3集合间的基本运算.docx

1、3集合间的基本运算3 集合的基本运算一、学习目标1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题4.了解全集的意义和它的记法理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.5.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题二、知识梳理1并集和交集的概念及其表示类别概念自然语言符号语言图形语言并集由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AB(读作“A并B”)ABx|xA，或xB交集由属于集

2、合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB(读作“A交B”)ABx|xA，且xB2.并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质ABBAABBAAAAAAAAAAABABBABABA3全集(1)定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(2)记法：全集通常记作U.4补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作U A符号语言U Ax|xU，且xA图形语言5.补集的性质UU，UU，U(U A)A.三、典型例题知识点一集合并集的简单运算例1(1)设集合M4,5,6,8，集合

3、N3,5,7,8，那么MN等于()A3,4,5,6,7,8 B5,8C3,5,7,8 D4,5,6,8(2)已知集合Px|x3，Qx|1x4，那么PQ等于()Ax|1x3 Bx|1x4Cx|x4 Dx|x1答案(1)A(2)C解析(1)由定义知MN3,4,5,6,7,8(2)在数轴上表示两个集合，如图规律方法解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示跟踪演练1(1)已知集合Ax|(x1)(x2)0；Bx|(

4、x2)(x3)0，则集合AB是()A1,2,3 B1，2,3C1，2,3 D1，2，3(2)若集合Mx|3x5，Nx|x5，或x5，则MN_.答案(1)C(2)x|x5，或x3解析(1)A1，2，B2,3，AB1，2,3(2)将3x5，x5或x5在数轴上表示出来则MNx|x5，或x3知识点二集合交集的简单运算例2(1)已知集合A0,2,4,6，B2,4,8,16，则AB等于()A2 B4C0,2,4,6,8,16 D2,4(2)设集合Ax|1x2，Bx|0x4，则AB等于()Ax|0x2 Bx|1x2Cx|0x4 Dx|1x4答案(1)D(2)A解析(1)观察集合A，B，可得集合A，B的全部公

5、共元素是2,4，所以AB2,4(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图则由交集的定义可得ABx|0x2规律方法求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似跟踪演练2已知集合Ax|1x3，Bx|x0，或x，求AB，AB.解Ax|1x3，Bx|x0，或x，把集合A与B表示在数轴上，如图ABx|1x3x|x0，或xx|1x0，或x3；ABx|1x3x|x0或xR.知识点三已知集合交集、并集求参数例3已知Ax|2axa3，Bx|x1，或x5，若AB，求实数a的取值范围解由AB，(1)若A，有2aa3，a3.(2)若A，如下图：解得a2.综上所述，a的取值范围是a|a2，或a3规律方

6、法1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结2建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到，分类的标准取决于已知集合，最好是把端点值代入题目验证跟踪演练3设集合Ax|1xa，Bx|1x3且ABx|1x3，求a的取值范围解如下图所示，由ABx|1x3知，1a3.知识点四简单的补集运算例4(1)设全集U1,2,3,4,5，集合A1,2，则U A等于()A1,2 B3,4,5C1,2,3,4,5 D(2)若全集UR，集合Ax|x1，则U A_.答案(1)B(2)x|x1解析(1)U1,2,3,4,5，A1,2，UA3,4,5(2)由补集的定义，

7、结合数轴可得U Ax|x1规律方法1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解2解题时要注意使用补集的几个性质：UU，UU，A(U A)U.跟踪演练1已知全集Ux|x3，集合Ax|3x4，则U A_.答案x|x3，或x4解析借助数轴得U Ax|x3，或x4知识点五交集、并集、补集的综合运算例5(1)已知集合A、B均为全集U1,2,3,4的子集，且U(AB)4，B1,2，则AUB等于()A3 B4C3,4 D(2)设集合Sx|x2，Tx|4x1，则(RS)T等于()Ax|2x1 Bx|x4Cx|x1 Dx|x1答案(1)A(2)C解析

8、(1)U1,2,3,4，U(AB)4，AB1,2,3又B1,2，3A1,2,3又UB3,4，AUB3(2)因为Sx|x2，所以RSx|x2而Tx|4x1，所以(RS)Tx|x2x|4x1x|x1规律方法1.集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算2当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解跟踪演练2设全集为R，Ax|3x7，Bx|2x10，求R(AB)及(RA)B.解把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，ABx|2x10

9、，R(AB)x|x2，或x10RAx|x3，或x7，(RA)Bx|2x3，或7x10要点六补集的综合应用例6已知全集UR，集合Ax|x1，Bx|2axa3，且BR A，求a的取值范围解由题意得RAx|x1(1)若B，则a32a，即a3，满足BRA.(2)若B，则由BRA，得2a1且2aa3，即a3.综上可得a.规律方法1.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况；2不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集跟踪演练3已知集合Ax|xa，Bx1，或x0，若A(RB)，求实数a的取值范围解Bx|x1，或x0，RBx|1x0

10、，因而要使A(RB)，结合数轴分析(如图)，可得a1.四、课堂练习1若集合A0,1,2,3，B1,2,4，则集合AB 等于()A0,1,2,3,4 B1,2,3,4C1,2 D0答案A解析集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素1和2，因此，AB共含有5个元素故选A.2设AxN|1x10，BxR|x2x60，则如图中阴影部分表示的集合为()A2 B3 C3,2 D2,3答案A解析注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，而直接解集合B中的方程可知B3,2，因此阴影部分显然表示的是AB23集合PxZ|0x3，MxR|x29，则PM等于()A1,2

11、 B0,1,2Cx|0x3 Dx|0x3答案B解析由已知得P0,1,2，Mx|3x3，故PM0,1,24已知集合Ax|x2，或x0，Bx|x，则()AAB BABRCBA DAB答案B解析Ax|x2，或x0，Bx|x，ABx|x0，或2x，ABR.故选B.5设集合Mx|3x7，Nx|2xk0，若MN，则实数k的取值范围为_答案k6解析因为Nx|2xk0x|x，且MN，所以3k6.6若全集M1,2,3,4,5，N2,4，则MN等于()A B1,3,5C2,4 D1,2,3,4,5答案B解析MN1,3,5，所以选B.7已知全集U1,2,3,4,5，集合A1,2，B2,3,4，则BUA等于()A2

12、B3,4C1,4,5 D2,3,4,5答案B解析U1,2,3,4,5，A1,2，UA3,4,5，BUA2,3,43,4,53,48已知M0,1,2,3,4，N1,3,5，PM N，则P的子集共有()A2个 B4个C6个 D8个答案B解析P1,3，子集有224个9.已知全集UZ，集合A0,1，B1,0,1,2，则图中阴影部分所表示的集合为()A1,2 B1,0C0,1 D1,2答案A解析图中阴影部分表示的集合为(UA)B，因为A0,1，B1,0,1,2，所以(UA)B1,210若全集UR，集合Ax|x1x|x0，则UA_.答案x|0x1解析Ax|x1x|x0，UAx|0x1五、巩固训练1已知集合

13、Ax|x0，Bx|1x2，则AB等于()Ax|x1 Bx|x2Cx|0x2 Dx|1x2答案A解析结合数轴得ABx|x12已知集合Mx|(x1)24，xR，N1,0,1,2,3，则MN等于()A0,1,2 B1,0,1,2C1,0,2,3 D0,1,2,3答案A解析集合Mx|1x3，xR，N1,0,1,2,3，则MN0,1,2，故选A.3设集合Mx|x22x0，xR，Nx|x22x0，xR，则MN等于()A0 B0,2C2.0 D2,0,2答案D解析集合M0，2，N0,2，故MN2,0,2，选D.4设集合Mx|3x2，Nx|1x3，则MN等于()Ax|1x2 Bx|1x2Cx|2x3 Dx|2

14、x3答案A解析Mx|3x2且Nx|1x3，MNx|1x25设Ax|3x3，By|yx2t若AB，则实数t的取值范围是()At3 Bt3Ct3 Dt3答案A解析By|yt，结合数轴可知t3.6若集合Ax|x2，Bx|xa，满足AB2，则实数a_.答案2解析ABx|ax22，a2.7已知集合Ax|1x3，Bx|2x4x2(1)求AB；(2)若集合Cx|2xa0，满足BCC，求实数a的取值范围解(1)Bx|x2，ABx|2x3(2)Cx|x，BCCBC，2，a4.8集合A0,2，a，B1，a2，若AB0,1,2,4,16，则a的值为()A0 B1 C2 D4答案D解析AB0,1,2，a，a2，又AB

15、0,1,2,4,16，a，a24,16，a4.9已知集合Ax|2x7，Bx|m1x2m1，且B，若ABA，则()A3m4 B3m4C2m4 D2m4答案D解析ABA，BA.又B，即2m4.10设集合Ax|1x2，Bx|1x4，Cx|3x2且集合A(BC)x|axb，则a_，b_.答案12解析BCx|3x4，A (BC)A(BC)A，由题意x|axbx|1x2a1，b2.11已知Ax|2x4，Bx|xa(1)若ABA，求实数a的取值范围；(2)若AB，且ABA，求实数a的取值范围解(1)如图可得，在数轴上实数a在2的右边，可得a2；(2)由于AB，且ABA，所以在数轴上，实数a在2的右边且在4的

16、左边，可得2a4.12已知集合Ax|2x5，Bx|2axa3，若ABA，求实数a的取值范围解ABA，BA.若B时，2aa3，即a3；若B时，解得1a2，综上所述，a的取值范围是a|1a2，或a313已知集合Ax|2a1x3a5，Bx|x1，或x16，分别根据下列条件求实数a的取值范围(1)AB；(2)A(AB)解(1)若A，则AB成立此时2a13a5，即a6.若A，如图所示，则解得6a7.综上，满足条件AB的实数a的取值范围是a|a7(2)因为A(AB)，且(AB)A，所以ABA，即AB.显然A满足条件，此时a6.若A，如图所示，则或由解得a；由解得a.综上，满足条件A(AB)的实数a的取值范

17、围是a|a6，或a13已知全集U1,2,3,4，集合A1,2，B2,3，则U(AB)等于()A1,3,4 B3,4 C3 D4答案D解析A1,2，B2,3，AB1,2,3，U(AB)414已知Ax|x10，B2，1,0,1，则(RA)B等于()A2，1 B2C1,0,1 D0,1答案A解析因为集合Ax|x1，所以RAx|x1，则(RA)Bx|x12，1,0,12，115设UR，Ax|x0，Bx|x1，则A(UB)等于()Ax|0x1 Bx|0x1Cx|x0 Dx|x1答案B解析UBx|x1，A(UB)x|0x116设全集U是实数集R，Mx|x2，或x2，Nx|1x3如图所示，则阴影部分所表示的

18、集合为()Ax|2x1 Bx|2x3Cx|x2，或x3 Dx|2x2答案A解析阴影部分所表示的集合为U(MN)(UM)(UN)x|2x2x|x1或x3x|2x1故选A.5已知集合Ax|0x5，Bx|2x5，则AB_.答案x|0x2，或x5解析如图：由数轴可知：ABx|0x2，或x517设全集UR，集合Ax|x0，By|y1，则UA与UB的包含关系是_答案UA UB解析UAx|x0，UBy|y1x|x1UA UB.18已知全集UR，Ax|4x2，Bx|1x3，P，(1)求AB；(2)求(UB)P；(3)求(AB)(UP)解(1)ABx|1x2(2)UBx|x1，或x3，(UB)P.(3)UP，(

19、AB)(UP)x|1x2x|0x219已知集合Ax|xa，Bx|1x2，且A(RB)R，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba1Ca2 Da2答案C解析如图所示，若能保证并集为R，则只需实数a在数2的右边(含端点2)，所以a2.20如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是()A(MP)S B(MP)SC(MP)(IS) D(MP)(IS)答案C解析依题意，由题干图知，阴影部分对应的元素a具有性质aM，aP，aIS, 所以阴影部分所表示的集合是(MP)(IS)，故选C.21某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动

20、但不喜爱乒乓球运动的人数为_答案12解析设两项运动都喜欢的人数为x，画出Venn图得到方程15xx10x830x3，所以，喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15312(人)22已知Ax|1x3，Bx|mx13m(1)当m1时，求AB；(2)若BRA，求实数m的取值范围解(1)m1，Bx|1x4，ABx|1x4(2)RAx|x1，或x3当B时，即m13m得m，满足BRA，当B时，使BRA成立，则或解得m3.综上可知，实数m的取值范围是.23已知集合Ax|4x2，集合Bx|xa0(1)若AB，求a的取值范围；(2)若全集UR，且A(UB)，求a的取值范围解Ax|4x2，Bx|xa，(1)由AB，结合数轴(如图所示)可知a的范围为a4.(2)UR，UBx|xa，要使AUB，须a2.24若集合Ax|ax23x20中至多有一个元素，求实数a的取值范围解假设集合A中含有2个元素，即ax23x20有两个不相等的实数根，则解得a且a0，则a的取值范围是a|a，且a0在全集UR中，集合a|a，且a0的补集是a|a，或a0，所以满足题意的a的取值范围是a|a，或a0