点F．

（1）如图1，若∠B＝30°，∠CFE的度数为　　；

（2）如图2，当30°＜∠B＜60°时，

①依题意补全图2；

②猜想CF与AC的数量关系，并加以证明．

3．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2

，以点B为圆心，

为半径作圆．点P为⊙B上的动点，连接PC，作P'C⊥PC，使点P'落在直线BC的上方，且满足P'C：

PC＝

，连接BP，AP'．

（1）求∠BAC的度数，并证明△AP'C∽△BPC；

（2）若点P在AB上时，

①在图2中画出△AP′C；

②连接BP'，求BP'的长；

（3）点P在运动的过程中，BP'是否有最大值或最小值？

若有，请直接写出BP'取得最大值或最小值时

∠PBC的度数；若没有，请说明理由．

4．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC．

（1）如图1，△ABC的角平分线BD，CE交于点Q，请判断“QB＝

QA”是否正确：

　　（填“是”或“否”）；

（2）点P是△ABC所在平面内的一点，连接PA，PB，且PB＝

PA．

①如图2，点P在△ABC内，∠ABP＝30°，求∠PAB的大小；

②如图3，点P在△ABC外，连接PC，设∠APC＝α，∠BPC＝β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．