小学几何五大模型.docx
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小学几何五大模型
鸟头模型，是平面图形中常用的五个模型之一，其特点是通过边与面积的关系来解决问题
对于初学者来说，最重要的是理解什么是鸟头模型并熟记它的特征。
这个模
一、鸟头模型的相关知识
1.定义：
两个三角形中有一个角相等或互补（相加等于180度），这两个三角形就叫共角三角形。
型就叫鸟头模型。
其中存在的比例关系就叫做共角定理。
2.核心：
比例模型有：
SAADEADkAE
证明范聲三角滋齢氐
如*私肋EAD则有主竺竺51=+^,駐3露4*
泌MB®宀連提崩乘條
紐曲左皿ABEAD心AE仏AEEBAABCJibAC
nwS^ADEJDxM
即三宿規建廉縊;
三、鸟头模型的方法运用
鸟头模型解题四部曲：
第一步：
观察：
图中是否有鸟头模型
第二步：
构造：
鸟头模型
第三步：
假设：
线段长度或图形面积
第四步：
转化：
将假设的未知数转化到鸟头模型中计算
ABC的面
例1:
如图，已知AD:
BD=2:
3，AE:
EC=3:
1，三角形ADE的面积是6平方厘米，求三角形
积？
第一步：
标条件
第二步：
确定等角位置A
小夹边ADXAE（小夹边指的是：
小三角形夹着等角A的两边）
大夹边ABXAC
第三步：
利用鸟头模型结论
SAADESAABC小夹边乘积：
大夹边乘积=（2X3）:
（5X4）=6:
20=3:
10
3:
10的意思是：
三角形ADE的面积是3份，三角形ABC的面积是10份
第四步：
先除后乘算面积
三角形ADE的面积是6平方厘米，对应3份，6+3=2平方厘米/份；
所求三角形ABC的面积是10份，2X10=20平方厘米。
例2:
如图，已知BC:
CD=5:
2,AE:
EC=1:
1，三角形ABC的面积是20平方厘米，求三角形CDE
的面积？
A
第一步：
标条件
第二步：
确定补角位置C
小夹边CDXCE（小夹边指的是：
小三角形夹着补角C的两边）
大夹边CAXCB
第三步：
利用鸟头模型结论SACDESAABC小夹边乘积：
大夹边乘积=（2X1）:
（2X5）=2:
10=1:
5
1:
5的意思是：
三角形CDE的面积是1份，三角形ABC的面积是5份
第四步：
先除后乘算面积
三角形ABC的面积是20平方厘米，对应5份，20+5=4平方厘米/份;
所求三角形CDE的面积是1份，4X仁4平方厘米
比例模型版块威力最大且最难掌握的就是风筝模型！
年第占八
风筝模型命题很容易拉开难度，既可以出基础题，也可以作为爆难的华杯赛全国总决赛题目（2013
18届华杯赛全国总决赛笔试二试第4题），所以筝模型是各大杯赛命题老师非常喜欢考察的
知识
观察发现，可以用来算比值的都是这个角形！
所以应用风筝模型的时候，第一步是找叉叉。
命题老师最喜欢考的是标红的面积比，
观察能力。
“风筝的骨架”，而能算的面积都是骨架连起来之后构成的三
“风筝的骨架”，第二步是把骨架连起来，即先找叉叉，再包
因为这种大块的面积比较隐蔽，适合考察同学们在图形中的
Sy
AO
Sg
【题目】沙漏模型
如图，正方形肋QQ中筝弹寧分别是氏鬼即的中亂已顾訪驚面积为JU求三衙的面积是多少？
（已更
【小升初奥数专题】几何之五大模型
新完）
2015-12-1200:
00
几何五大模型
，、五大模型简介
（1）等积变换模型
1、等底等高的两个三角形面积相等;
、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如
3图②所示，S[sub]1[/sub]
、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，
4S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]
则可知直线AB平行于CD
例、如图，三角形的中点，求三角形
（2）鸟头（共角）定理模型
1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形;
2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
如图下图三角形ABC中，D、E分别是ABAC上
或ABAC延长线上的点
则有：
S[sub]△ABC[/sub]:
S[sub]△ADE[/sub]=（ABXAC）:
（ADXAE）
我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！
如图连接BE,根据等积变化模型知，S[sub]△ADE[/sub]:
△ABE[/su:
△CBE[/sub]=AE:
CE
S[sub]△ABE[/sub]=AD:
ABS[sub]b]S[sub]所以
△ABE[/sub]:
（S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub]）=AE:
AC
，因此S[sub]△ADE[/sub]:
S[sub]△ABC[/sub]=（S[sub]△ADE[/sub]:
S[sub]△ABE[/sub]）x（S[sub]△ABE[/sub]:
S[sub]△ABC[/sub]
例、如图在ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:
AD=5:
2,AE:
△ADE的面积为12平方厘米，求ABC的面积。
【详解】根据鸟头模型可知匸83^沾如=337嗪阿幽疵臨
Mak勵iwBw#
Ti
J
③梯形为博
例、如图，梯形
△BOC的面积分别为
ABCDAB与CD平行，对角线AC、BD交于点O,已知△AOB
25平方厘米、35平方厘米，求梯形
【详鮮、由样”拥蝶定薩的性质納龍址哥*堂ABiCD^sTiiBf跋■湖1扬茯■事浮空簸偸IfSg米第而匚应=也"35平方厘米，所以梯馭瞬的面积知25+雳8畢方厘来产公逡/XI
屯|fJJIJ二「”看
例、如图，四边形ABCD的对角线AACBD交于点0,如果三角形ABD的面积等于三
角形BCD面积的1/3，且A0=2D0=3求CO的长
DE这样的一对平行线!
BC平
E""-rn
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三
的对角线的比例关系。
（4）相似模型
1、相似三角形：
形状相同，大小不相等的两个三角形相似;
2、寻找相似模型的大前提是平行线：
平行于三角形一边的直线和其他两
边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质：
1相似三角形的一切对应线段（对应高、对应边）的比等于相似比;
2相似三角形周长的比等于相似比；
3
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有
行
例、如图，已知在平行四边形ABCD中,AB=16AD=10BE=4,那么FC的长度是多少?
［详解谭U嘩甘啣刑的性质知，0TWW新软由沙漏弟
邱泌禺jfUw
（5）燕尾模型
由燕尾模部分的形状像一只燕子的尾巴’所以在数学上把这样的几何图形叫
看一下它都有哪些性质:
S[su
b]S[
sub]
△ABG[/sub]:
S[sub]△ACG[/sub]=S[sub]S[sub]△CGE[/sub]=BE:
CE
△BGA[/sub]:
S[sub]△BGC[/sub]=S[sub]S[sub]△GCF[/sub]=AF:
CF
△BGE[/sub]:
△GAF[/sub]:
△AGC[/sub]:
S[sub]△BGC[/sub]=S[sub]S[suS[sub]△BGD[/sub]=AD:
BD
△AGD[/sub]:
b]
例、如图，E、D分别ACBC上，
在且
AEEC=2:
3，BD:
DC=1:
2，AD与BE交于F，四边点形
DFEC的面积等22平方厘米，求三于角形
【讦解1如團蘇连接吓构造燕尾模型廿根据燕尾鯉性质可知「
现嗟龜旗卑裁零險毅丄g衢神；修超巒3瓠务*■魅齋駆jiHl虧应i・・r語燼繼龍遵京加耀浦邀胡占瓯聯H®/加
二、五大模型经典例题详解
（1）等积变换模型
ABCD三条边的三等分点，如果正方形
例1、图中的E、F、G分别是正方形
的边长是12,那么阴影部分的面积是多少?
例2、如图所示，QE、P、M分别为直角梯形行，已知
【详解】把另外三个三等分点标岀之后」疋方形的3条边勺了相等的三瓯把点H和这些分点《正衣弼的顶点连诙1割同的三角形•同时我们把二日部计的标迟避再^临讣
（越咋三角形的底边都是正方形边长的三分超梦阴影的3个三舅形o遛」絆
根福等和变换模型可礼CD边上的阴影三角形的面积上等字號边上的阴吗癩写第饥4吟三蒔穗相離播边上I$亍争形相等.因此孚阴影面积是空白面积的Hfetr之一「即*
12X12-^3-43.
AD=5BC=7AE=5EB=
D
D
Q
LA/
J
8
P
连接CE*确郝由于DQ»ME平彳云
ABCD两边ABCD上的点，且DQCP、ME彼此平
P
【详解】如图所示，
=雜・4同理根据映亚磔丫赫如"比
S戈®fF
由于四Oabcd为直角梯形/爾以
=邛于那^3]--x5x5«-
■■*
角形PQN的面和詬空騙
（2）鸟头（共角）定理模型
例1、如图所示，平行四边形
ABCDBE=ABCF=2CBGD=3DCHA=4AD
ABCD与四边
平行四边形ABCD的面积为2,求平行四边形
/j
jFT®-
【详解】如图所示■连接袒"眄由干在△期嚴总團BE中爭ZABC
1
例2、如图所示，△
ABC的面积为1,BC=5BDAC=4ECDG=GS=SEAF=FG求厶FGS的面积
【详解】
先根据等积变换模型知,
=
£乂5£=as斗笑［誤；j怎勺
根据职却裁爵軀j
蛇btl
£所以躍却严鸥2所腔轎
SSM-BD询I
EgADDC1<44
&3Mfi賂SZ■；"J费
'10J為加」
（3）蝴蝶模型
例1、如图，正六边形面积为1,那么阴影部分面积为多少?
【详解】如图所示.连接阴畀四边形的录摘线.此时正六
的面和为1你根据正六边先的特殊性頂利
it
理•聲畴*三用形所占份数，蔚孵乍驴边形裱分成:
慕^^^;雷楼「卽腮詡基縫越g空錚轟
3块的面积分
例2、如图，长方形ABCD被CEDF分成四块，已知其中
别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC勺面积。
【详解】如图所示，连接DHCF.在梯形EDCF中鼻狠据梯形搠
黑知祜而SiKEfl=
播B玻輕演貳X®为F肖儻的电亀扇以興敗薊撷|欝塚建四边形BFI君中.由蝴蝶定理知，磁彗事缶:
％
心，翻..u
詡：
£平方湮匕1£-lw
|（4）相似模型
例1、如图，正方形的面积为1,E、F分别为ABBD的中点，GC=1/3FC,求阴影部分的面积。
【详解】如图所丽豪作阳垂直BC于点H.GI垂直BC于点L知丫CIPC陰cm：
奧因为卩基BB的中点.所以囲弧«BI；BC^刼Th&二肥旋謝以||礙®
竭S
鼻：
-rMK』
IW獗
例2、如图，长方形
AH=5
ABCDE为AD的中点，AF与BDBE分别交于G和H,OE垂直于AD,交AD于E点，交AF于O点，已知
【详解】輝桂形的性质知「翻平疗于謝再根据抄漏模型彌最因够躱血制中点豐灵1
命谢;威◎=;[•涪勲总91
;$■尊:
邈&住兔:
卜|0»-护
■2
利用相似三角形性廣可得t©劭
AG；DO-AB-OE=10:
3
A&=—xAF—（5+3）=4…2*»僭
11"
*卫1040
（5）燕尾模型
例1、如图，正方形ABCD的面积是
的中点，求四边形BGHF的面积。
现设S曲^=1份，根据燕尾模型知尸2钳舟
ABCD就是s（1+2+2F^<2=10（Wr四边形BGHF占
需幅鱸峡珥盘=1幌I平方厘米）
例2、如图，在△ABC中，BD=2DACE=2EBAF=2FC那么△ABC的面积是阴影△GHI面积的几倍?
例3、如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点积是1，求四边形CDMFl勺面积
D
G
E
【详解】如图＞SAlo根据燕屋槿型知.心澈
"加3妳珈所以務十茲s
Jisc°
m理瘵.--魁;”
BPAABC的面和是阴血虹IS埶的7條
同理可知.s^c&
E、F是BC的三等分点，若△
*所臥
ABC的面
LW1如葩6.dfi尾模型知，S®血—uB
所以Sg沖込曲即加血牍所以
BAfxBF
AC、E、B、D、F六个点，并且△OAB
1，求△
三、巩固练习
1、如图，在角MON勺两边上分别有
△ABC△BCD△CDE△DEF的面积都等于
DCF的面积。
2、如下图，ABCD为平行四边形，
厘米，求三角形CDF的面积
3、如下图，在三角形
DGFE面积占三角形
ABC中，BD=2ADAG=2CG*BE=EF=FC求四边形
ABC的几分之几？
BF
4、如图，四边形
CB=BFDC=CGHD=DA求四边形
5、边长为1的正方形ABCD中,BE=2ECFC=DF求三角形AGE的面积
6、如图，的面积为
一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形
23，求四边形EGFH勺面积。
\ILH母
G
H
ADG的面积为
11，三角形BCH
7、如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，
BC=120毫米，高AD=80毫米。
现在要把它加工成一个正方形零件，是正方形的
边在BC上其余两个顶点分别在ABAC上，这个正方形零件的边长是多少?
&如图，已知正方形
是AB边的中点，F是BC边的中点，求四边形
9、如图，正方形
米，E、F分别是ABBC的中点，AF与CE交于点G,求四边形
ABCD中,AB=3BEAD=3AF四边形AEOF的面BODQ的面积。
t
11
F；F平春
高知
ID
F边平行
嫌据同底等
•⑶
W
JJa：
Uip^"j
□TtX
却评方厘米
*鳥:
s旳八口
"臨剧118唱
d
为砂
.龈咋r；
■Liaa八空匕畑
■在三角形昨
•BO=2AD-A^2CG.BE=EP=FC,求四边形DGFE面
3v如下
积占三角形ABC的几分之几？
【详柯根据鸟头模型吟有’J七弓
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一L
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边形EFGH的面和是66平方米EA=AB
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*一n.
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4霞如图，
四边形ABCD的面札
DC=CG.HD=DA,求
VP
G
i^m》如图连接w点鸟头模型知
一_二、即吨应如謀2
■JL.L
a呼蠢］
连接AC同理可得.$站盯
畑10R靖辭即
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5>边长为1的正方形ABCD中.BE二2EGFODF,求三角形A亞的血和.
>-4■—.1•■■■■-■ifiBSiEi■-»j3bS-W^ZLIPWrJ*0~~j"°P■口li*
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Vg趣F
【详解】连接eF
＜娜噫輕貝■期
亍S胆仙=商秦型6由蝴蝶定理可衛购;毎:
细鼻加钿
■.….....=212
盂=镯綽L扌屉評扭绷|卿『肓备磔wee
-“「1-寥•血盘.“
\^aags=&L4S旷3迪翻活垃切斗孫鬲關隔須仞=〒岛£血&8二—
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氛如图.fK方形被一些直线分成了若干个"煤.已知争形ADG的面积为M.三角形冋的面和为困,求四边形EGFH的面积.
【详解】连接站显然四边形AD即和BCEF都是梯刑于是三角形E昭的面釈等予三角形阪的面积豪争嚴碗的面积關怕的面務b所以四边形EGFH]^Bw11+23z!
34丈八苕…
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J如图.三角形ABC是角三角形余料.BG120毫米「高AD=80毫妆现在要把它加工站b正方形零件.是正方形的»边在BC上鏑两个顶点分别
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冲有五个金字塔模型.我们刑用与已知边又关
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根据题意列魚煞塑.”“方礪麟熾48毫米”
JCflAB血｝ABf貫e
禮遲*即务羔占囂耐张麻
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8.如图，已拠E方形ABCD的面和为120平方屋米，氏杲AB边的中点，F是BC边的中点，彖巴i力形絶的面积。
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久如图.正方形ABCD的边烁12厘米.盂庐分别片扎収BC的中丸AF与CE
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