点的极坐标与直角坐标的互化 高中数学北师大版选修44同步配套教学案.docx

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点的极坐标与直角坐标的互化高中数学北师大版选修44同步配套教学案

§2

极_坐_标_系

2．1&2.2　极坐标系的概念　点的极坐标与直角坐标的互化

[对应学生用书P5]

1．极坐标系的概念

（1）极坐标系：

在平面内取一个定点O，叫作极点，自极点O引一条射线Ox，叫作极轴；选定一个单位长度和角的正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．

（2）点的极坐标：

对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长，用θ表示以Ox为始边，OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对（ρ，θ）就叫作点M的极坐标，记作M（ρ，θ）．

①特别地，当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值；

②点与极坐标的关系：

平面内一点的极坐标可以有无数对，当k∈Z时，（ρ，θ），（ρ，θ＋2kπ），（－ρ，θ＋（2k＋1）π）表示同一个点，如果规定ρ>0,0≤θ<2π或者－π<θ≤π，那么除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了．

2．点的极坐标与直角坐标的互化

（1）互化的前提条件：

①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；

②极轴与x轴的正半轴重合；

③两种坐标系取相同的长度单位．

（2）极坐标与直角坐标的互化：

①将点M的极坐标（ρ，θ）化为直角坐标（x，y）的关系式为.

②将点的直角坐标（x，y）化为极坐标（ρ，θ）的关系式为.

1．极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？

提示：

区别：

平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景，而极坐标以角和距离为背景．

联系：

二者都是平面坐标系，用来研究平面内点与距离等有关问题．

2．点M（ρ，θ）关于极轴、极点以及过极点且垂直于极轴的直线的对称点的坐标各为什么？

提示：

（ρ，2π－θ），（ρ，π＋θ），（ρ，π－θ）．

3．把直角坐标转化为极坐标时，表示方法唯一吗？

提示：

通常有不同的表示法．（极角相差2π的整数倍）

[对应学生用书P6]

由极坐标确定点的位置

[例1]　在极坐标系中，画出点A，B，C，D.

[思路点拨]　本题考查极坐标系以及极坐标的概念，同时考查数形结合思想，解答此题需要先建立极坐标系，再作出极角的终边，然后以极点O为圆心，极径为半径分别画弧，从而得到点的位置．

[精解详析]　在极坐标系中先作出线，再在线上截取|OA|＝1，这样可得到点A.同样可作出点B，C，D，如图所示．

由极坐标确定点的位置的步骤

（1）取定极点O；

（2）作方向为水平向右的射线Ox为极轴；

（3）以极点O为顶点，以极轴Ox为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox确定出极角的终边；

（4）以极点O为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置．

1．在极坐标系中，作出以下各点：

A（4,0），B，C，D；结合图形判断点B，D的位置是否具有对称性；并求出B，D关于极点的对称点的极坐标．（限定ρ≥0，θ∈[0,2π））

解：

如图，A，B，C，D四个点分别是唯一确定的．

由图形知B，D两点关于极轴对称，且B，D关于极点的对称点的极坐标分别为，.

化极坐标为直角坐标

[例2]　已知A，B，将A，B坐标化为直角坐标，并求A，B两点间的距离．

[思路点拨]　本题考查如何将极坐标化为直角坐标，解答此题需要利用互化公式先将极坐标化为直角坐标，再由两点间的距离公式得结果．

[精解详析]　将A，B由极坐标化为直角坐标，

对于点A，有x＝3cos＝，

y＝3sin＝－，∴A.

对于点B，有x＝1×cos＝－，y＝1×sin＝，

∴B（－，）．

∴|AB|＝

＝＝4.

1．将极坐标M（ρ，θ）化为直角坐标（x，y），只需根据公式：

即可得到；

2．利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的极坐标问题转化为熟悉的直角坐标问题求解．

本例中如何由极坐标直接求A，B两点间的距离？

解：

根据M（ρ1，θ1），N（ρ2，θ2），则由余弦定理得：

|MN|＝，

所以|AB|＝＝4.

化直角坐标为极坐标

[例3]　分别将下列点的直角坐标化为极坐标（ρ>0，0≤θ<2π）．

（1）（－1,1），

（2）（－，－1）．

[思路点拨]　本题考查如何将直角坐标化为极坐标，同时考查三角函数中由值求角问题，解答此题利用互化公式即可，但要注意点所在象限．

[精解详析]　

（1）∵ρ＝＝，

tanθ＝－1，θ∈[0,2π），

又点（－1,1）在第二象限，

∴θ＝.

∴直角坐标（－1,1）化为极坐标为.

（2）ρ＝＝2，

tanθ＝＝，θ∈[0,2π），

∵点（－，－1）在第三象限，

∴θ＝π.

∴直角坐标（－，－1）化为极坐标为.

将点的直角坐标（x，y）化为极坐标（ρ，θ）时，运用公式即可，在[0,2π）范围内，由tanθ＝（x≠0）求θ时，要根据直角坐标的符号特征，判断出点所在象限，如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ，k∈Z即可．

2．将下列各点由直角坐标化为极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标．

（1）（3，）；

（2）（－2，－2）．

解：

（1）ρ＝＝2，tanθ＝＝，

又点（3，）在第一象限，所以θ＝.

所以点（3，）的极坐标为2，.

（2）ρ＝＝4，

tanθ＝＝＝，

又点（－2，－2）在第三象限，所以θ＝.

所以点（－2，－2）的极坐标为.

本课时常考查极坐标的确定及点的直角坐标与极坐标的互化，特别是直角坐标化为极坐标常与三角知识交汇命题，更成为命题专家的新宠．

[考题印证]

点P的直角坐标为（1，－），则点P的极坐标为（　　）

A.　　　　　　B.

C.D.

[命题立意]　本题主要考查点的极坐标与直角坐标　的互化，同时还考查了三角知识及运算解题能力．

[自主尝试]

ρ＝＝2，tanθ＝＝－，

又点（1，－）在第四象限，所以OP与x轴所成的角为，故点P的一个极坐标为，排除A，B选项．又－π＋2π＝π，所以极坐标所表示的点在第二象限，故D不正确，而－＋2π＝π.

[答案]　C

[对应学生用书P8]

一、选择题

1．点P的直角坐标为（－，），那么它的极坐标可表示为（　　）

A.　　　　　　　　B.

C.D.

解析：

选B　ρ＝＝2，

tanθ＝＝－1，

∵点P在第二象限，

∴最小正角θ＝.

2．在极坐标系中与点A关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选B　与点A关于极轴所在直线的对称的点的极坐标可以表示为（k∈Z），这时只有选项B满足条件．

3．在极坐标系中，若等边△ABC的两个顶点是A，B，那么可能是顶点C的坐标的是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选B　如图，由题设，可知A，B两点关于极点O对称，即O是AB的中点．

又|AB|＝4，△ABC为正三角形，

∴|OC|＝2，∠AOC＝，点C的极角θ＝＋＝或＋＝，

即点C的极坐标为或.

4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M1（ρ1，θ1）与点M2（ρ2，θ2）的位置关系是（　　）

A．关于极轴所在直线对称

B．关于极点对称

C．关于过极点垂直于极轴的直线对称

D．两点重合

解析：

选A　因为点（ρ，θ）关于极轴所在直线对称的点为（－ρ，π－θ）．由此可知点（ρ1，θ1）和（ρ2，θ2）满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．

二、填空题

5．将极轴Ox绕极点顺时针方向旋转得到射线OP，在OP上取点M，使|OM|＝2，则ρ>0，θ∈[0,2π）时点M的极坐标为________，它关于极轴的对称点的极坐标为________（ρ>0，θ∈[0,2π））．

解析：

ρ＝|OM|＝2，

与OP终边相同的角为－＋2kπ（k∈Z）．

∵θ∈[0,2π），∴k＝1，θ＝.∴M.

∴M关于极轴的对称点为（2，）．

答案：

6．点A在条件：

（1）ρ>0，θ∈（－2π，0）下的极坐标是________；

（2）ρ<0，θ∈（2π，4π）下的极坐标是________．

解析：

（1）当ρ>0时，点A的极坐标形式为（k∈Z），

∵θ∈（－2π，0）．令k＝－1，点A的极坐标为，符合题意．

（2）当ρ<0时，的极坐标的一般形式是（k∈Z）．

∵θ∈（2π，4π），当k＝1时，点A的极坐标为，符合题意．

答案：

（2）

7．直线l过点A，B，则直线l与极轴所在直线的夹角等于________．

解析：

如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角（要注意夹角是个锐角），然后根据点A，B的位置分析夹角大小．

因为|AO|＝|BO|＝7，∠AOB＝－＝，

所以∠OAB＝＝.

所以∠ACO＝π－－＝.

答案：

8．已知两点的极坐标是A，B，则AB中点的一个极坐标是________．

解析：

画出示意图，A，B与极点O共线，

∴ρ＝（3－8）＝－，

θ＝.

故AB中点的一个极坐标为.

答案：

三、解答题

9．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线的焦点处，当此彗星离地球30万千米时，经过地球和彗星的直线与抛物线对称轴的夹角为30°，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标．

解：

如图所示，建立极坐标系，使极点O位于抛物线的焦点处，极轴Ox过抛物线的对称轴，由题设可得下列4种情形：

①当θ＝30°时，ρ＝30（万千米）；

②当θ＝150°时，ρ＝30（万千米）；

③当θ＝210°时，ρ＝30（万千米）；

④当θ＝330°时，ρ＝30（万千米）．

∴彗星此时的极坐标有4种情形：

（30,30°），（30,150°），（30,210°），（30,330°）．

10．在极坐标系中，点A和点B的极坐标分别为和（3,0），O为极点．

（1）求|AB|；

（2）求S△AOB.

解：

|AB|＝

＝

＝＝.

S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB

＝×2×3×sin

＝.

11．在极坐标系中，如果A，B为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标．

解：

法一：

对于A有ρ＝2，θ＝，

∴x＝ρcosθ＝2cos＝，

y＝ρsinθ＝2sin＝.

∴A（，）．

对于B有ρ＝2，θ＝π.

∴x＝2cos＝－，

y＝2sin＝－.

∴B（－，－）．

设C点的坐标为（x，y），由于△ABC为等边三角形，故有|AB|＝|BC|＝|AC|.

∴有（x＋）2＋（y＋）2＝（x－）2＋（y－）2

＝（＋）2＋（＋）2.

∴有

解之得或

∴C点的坐标为（，－）或（－，）．

∴ρ＝＝2，tanθ＝＝－1.

∴θ＝或θ＝.

∴点C的极坐标为或.

法二：

设C点的极坐标为（ρ，θ）（0≤θ<2π，ρ>0）．

则有|AB|＝|BC|＝|AC|.

∴

解之得或

∴点C的极坐标为，.