数字信号处理课程设计等波纹数字FIR低通滤波器讲解.docx
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数字信号处理课程设计等波纹数字FIR低通滤波器讲解
南华大学
数字信号处理课程设计
学院：
电气工程学院
学生姓名：
专业班级：
题目编号：
设计题目：
等波纹数字FIR低通滤波器
起止时间：
2012年12月26日至2013年1月13日
指导老师：
2013年1月13日
1．课程设计的内容和要求（包括原始数据、技术要求、工作要求等）：
1.设计内容：
根据自己在班里的学号10（最后两位）查表一得到一个四位数，0102，由该四位数索引表二确定待设计数字滤波器的类型：
等波纹FIR数字低通滤波器
2.滤波器的设计指标：
⑴通带截止频率
⑵过渡带宽度
⑶滚降
其中，
—你的学号的最后两位
3.滤波器的初始设计通过手工计算完成；
4.在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构对其性能指标的影响（至少选择两种以上合适的滤波器结构进行分析）；
5.在计算机辅助计算基础上分析滤波器参数的字长对其性能指标的影响；
6.以上各项要有理论分析和推导、原程序以及表示计算结果的图表；
7.课程设计结束时提交设计说明书。
2．对课程设计成果的要求〔包括图表（或实物）等硬件要求〕：
滤波器的初始设计通过手工计算完成；
在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构对其性能指标的影响（至少选择两种以上合适的滤波器结构进行分析）；
在计算机辅助计算基础上分析滤波器参数的字长对其性能指标的影响；
以上各项要有理论分析和推导、原程序以及表示计算结果的图表；
课程设计结束时提交设计说明书。
3．主要参考文献：
[1]高息全丁美玉.《数字信号处理》[M].西安：
西安电子科技大学出版社，2008.8
[2]陈怀琛.《数字信号处理教程——MATLAB释义与实现》[M].北京：
电子工业出版社，2004.12
[3]张德丰.《详解MATLAB数字信号处理》[M].北京：
电子工业出版社，2010.6
[4]飞思科技产品研发中心.《MATLAB7辅助信号处理技术与应用》[M].北京：
电子工业出版社，2005.3
4．课程设计工作进度计划：
序号
起迄日期
工作内容
1
2012.12.26-2013.12.31
接到题目，搜集资料
2
2012.12.31-2013.1.3
整理资料，构思设计方案
3
2013.1.3-2013.1.5
手工计算进行滤波器的初步设计
4
2013.1.5-2013.1.7
完善初步设计，学习Matlab软件操作
5
2013.1.8-2013.1.9
通过Matlab软件分析设计内容，逐步落实课题目标
6
2013.1.10-2013.1.13
上交课程设计，并做细节修改并完成设计
主指导教师
日期：
年月日
1.前言
数字滤波器（digitalfilter）是由数字乘法器、加法器和延时单元组成的一种装置，在通信、图像、语音、雷达等许多领域都有着十分广泛的应用。
在数字信号处理中，数字滤波占有极其重要的地位。
目前对数字滤波器的设计有多种方法。
其中Matlab软件已成为设计数字滤波器的强有力工具。
传统的数字滤波器设计过程复杂、计算工作量大、滤波特性调整困难，但利用Matlab信号处理工具箱可以快速有效地实现由软件组成的常规数字滤波器的设计、分析和仿真，极大地减轻了工作量，有利于滤波器设计的最优化。
2.数字滤波器的基本概念介绍
2.1滤波的涵义
a）将输入信号的某些频率成分或某个频带进行压缩、放大;
b）对信号进行检测;
c）对参数估计;
2.2数字滤波器的概述
所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。
下图给出了一个具有模拟输入信号和输出信号的实时数字滤波器的简化方框图。
这个带限模拟信号被周期地抽样，且转化成一系列数字X（n）（n=0,1,…）。
数字处理器依据滤波器的计算算法，执行滤波运算，把输入系列X（n）映射到输出系列Y（n）。
DAC把数字滤波后的输出转化成模拟值，这些模拟值接着被模拟滤波器平滑，并且消去不想要的高频分量。
一个具有模拟输入和输出信号的实时数字滤波器的简化方框图
数字滤波器在数字信号处理中具有非常重要的地位。
在许多应用中（例如数据压缩，生物医学信号处理、语音处理、图象处理、数据传输、数字音频、电话回声对消，等等），数字滤波器和模拟滤波器比数字滤波器的有优势更加明显。
2.3数字滤波器的实现方法
a）用软件在计算机上实现
b）用专用的数字信号处理芯片
c）用硬件
2.4.数字滤波器的可实现性
a）要求系统因果稳定，即所设计的系统极点全部集中在单位圆内。
b）要求系统的差分方程的系数或者系统函数的系数为实数，即系统的零极点必须共轭成对出现，或者是实数。
2.5数字滤波器的分类
数字滤波器可以分为经典滤波器和现代滤波器。
经典滤波器按照滤波特性可以分为数字高通、数字低通、数字带通、数字带阻等类型。
数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应长度分类可以分为无限长单位脉冲（IIR）和有限长单位脉冲（FIR）。
2.6FIR滤波器简介及其优点
2.6.1FIR滤波器即有限长单位脉冲响应滤波器，是数字信号处理中最基本的元件，它可以在保证任意幅频特性的同时具有严格的线性相频特性，同时其单位冲击响应是有限的，没有输入到输出的反馈，是稳定的系统。
因此，FIR滤波器在通信、图像、语音、雷达等许多领域都有着十分广泛的应用。
2.6.2FIR滤波器具有以下主要优点：
a）FIR滤波器具有准确的线性相位
b）FIR滤波器永远稳定
c）FIR滤波器设计方法一般是线性的
d）FIR滤波器在硬件上具有更高的运行效率
e）FIR滤波器启动传输时间只需要有限时间
3.等波纹最佳逼近法的原理说明
3.1等波纹最佳逼近法概述
等波纹最佳逼近法是一种优化设计法，它克服了窗函数设计法和频率采样法的缺点，使最大误差（即波纹的峰值）最小化，并在整个逼近频段上均匀分布。
用等波纹最佳逼近法设计的FIR数字滤波器的幅频响应在通带和阻带都是等波纹的，而且可以分别控制通带和阻带波纹幅度。
这就是等波纹的含义。
最佳逼近是指在滤波器长度给定的条件下，使加权误差波纹幅度最小化。
与窗函数设计法和频率采样法比较，由于这种设计法使滤波器的最大逼近误差均匀分布，所以设计的滤波器性能价格比最高。
阶数相同时，这种设计法使滤波器的最大逼近误差最小，即通带最大衰减最小，阻带最小衰减最大；指标相同时，这种设计法使滤波器阶数最低。
实现FIR数字滤波器的等波纹最佳逼近法的MATLAB信号处理工具函数为remez和remezord。
Remez函数采用数值分析中的remez多重交换迭代算法求解等波纹最佳逼近问题，求的满足等波纹最佳逼近准则的FIR数字滤波器的单位脉冲响应h（n）。
由于切比雪夫和雷米兹对解决该问题做出了贡献，所以又称之为切比雪夫逼近法和雷米兹逼近法。
3.2.等波纹最佳逼近法基本思想
用Hd（ω）表示希望逼近的幅度特性函数，要求设计线性相位FIR数字滤波器时,Hd（ω）必须满足线性相位约束条件。
用Hg（ω）表示实际设计的滤波器的幅度特性函数。
定义加权误差函数E（ω）为
E（ω）=W（ω）[Hd（ω）-Hg（ω）]
式中，W（ω）成为误差加权函数，用来控制不同频段（一般指通带和阻带）的逼近精度。
等波纹最佳逼近基于切比雪夫逼近，在通带和阻带以
的最大值最小化为准则，采用remez多重交换迭代算法求解滤波器系数h（n）。
所以W（ω）取值越大的频段，逼近精度越高，开始设计时应该根据精度要求确定W（ω），在Remez多重交换迭代过程中W（ω）是确知函数。
等波纹最佳逼近设计中，把数字频段分为“逼近区域”和“无关区域”。
逼近区域一般指通带和阻带，无关区域一般指过渡带。
设计过程中只考虑对逼近区域的最佳逼近。
应当注意，无关区域不能为零，即Hd（ω）不能是理想滤波特性。
利用等波纹最佳逼近准则设计线性相位FIR数字滤波器数字模型的建立及其求解算法的推导复杂，求解计算必须借助计算机，可借助MATLAB信号处理工具箱函数remeezord和remez，简单调用这两个函数就可以完成线性相位FIR数字滤波器的等波纹最佳逼近设计。
3.3等波纹滤波器的技术指标及其描述参数介绍
3.3.1滤波器的描述参数
一般情况下，用损耗参数ωp,αp,ωs,αs.描述在工程实际中，通常取ωp=π/2,αp=2dB,ωs=11π/20,αs=20dB.
但是在等波纹最佳逼近设计法求滤波器阶数N和误差加权函数W（ω）时，要求给出的滤波器通带和阻带的震荡波纹δ1和δ2。
这是等波纹法设计滤波器时常使用的描述方法。
两种参数的转换关系：
3.3.2matlab中的remez和remezord函数介绍
Remez函数实现线性相位FIR滤波器的等波纹最佳逼近设计。
调用格式为：
hn=remez（M，f，m，w）
Remez调用的参数（M，f，m，w）通常调用remezord函数计算，调用格式为：
（M，f0，m0，w）=remezord（f，m，rip，Fs）
其中，在低通滤波器设计时rip=[δ1,δ2]。
一手工计算完成等波纹FIR带通滤波器初始设计
1．设计要求
滤波器的设计指标要求为：
⑴通带截止频率：
⑵过渡带宽度：
⑶滚降：
其中
为学号的后两位，我的学号为20094470210，所以
=10
由此计算性能指标得：
通带截止频率:
=
=0.2442
；
阻带截止频率：
；
过渡带宽度：
；
滚降：
；
2．手工计算
设采样频率Fs=8000Hz，由公式
=Fs/2
ω可将截止频率的单位转换为Hz：
（1）通带截止频率：
；
（2）过度带宽度：
；
（3）阻带截止频率：
；
（4）通带最大衰减：
；
（5）阻带最小衰减：
；
再将其除以采样频率Fs转换为归一化频率：
通带截止频率：
0.1221
阻带截止频率：
0.1321
将
，
带入公式
ξ1=（
）/（
），ξ2=
中:
得ξ1=0.0575，ξ2=0.03548
由凯泽逼近n的公式:
n=
Δ
=
求得ωs-ωp=
Δ
=0.01,
；
3．在Matlab中利用REMEZ函数计算
程序如下：
>>Fs=8000;
>>f=[976.8,1056.8];
>>m=[1,0];
>>rp=1;rs=9;
>>dat1=（10^（rp/20）-1）/（10^（rp/20）+1）;
>>dat2=10^（-rs/20）;
>>[M,fo,mo,w]=remezord（f,m,rip,Fs）;
?
?
?
Undefinedfunctionorvariable'rip'.
>>rip=[dat1,dat2];
>>[M,fo,mo,w]=remezord（f,m,rip,Fs）;
>>M=M+1;
>>hn=remez（M,fo,mo,w）;
>>figure
（1）
>>
>>freqz（hn）;
>>
4.基于Matlab的幅频响应曲线
等波纹最佳逼近法设计的数字低通滤波器的幅频响应曲线
4.2使用FDA工具箱设计FIR低通滤波器
4.2.1简要介绍FDA工具箱：
FDATool（FilterDesign&AnalysisTool）是MATLAB信号处理工具箱里专用的滤波器设计分析工具，MATLAB6.0以上的版本还专门增加了滤波器设计工具箱（FilterDesignToolbox）。
FDATool可以设计几乎所有的常规滤波器，包括FIR和IIR的各种设计方法。
它操作简单，方便灵活。
FDATool界面总共分两大部分，一部分是DesignFilter，在界面的下半部，用来设置滤波器的设计参数；另一部分则是特性区，在界面的上半部分，用来显示滤波器的各种特性。
DesignFilter部分主要分为:
FilterType（滤波器类型）选项，包括Lowpass（低通）、Highpass（高通）、Bandpass（带通）、Bandstop（带阻）和特殊的FIR滤波器。
DesignMethod（设计方法）选项，包括IIR滤波器的Butterworth（巴特沃思）法、ChebyshevTypeⅠ（切比雪夫Ⅰ型）法、ChebyshevTypeⅡ（切比雪夫Ⅱ型）法、Elliptic（椭圆滤波器）法和FIR滤波器的Equiripple法、Least2Squares（最小乘方）法、Window（窗函数）法。
FilterOrder（滤波器阶数）选项,定义滤波器的阶数，包括SpecifyOrder（指定阶数）和MinimumOrder（最小阶数）。
在SpecifyOrder中填入所要设计的滤波器的阶数（N阶滤波器，SpecifyOrder=N-1），如果选择MinimumOrder，则MATLAB根据所选择的滤波器类型自动使用最小阶数。
FrenquencySpecifications选项，可以详细定义频带的各参数，包括采样频率fs和频带的截止频率。
它的具体选项由FilterType选项和DesignMethod选项决定，例如Bandpass（带通）滤波器需要定义Fstop1（下阻带截止频率）、Fpass1（通带下限截止频率）、Fpass2（通带上限截止频率）、Fstop2（上阻带截止频率），而Lowpass（低通）滤波器只需要定义Fstop1、Fpass1。
采用窗函数设计滤波器时，由于过渡带是由窗函数的类型和阶数所决定的，所以只需要定义通带截止频率，而不必定义阻带参数。
MagnitudeSpecifications选项，可以定义幅值衰减的情况。
例如设计带通滤波器时,可以定义Wstop1（频率Fstop1处的幅值衰减）、Wpass（通带范围内的幅值衰减）、Wstop2（频率Fstop2处的幅值衰减）。
当采用窗函数设计时，通带截止频率处的幅值衰减固定为6db，所以不必定义。
WindowSpecifications选项，当选取采用窗函数设计时，该选项可定义，它包含了各种窗函数。
4.2.2用FDA工具箱实现要求的滤波功能：
调用FDA工具箱程序为：
>>FDAtool
调用后，据前述FDA工具箱简介设置，设置完后的界面截图如下：
滤波器量化分析图
调用REMEZ函数进行运算的结果如图1和图2
图1Remez函数运算结果
图2hn计算值（传递函数中分子各项前系数）
由图1和图2可得：
M为FIR数字滤波器阶数，hn长度N=M+1
求得M=57，N=M+1=58
通带振荡波纹幅度ξ1=dat1=0.0575
阻带振荡波纹幅度ξ2=dat2=0.0354
误差加权函数W=[1,6.1705]
传递函数中分子各项前系数hn见附录
4．手工计算和利用REMEZ函数计算结果比较
通过比较手工计算与运用Matlab中REMEZ函数计算结果可以发现，由手工计算得出的滤波器阶数N、通带振荡波纹幅度ξ1、阻带振荡波纹幅度ξ2与由REMEZ函数计算得出的N、ξ1与ξ2相等，证明计算无误。
二滤波器的结构不同对性能指标的影响
FIR滤波器的基本结构
FIR滤波器的单位抽样响应为有限长度，一般采用非递归形式实现。
通常的FIR数字滤波器有横截性和级联型两种。
（a）FIR滤波器的横截型结构
表示系统输入输出关系的差分方程可写作：
（2-3）
直接由差分方程得出的实现结构如图1所示：
图1、横截型（直接型﹑卷积型）
若h（n）呈现对称特性，即此FIR滤波器具有线性相位，则可以简化加横截型结构，下面分情况讨论：
图2、N为奇数时线形相位FIR滤波器实现结构图3、N为偶数时线性相位FIR滤波器实现结构
（b）FIR滤波器的级联型结构
●将H（z）分解成实系数二阶因子的乘积形式：
（2-4）
这时FIR滤波器可用二阶节的级联结构来实现，每个二阶节用横截型结构实现。
如下图所示
在设计滤波器时，对于同一个传递函数对应着许多种等效结构，然而这些结构能达到的性能效果却有所不同。
在无限参数字长的情况下，所有能实现传递函数的结构之间，其表现完全相同。
然而，在实际中，由于参数字长有限的限制，各实现结构的表现并不相同。
在MATLAB中可以利用FDATool工具箱构建不同类型的数字滤波器。
为了使对比效果明显，将上述初步设计的等波纹数字FIR带通滤波器的设计参数的字长（即转移函数中分子各项前的系数）进行保留小数点后10位的缩减。
1.利用直接型结构构建数字滤波器
FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。
设单位脉冲响应h（n）长度为N，由之前算出的h（n）可得出（系数小数点后保留10位）系统函数为：
H（z）=
-n=0.012938435023626-0.114399055404857z-1
.0593********z-2+…-0.114399055404857z-52+0.012938435023626z-53
表示系统输入输出关系的差分方程可写作:
y（n）=
直接型的结构流图如图3所示：
y（n）
x（n）
z-1
z-1
……
……
z-1
0.012938435023626
0.0129384350236260.0129384350236260.0129384350236260.0129384350236260.012938435023626
.0415********
.0593********
-0.114399055404857
图3直接型网络构图
选择filterstructure选项框中的Direct-FormI选项，点击窗口下方的ImportFilter按钮，构建直接2型结构的等波纹数字FIR带通滤波器，结果如图4所示：
图4Direct-FormI型结构的滤波器幅频响应图
读图可以得滤波器技术指标（ωsl，ωpl，
ωpu，ωsu，单位为Hz；
单位为dB）如表1所示：
性能指标
初始设计指标
仿真后设计参数
△
ωsl
0.1221
0.2446289
0.1223289
ωpl
0.1321
0.2724609
0.1403609
9
10.37739
1.37739
1
0.52500
0.47500
表1Direct-FormI结构滤波器对性能指标的影响
可以得Direct-FormI结构的滤波器技术指标（ωsl，ωpl，
单位为
；
单位为dB）如表2所示：
性能指标
初始设计指标
Direct-FormI
△
ωsl
0.1221
0.12139
-0.00071
ωpl
0.1321
0.13623
0.00413
9
10.05623
1.05623
1
0.2418727
-0.75812
表2Direct-FormI结构滤波器对性能指标的影响
由图4和表1表2可以看出：
滤波器幅频曲线在通带和阻带内波动幅度不太均匀。
阻带最小衰减
比初始设计高1.05623dB，通带最大衰减
比初始设计低0.75812dB。
ωpl比初始设计高0.00413而ωsl却比初始设计值低0.00071
，截止频率坡度较初始设计更加平缓。
由于Direct-FormII和Direct-FormI均属于直接型结构滤波器，因此均具有直接型所共有的上述误差。
2．利用级联型结构构建数字滤波器
将H（z）进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。
+9.3764
将直接型结构系统函数转变为级联型结构的系统函数，运用Matlab中的tf2sos进行运算（程序及运算结果见附录），可得级联结构的系统函数为：
H（z）=0.0129（1-9.3748z-1+9.3764
）（1-0.9998z-1+0.1067z-2）
……（1-1.5953z-1+0.7779z-2）（1-1.7151z-1+0.7728z-2）
x（n）
β21
-9.3748
0.0129
0.1067
-0.9998
1
0.7728
-1.7151
1
9.3764
、、、、、、、、
……
y（n）
图5级联型网络构图
选择Edit下拉菜单中点击ConverttoSecond-orderSections选项，将构建好的Direct-FormI结构的等波纹数字FIR带通滤波器转换为级联滤波器，结果如图6所示:
图6级联型结构的滤波器幅频响应图
读图可以得级联型结构的滤波器技术指标（ωsl，ωpl，单位为
；
单位为dB）如表2所示：
性能指标
初始设计指标
级联型
△
ωsl
0.1221
0.2307129
0.1086129
ωpl
0.1321
0.2724609
0.1423609
9
10.06605
1.06605
1
0.4283456
-0.5716544
表2级联结构滤波器对性能指标的影响
由图6和表2中可以看出：
滤波器幅频曲线在通带和阻带内波动比直接型结构滤波器幅频曲线更均匀。
阻带最小衰减
比初始设计值低1.06605dB，通带最大衰减
比初始设计0.5716544dB。
ωsl、ωpl分别比初始设计低了0.1086129
、0.1423609
和，滤波器的截止频率坡度较初始设计更加平缓。
3、两种滤波器结构对性能指标影响的比较与总结
比较表1和表2发现：
在参数字长保留了小数点后10位的情况下，两种结构的滤波器较初始设计在性能指标方面均有误差。
由于直接型滤波器的系数不是直接决定单个零极点，不能很好的进行滤波器性能的控制，且直接型滤波器的极点对参数的变化过于敏感，从而使得系统的频率响应对参数的变化也特别敏感，容易出现不稳定或产生较大误差；而级联型滤波器每个二阶系数单独控制一对零、极点，有利于控制频率响应。
因此直接型误差比级联型更大，受有限参数字长影响更大，主要表现在直接型的ωsl、ωpl、
和
与设计要求的相应性能间的差的绝对值普遍大于级联型。
此外，级联型的的幅频响应曲线的通带的波动稳定性要稍好于直接型。
所以，参数字长有限的情况下，级联结构型滤波器对参数变化的反应要比直接结构型的更小，性能指标误差更小，滤波效果更好，更能符合设计指标的要求。
三参数字长对性能指标的影响
在实际的数字滤波器的设计中，由于计算机或DSP芯片等的字长和存储空间有限，所以也只能对设计参数取有限的字长进行设计。
然而，如果字长太短，则设计的滤波器误差就会太大，造成滤波效果不佳。
下面研究不同参数字长对性能指标的影响。
将计算获得的等波纹带通FIR数字滤波器的系数
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