3集合间的基本运算.docx

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3集合间的基本运算

3集合的基本运算

一、学习目标

1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题．4.了解全集的意义和它的记法．理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.5.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题．

二、知识梳理

1．并集和交集的概念及其表示

类别

概念

自然语言

符号语言

图形语言

并集

由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B（读作“A并B”）

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

交集

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B（读作“A交B”）

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

2.并集与交集的运算性质

并集的运算性质

交集的运算性质

A∪B＝B∪A

A∩B＝B∩A

A∪A＝A

A∩A＝A

A∪∅＝A

A∩∅＝∅

A⊆B⇔A∪B＝B

A⊆B⇔A∩B＝A

3．全集

（1）定义：

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．

（2）记法：

全集通常记作U.

4．补集

文字语言

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA

符号语言

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

图形语言

5.补集的性质

∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U（∁UA）＝A.

三、典型例题

知识点一　集合并集的简单运算

例1　

（1）设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于（　　）

A．{3,4,5,6,7,8}B．{5,8}

C．{3,5,7,8}D．{4,5,6,8}

（2）已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于（　　）

A．{x|－1≤x＜3}B．{x|－1≤x≤4}

C．{x|x≤4}D．{x|x≥－1}

答案　

（1）A　

（2）C

解析　

（1）由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．

（2）在数轴上表示两个集合，如图．

规律方法　解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．

跟踪演练1　

（1）已知集合A＝{x|（x－1）（x＋2）＝0}；B＝{x|（x＋2）（x－3）＝0}，则集合A∪B是（　　）

A．{－1,2,3}B．{－1，－2,3}

C．{1，－2,3}D．{1，－2，－3}

（2）若集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，则M∪N＝________.

答案　

（1）C　

（2）{x|x＜－5，或x＞－3}

解析　

（1）∵A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，

∴A∪B＝{1，－2,3}．

（2）将－3＜x≤5，x＜－5或x＞5在数轴上表示出来．

则M∪N＝{x|x＜－5，或x＞－3}．

知识点二　集合交集的简单运算

例2　

（1）已知集合A＝{0,2,4,6}，B＝{2,4,8,16}，则A∩B等于（　　）

A．{2}B．{4}

C．{0,2,4,6,8,16}D．{2,4}

（2）设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于（　　）

A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}

C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}

答案　

（1）D　

（2）A

解析　

（1）观察集合A，B，可得集合A，B的全部公共元素是2,4，所以A∩B＝{2,4}．

（2）在数轴上表示出集合A与B，如下图．

则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．

规律方法　求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似．

跟踪演练2　已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥

}，求A∩B，A∪B.

解　∵A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥

}，

把集合A与B表示在数轴上，如图．

∴A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x≤0，或x≥

}

＝{x|－1＜x≤0，或

≤x≤3}；

A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x≤0或x≥

}＝R.

知识点三　已知集合交集、并集求参数

例3　已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．

解　由A∩B＝∅，

（1）若A＝∅，有2a＞a＋3，∴a＞3.

（2）若A≠∅，如下图：

∴

解得－

≤a≤2.

综上所述，a的取值范围是{a|－

≤a≤2，或a＞3}．

规律方法　1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解．若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结．

2．建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到，分类的标准取决于已知集合，最好是把端点值代入题目验证．

跟踪演练3　设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范围．

解　如下图所示，

由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.

知识点四　简单的补集运算

例4　

（1）设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁UA等于（　　）

A．{1,2}B．{3,4,5}

C．{1,2,3,4,5}D．∅

（2）若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁UA＝________.

答案　

（1）B　

（2）{x|x＜1}

解析　

（1）∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，

∴∁UA＝{3,4,5}．

（2）由补集的定义，结合数轴可得∁UA＝{x|x＜1}．

规律方法　1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．

2．解题时要注意使用补集的几个性质：

∁UU＝∅，∁U∅＝U，A∪（∁UA）＝U.

跟踪演练1　已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则∁UA＝________.

答案　{x|x＝－3，或x＞4}

解析　借助数轴得∁UA＝{x|x＝－3，或x＞4}．

知识点五　交集、并集、补集的综合运算

例5　

（1）已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U（A∪B）＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁UB等于（　　）

A．{3}B．{4}

C．{3,4}D．∅

（2）设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则（∁RS）∪T等于（　　）

A．{x|－2＜x≤1}B．{x|x≤－4}

C．{x|x≤1}D．{x|x≥1}

答案　

（1）A　

（2）C

解析　

（1）∵U＝{1,2,3,4}，∁U（A∪B）＝{4}，

∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，

∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．

又∁UB＝{3,4}，

∴A∩∁UB＝{3}．

（2）因为S＝{x|x＞－2}，所以∁RS＝{x|x≤－2}．

而T＝{x|－4≤x≤1}，

所以（∁RS）∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}

＝{x|x≤1}．

规律方法　1.集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算．

2．当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解．

跟踪演练2　设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R（A∪B）及（∁RA）∩B.

解　把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：

由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，

∴∁R（A∪B）＝{x|x≤2，或x≥10}．

∵∁RA＝{x|x＜3，或x≥7}，

∴（∁RA）∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}．

要点六　补集的综合应用

例6　已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1}，B＝{x|2a＜x＜a＋3}，且B⊆∁RA，求a的取值范围．

解　由题意得∁RA＝{x|x≥－1}．

（1）若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA.

（2）若B≠∅，则由B⊆∁RA，得2a≥－1且2a＜a＋3，

即－

≤a＜3.

综上可得a≥－

.

规律方法　1.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况；

2．不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．

跟踪演练3　已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x＜－1，或x＞0}，若A∩（∁RB）＝∅，求实数a的取值范围．

解　∵B＝{x|x＜－1，或x＞0}，

∴∁RB＝{x|－1≤x≤0}，

因而要使A∩（∁RB）＝∅，结合数轴分析（如图），

可得a≤－1.

四、课堂练习

1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于（　　）

A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}

C．{1,2}D．{0}

答案　A

解析　集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素1和2，因此，A∪B共含有5个元素．故选A.

2．设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．{2}B．{3}C．{－3,2}D．{－2,3}

答案　A

解析　注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}．

3．集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M等于（　　）

A．{1,2}B．{0,1,2}

C．{x|0≤x＜3}D．{x|0≤x≤3}

答案　B

解析　由已知得P＝{0,1,2}，M＝{x|－3≤x≤3}，故P∩M＝{0,1,2}．

4．已知集合A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－

＜x＜

}，则（　　）

A．A∩B＝∅B．A∪B＝R

C．B⊆AD．A⊆B

答案　B

解析　∵A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－

＜x＜

}，

∴A∩B＝{x|－

＜x＜0，或2＜x＜

}，A∪B＝R.故选B.

5．设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________．

答案　k≤6

解析　因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－

}，

且M∩N≠∅，所以－

≥－3⇒k≤6.

6．若全集M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，则∁MN等于（　　）

A．∅B．{1,3,5}

C．{2,4}D．{1,2,3,4,5}

答案　B

解析　∁MN＝{1,3,5}，所以选B.

7．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则B∩∁UA等于（　　）

A．{2}B．{3,4}

C．{1,4,5}D．{2,3,4,5}

答案　B

解析　∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，

∴∁UA＝{3,4,5}，

∴B∩∁UA＝{2,3,4}∩{3,4,5}＝{3,4}．

8．已知M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有（　　）

A．2个B．4个

C．6个D．8个

答案　B

解析　∵P＝{1,3}，∴子集有22＝4个．

9.已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为（　　）

A．{－1,2}B．{－1,0}

C．{0,1}D．{1,2}

答案　A

解析　图中阴影部分表示的集合为（∁UA）∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以（∁UA）∩B＝{－1,2}．

10．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁UA＝________.

答案　{x|0＜x＜1}

解析　∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，

∴∁UA＝{x|0＜x＜1}．

五、巩固训练

1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于（　　）

A．{x|x≥－1}B．{x|x≤2}

C．{x|0＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}

答案　A

解析　结合数轴得A∪B＝{x|x≥－1}．

2．已知集合M＝{x|（x－1）2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于（　　）

A．{0,1,2}B．{－1,0,1,2}

C．{－1,0,2,3}D．{0,1,2,3}

答案　A

解析　集合M＝{x|－1＜x＜3，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝{0,1,2}，故选A.

3．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N等于（　　）

A．{0}B．{0,2}

C．{－2.0}D．{－2,0,2}

答案　D

解析　集合M＝{0，－2}，N＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，选D.

4．设集合M＝{x|－3＜x＜2}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等于（　　）

A．{x|1≤x＜2}B．{x|1≤x≤2}

C．{x|2＜x≤3}D．{x|2≤x≤3}

答案　A

解析　∵M＝{x|－3＜x＜2}且N＝{x|1≤x≤3}，

∴M∩N＝{x|1≤x＜2}．

5．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是（　　）

A．t＜－3B．t≤－3

C．t＞3D．t≥3

答案　A

解析　B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t＜－3.

6．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，满足A∩B＝{2}，则实数a＝________.

答案　2

解析　∵A∩B＝{x|a≤x≤2}＝{2}，

∴a＝2.

7．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．

（1）求A∩B；

（2）若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．

解　

（1）∵B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．

（2）∵C＝{x|x＞－

}，B∪C＝C⇔B⊆C，

∴－

<2，∴a＞－4.

8．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为（　　）

A．0B．1C．2D．4

答案　D

解析　∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，

又A∪B＝{0,1,2,4,16}，

∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.

9已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠∅，若A∪B＝A，则（　　）

A．－3≤m≤4B．－3＜m＜4

C．2＜m＜4D．2＜m≤4

答案　D

解析　∵A∪B＝A，∴B⊆A.又B≠∅，

∴

即2＜m≤4.

10．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1＜x≤4}，C＝{x|－3＜x＜2}且集合A∩（B∪C）＝{x|a≤x≤b}，则a＝________，b＝________.

答案　－1　2

解析　∵B∪C＝{x|－3＜x≤4}，∴A（B∪C）．

∴A∩（B∪C）＝A，

由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}．

∴a＝－1，b＝2.

11．已知A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}．

（1）若A∩B≠A，求实数a的取值范围；

（2）若A∩B≠∅，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．

解　

（1）如图可得，在数轴上实数a在－2的右边，可得a≥－2；

（2）由于A∩B≠∅，且A∩B≠A，所以在数轴上，实数a在－2的右边且在4的左边，可得－2≤a＜4.

12．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．

解　∵A∪B＝A，∴B⊆A.

若B＝∅时，2a＞a＋3，即a＞3；

若B≠∅时，

解得－1≤a≤2，

综上所述，a的取值范围是{a|－1≤a≤2，或a＞3}．

13．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．

（1）A∩B＝∅；

（2）A⊆（A∩B）．

解　

（1）若A＝∅，则A∩B＝∅成立．

此时2a＋1＞3a－5，

即a＜6.

若A≠∅，如图所示，则

解得6≤a≤7.

综上，满足条件A∩B＝∅的实数a的取值范围是{a|a≤7}．

（2）因为A⊆（A∩B），且（A∩B）⊆A，

所以A∩B＝A，即A⊆B.

显然A＝∅满足条件，此时a＜6.

若A≠∅，如图所示，则

或

由

解得a∈∅；

由

解得a＞

.

综上，满足条件A⊆（A∩B）的实数a的取值范围是{a|a＜6，或a＞

}．

13．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U（A∪B）等于（　　）

A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3}D．{4}

答案　D

解析　∵A＝{1,2}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}，

∴∁U（A∪B）＝{4}．

14．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则（∁RA）∩B等于（　　）

A．{－2，－1}B．{－2}

C．{－1,0,1}D．{0,1}

答案　A

解析　因为集合A＝{x|x＞－1}，

所以∁RA＝{x|x≤－1}，

则（∁RA）∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}

＝{－2，－1}．

15．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩（∁UB）等于（　　）

A．{x|0≤x＜1}B．{x|0＜x≤1}

C．{x|x＜0}D．{x|x＞1}

答案　B

解析　∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩（∁UB）＝{x|0＜x≤1}．

16．设全集U是实数集R，M＝{x|x＜－2，或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为（　　）

A．{x|－2≤x＜1}B．{x|－2≤x≤3}

C．{x|x≤2，或x＞3}D．{x|－2≤x≤2}

答案　A

解析　阴影部分所表示的集合为∁U（M∪N）＝（∁UM）∩（∁UN）＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x＜1或x＞3}＝{x|－2≤x＜1}．故选A.

5．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁AB＝________.

答案　{x|0≤x＜2，或x＝5}

解析　如图：

由数轴可知：

∁AB＝{x|0≤x＜2，或x＝5}．

17．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁UA与∁UB的包含关系是________．

答案　∁UA∁UB

解析　∵∁UA＝{x|x＜0}，∁UB＝{y|y＜1}＝{x|x＜1}．

∴∁UA∁UB.

18．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝

，

（1）求A∩B；

（2）求（∁UB）∪P；

（3）求（A∩B）∩（∁UP）．

解　

（1）A∩B＝{x|－1＜x≤2}．

（2）∵∁UB＝{x|x≤－1，或x＞3}，

∴（∁UB）∪P＝

.

（3）∵∁UP＝

，

∴（A∩B）∩（∁UP）＝{x|－1＜x≤2}∩

＝{x|0＜x≤2}．

19．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪（∁RB）＝R，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≤1B．a＜1

C．a≥2D．a＞2

答案　C

解析　如图所示，若能保证并集为R，则只需实数a在数2的右边（含端点2），所以a≥2.

20．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（　　）

A．（M∩P）∩SB．（M∩P）∪S

C．（M∩P）∩（∁IS）D．（M∩P）∪（∁IS）

答案　C

解析　依题意，由题干图知，阴影部分对应的元素a具有性质a∈M，a∈P，a∈∁IS,所以阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩（∁IS），故选C.

21．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．

答案　12

解析　设两项运动都喜欢的人数为x，画出Venn图得到方程

15－x＋x＋10－x＋8＝30

⇒x＝3，

所以，喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12（人）．

22．已知A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}．

（1）当m＝1时，求A∪B；

（2）若B⊆∁RA，求实数m的取值范围．

解　

（1）m＝1，B＝{x|1≤x＜4}，

A∪B＝{x|－1＜x＜4}．

（2）∁RA＝{x|x≤－1，或x＞3}．

当B＝∅时，即m≥1＋3m得m≤－

，满足B⊆∁RA，

当B≠∅时，使B⊆∁RA成立，

则

或

解得m＞3.

综上可知，实数m的取值范围是

.

23．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}．

（1）若A⊆B，求a的取值范围；

（2）若全集U＝R，且A⊆（∁UB），求a的取值范围．

解　∵A＝{x|－4≤x≤－2}，B＝{x|x≥a}，

（1）由A⊆B，结合数轴（如图所示）

可知a的范围为a≤－4.

（2）∵U＝R，∴∁UB＝{x|x＜a}，要使A⊆∁UB，

须a＞－2.

24．若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

解　假设集合A中含有2个元素，即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，则

解得a＜

且a≠0，则a的取值范围是{a|a＜

，且a≠0}．

在全集U＝R中，集合{a|a＜

，且a≠0}的补集是{a|a≥

，或a＝0}，

所以满足题意的a的取值范围是{a|a≥

，或a＝0}．