数学圆.docx
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数学圆
1、圆的定义：
平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
２、和圆相关的概念：
（1）、弦：
连结圆上任意两点的线段；（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）
（2）、直径：
经过圆心的弦；
（3）、弧：
圆上任意两点间的部分；（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）
（4）、半圆：
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
（5）、优弧：
大于半圆的弧，用三个大写字母表示；
（6）、劣弧：
小于半圆的弧，用两个大写字母表示；
（7）、弓形由弦及其所对的弧组成的图形；
（8）、等圆：
能够重合的两个圆；
（9）、等弧：
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧；
（10）、同心圆：
圆心相同，半径不相等的两个圆；
（11）、弦心距：
圆心到弦的距离。
3、垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
4、垂径定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
5、圆既是中心对称图形，又是轴对称图形。
将圆周绕圆心旋转１８０°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心，将圆周绕圆心旋转任意一角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性，是旋转对称的特例。
经圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴。
1．已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为________cm．
2．弦AB把圆分成1：
3两部分，则AB所对的劣弧等于___度，AB所对的优弧等于___度．
3.已知⊙O的半径为4，则垂直平分这条半径的弦长是（）
A、
B、
C、4D、
4．下列命题中，正确的个数是（）
⑴直径是弦，但弦不一定是直径⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆
⑶圆周角等于圆心角的一半⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧。
A．1个B．2个C．3个D．4个
5.圆的半径为3，则弦AB长度的取值范围是.
6、下列命题中，正确的命题是（）
A.平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦;
B.平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧;
C.在⊙O中，AB、CD是弦，若，则AB∥CD;
D.圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径.
7、如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16,那么线段OE的长为（）
A、10 B、8 C、6 D、4
8．在平面内到定点A的距离等于3
的点组成的图形是.
答案：
以A为圆心3
为半径的圆
9、如图，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。
10、如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（）A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
11、半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于（）
A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0
1、顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
推论1：
相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等。
推论2：
相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等。
3、圆心角定理：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
5、圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论1：
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧也一定相等。
推论2：
半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
6、如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆就叫做多边形的外接圆。
7、圆内接四边形的对角互补。
1、下列说法中，正确的是（）
A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等
C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等
2、一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________.
3.已知，如图，A、B、C为⊙O上的三点，∠OBA=50°，∠OBC=60°，则∠OAC=.
4、⊙O中，∠AOB＝∠84°，则弦AB所对的圆周角的度数为（）
A．42°B．138°C．69°D．42°或138°
5、答案：
D
5、如图，⊙O的直径CD垂直于弦EF，垂足为G，若∠EOD=40°,则∠CDF等于（）
A．80°B．70°C．40°D．20°
答
6、如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，
求证：
AB=CD。
7、下列说法正确的是（）
A.顶点在圆上的角是圆周角B.两边都和圆相交的角是圆周角
C.圆心角是圆周角的2倍D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
8、在⊙O中，同弦所对的圆周角（）
A.相等B.互补C.相等或互补D.都不对
9、如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数有（）
A.5对B.6对C.7对D.8对
10．如图，
内接于
，
，
，
为
的直径，
，那么
．
11、下列命题中正确的有（）个
（1）平分弦的直径垂直于弦
（2）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线
（3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半
（4）平面内三点确定一个圆
（5）三角形的外心到各个顶点的距离相等
A、1个B、2个C、3个D、4个
1、若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：
点P在圆外d>r；点P在圆上d=r；点P在圆内d（“”读作“等价于”，表示可以从符号“”的一端得到另一端）
2、若三角形的三个顶点在同一个圆上，那么这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
3、假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，则假设不正确，故原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
4、直线和圆的位置关系：
（1）、当直线与圆有两个公共点时，叫做这条直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线。
（2）、当有一个公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
（3）、当没有公共点时，叫做直线与圆相离。
5、若⊙O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则有：
直线l与圆相交dr。
6、切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线。
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径。
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
7、经过圆外一点作圆的切线，这个点到切点的长度叫做这点到圆的切线长。
8、切线长定理：
从圆外一点可以引出两条切线，它们的切线长相等，这个点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
9、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条边的角平分线的交点，叫做三角形的内心。
确定内切圆方法：
作出角平分线，以交点为圆心，以它到任意一边的距离为半径作圆即可。
10、确定圆的条件：
过一个点可以作无数个圆；过两个点可以作无数个圆，这些圆的圆心在连接这两个点的线段的垂直平分线上；过在同一条直线上的三个点不能作圆；过不在同一直线上的三个点可确定一个圆。
1．已知圆O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，过点P作圆的切线，那么切线长是________．
2．已知⊙O的半径为r，点O到直线l的距离为d，当d=r时，直线l与⊙O的位置关系是_____________．
3．已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）
A.相离B.相切C.相交D.相交或相离
4、如图，在
中，直角边
，
，点
，
分别是
，
的中点，以点
为圆心，
的长为半径画圆，则点
在圆A的_________，点
在圆A的_________．
5、在
中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？
相交？
相离？
6．如右图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，则∠BAC等于（）
A.70°B.35°C.20°D.10°
7．如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC=5，则⊙O的半径为（）
A.
B.
C.10D.5
8．如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（）
A.∠1=∠2B.PA=PBC.AB⊥OPD.
PC·PO
圆和圆的位置关系
1、如果两个圆没有公共点，就叫做这两个圆相离（如
（1）（5）（6））。
其中
（1）叫做外离，（5）（6）叫做内含，（6）中两圆同心是内含的一种特殊情形。
2、如果两个圆只有一个公共点，就叫做这两个圆相切（如
（2）（4））。
其中
（2）叫做外切，（4）叫做内切。
3、如果两个圆有两个公共点，就叫做这两个圆相交（如（3））。
4、若两个圆的半径分别为r1、r2（r1>r2），圆心距（两圆圆心的距离）为d，则
外离
d>r1+r2
内含
d外切
d=r1+r2
内切
d=r1-r2
相交
r1-r21、已知⊙O的半径为5cm，⊙O1的半径为3cm，两圆的圆心距为7cm，则它们的位置关系是（）
A.相交
B.外切C.相离D.内切
2、下列命题中正确的是（）
A.如果两条直线被第三条直线所截,那么内错角一定相等
B.如果一个四边形的对角线互相垂直,那么这个四边形一定是菱形
C.如果两个圆的圆心距等于它们的半径之和,那么这两个圆一定有三条公切线
D.如果两个等圆不相交,那么这两个等圆一定外离
3、已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和5，圆心距为3，则两圆的位置关系是（）
A.相交B.内含C.内切D.外切
4.若两圆外切，圆心距为8cm，一个圆的半径为3cm，则另一个圆的半径为__________cm.
5、已知两圆相交,小圆半径为6,大圆半径为8,那么这
两个圆的圆心距d的取值范围是（）
A.d>2B.d<14C.01、将一个圆分成n段相等的弧，再将弧的端点顺次连接，即可得到圆内接正n边形，这个圆就叫做正n边形的外接圆。
2、正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，其外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做中心角，中心到正多边形任意一边的距离叫做边心距。
3、正多边形都有内切圆和外接圆，这两个圆是同心圆（即垂直平分线、角平分线的交点）。
4、每一个正多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它还是中心对称图形。
1、已知正六边形的半径为3cm，则这个正六边形的周长为__________cm.
2、正多边形的一个中
心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于____
_______度.
3、圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比（）
A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化
4、正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为（）
A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.6∶4∶3
5、正
五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.
6、中心角是45°的正多边形的边数是__________.
7、若正n边形的一个外角是一个内角的
时，此时该正n边形有_________条对称轴.
8、同圆的内接正三角
形与内接正方形的边长的比是（）
A.
B.
C.
D.
9、正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为（）
A.
B.
C.
D.
10、已知△ABC的周长为20,△ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=_______.
弧长和扇形面积
1、n°的圆心角所对的弧长公式：
l=
2、由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
3、圆心角为n°的扇形面积公式：
S=
4、比较弧长公式和扇形面积公式，可以得到另一个扇形面积公式：
S=
lR（l为弧长）
5、连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
6、圆锥的侧面积公式：
S侧=
Cl=πrl，圆锥全面积公式：
S=πr2+πrl=πr（r+l）
1．半径为8cm的圆中，72°的圆心角所对的弧长为______；弧长为8cm的圆心角约为______．
2．半径为5cm的圆中，若扇形面积为
，则它的圆心角为______．若扇形面积为15πcm2，则它的圆心角为______．
3．若半径为6cm的圆中，扇形面积为9πcm2，则它的弧长为______．
4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）．
A．
B．
C．
D．
5．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积为（）．
A．
B．
C．
D．
6．粮仓顶部是圆锥形,这个圆锥的底面半径为2m,母线长为3m,为防雨需在仓顶部铺上油毡,这块油毡面积是（）
A．6m2 B．6πm2 C．12m2 D．12πm2
7．扇形的半径为6cm，面积为9
cm2，那么扇形的弧长为_____，扇形的圆心角度数为____
1、圆的定义：
平面内到定点的距离______定长的所有点组成的图形叫做圆。
2、垂径定理：
垂直于弦的直径______这条弦，并且平分弦所对的两条______。
3、垂径定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于______，并且平分弦所对的两条弧。
4、顶点在______的角叫做圆心角。
5、定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______，所对的弦也相等。
推论1：
相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角也______。
推论2：
相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也______。
6、顶点在______，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
7、圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角______，且都等于这条弧所对的圆心角的______。
推论1：
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧也一定相等。
推论2：
半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
8、若三角形的三个顶点在同一个圆上，那么这个圆叫做三角形的______，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的______。
9、直线和圆的位置关系：
（1）、当直线与圆有两个公共点时，叫做这条直线与圆______，这条直线叫做圆的割线。
（2）、当有一个公共点时，叫做直线与圆______，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
（3）、当没有公共点时，叫做直线与圆相离。
10、切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的______。
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径。
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过______。
11、经过圆外一点作圆的切线，这个点到切点的长度叫做这点到圆的切线长。
12、切线长定理：
从圆外一点可以引出两条切线，它们的切线长______，这个点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
13、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条边的角平分线的交点，叫做三角形的______。
14、如果两个圆没有公共点，就叫做这两个圆相离
15、如果两个圆只有一个公共点，就叫做这两个圆相切
16、如果两个圆有两个公共点，就叫做这两个圆______
17、正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的______，其外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做中心角，中心到正多边形任意一边的距离叫做边心距。
18、连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的______。
19、n°的圆心角所对的弧长公式：
l=
20、由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做______。
21、圆心角为n°的扇形面积公式：
S=
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