学年七年级下学期期末考试数学考试题.docx
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学年七年级下学期期末考试数学考试题
2021-2022学年七年级下学期期末考试数学考试题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）
的立方根是（ ）
A．±2B．±4C．4D．2
解：
8，8的立方根是2，
故选：
D．
2．（3分）已知两个不等式的解集在数轴上如图所示，则由这两个不等式组成的不等式组的解集为（ ）
A．﹣2＜x＜2B．x＜2C．x≥﹣2D．x＞2
解：
根据数轴图示可知，这两个不等式组成的不等式组的解集为x＞2，
故选：
D．
3．（3分）如图，在阴影区域的点是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）
解：
由图可知，阴影区域在第二象限，
所以，各选项点的坐标中，在阴影区域的点是（﹣1，2）．
故选：
B．
4．（3分）下列实数中是无理数的是（ ）
A．
B．
C．3.1D．0
解：
A、
是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、
是无理数，故本选项符合题意；
C、3.1是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：
B．
5．（3分）如图，一个倾斜的天平两边分别放有小立方体和砝码，每个砝码的质量都是5克，每个小立方体的质量都是m克，则m的取值范围为（ ）
A．m＜15B．m＞15C．m
D．m
解：
由题意得：
2m＞3×5，
解得：
m
．
故选：
D．
6．（3分）下列四个图形中，BE不是△ABC的高线的图是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：
BE不是△ABC的高线的图是C，
故选：
C．
7．（3分）如图，下列条件：
①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
解：
①由∠1＝∠2，可得a∥b；
②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b；
③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；
④由∠2＝∠3，不能得到a∥b；
⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b；
⑥由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7﹣∠1＝∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b；
故选：
C．
8．（3分）下列语句是命题的是（ ）
A．你喜欢数学吗？
B．小明是男生
C．大庙香水梨D．出门戴口罩
解：
A、你喜欢数学吗？
是疑问句，没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意；
B、小明是男生是命题，符合题意；
C、大庙香水梨是陈述性的句子，没有做出判断，不是命题，不符合题意；
D、出门戴口罩是陈述性的句子，没有做出判断，不是命题，不符合题意；
故选：
B．
9．（3分）某公司的生产量在1～7月份的增长变化情况如图所示，从图上看，下列结论正确的是（ ）
A．2～6月生产量逐月减少
B．1月份生产量最大
C．这七个月中，每月的生产量不断增加
D．这七个月中，生产量有增加有减少
解：
观察折线图可知，这七个月中，每月的生产量不断增加，
故选：
C．
10．（3分）若关于x的不等式3x+1＜m的正整数解是1，2，3，则整数m的最大值是（ ）
A．10B．11C．12D．13
解：
解不等式3x+1＜m，得x
（m﹣1）．
∵关于x的不等式3x+1＜m的正整数解是1，2，3，
∴3
（m﹣1）≤4，
∴10＜m≤13，
∴整数m的最大值是13．
故选：
D．
二．填空题（共8小题，满分18分）
11．（2分）
1的相反数是 1
．
解：
1的相反数是1
，
故答案为：
1
．
12．（2分）为统计了解某市4万名学生平均每天读书的时间，有以下步骤：
①得出结论，提出建议；②分析数据；③从4万名学生中随机抽取400名学生，调查他们平均每天读书的时间；④利用统计图表将收集的数据整理和表示，请您对以上步骤进行合理排序 ③④②① ．（只填序号）
解：
调查的一般步骤：
先随机抽样，再收集整理数据，然后分析数据，最后得出结论．
故答案为：
③④②①．
13．（3分）欢欢观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：
如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是 23 °．
解：
如图，延长DC交AE于F，
∵AB∥CD，∠BAE＝92°，
∴∠CFE＝92°，
又∵∠DCE＝115°，
∴∠E＝∠DCE﹣∠CFE＝115°﹣92°＝23°．
故答案为：
23．
14．（2分）已知平面内有一点A的横坐标为﹣6，且到原点的距离等于10，则A点的坐标为 （﹣6，8）或（﹣6，﹣8） ．
解：
∵点A的横坐标为﹣6，到原点的距离是10，
∴点A到x轴的距离为
8，
∴点A的纵坐标为8或﹣8，
∴点A的坐标为（﹣6，8）或（﹣6，﹣8）．
故答案为：
（﹣6，8）或（﹣6，﹣8）．
15．（2分）若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°，则此多边形是 十 边形．
解：
∵多边形的一个内角与它相邻外角的和为180°，
∴1800°÷180°＝10．
故答案为：
十．
16．（2分）“如果
，那么a＜b．”是假命题，举一个反例，其中a＝ 1 ，b＝ ﹣2 ．
解：
当a＝1，b＝﹣2可说明“如果
，那么a＜b．”是假命题．
故答案为1，﹣2．
17．（2分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，已知点E，F分别是AD，CE边上的中点，且△BEF的面积为6，则△ABC的面积等于 24 ．
解：
∵由于E、F分别为AD、CE的中点，
∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等，
∴S△BEC＝2S△BEF＝12，
∴S△ABC＝2S△BEC＝24．
故答案为24．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（1，0），点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2019的坐标为 （0，4） ．
解：
如图，观察图形可知P6与P重合，6次一个循环，
2019÷6＝336余数为3，
∴P2019与P3重合，
∴P2019的坐标为（0，4）．
故答案为（0，4）．
三．解答题（共8小题，满分52分）
19．（6分）解一元一次不等式组：
．
解：
由①得：
x＜0，
由②得：
x
，
∴不等式组的解集为：
x＜0．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0．
（1）求证：
无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当m＝2时，求方程的根．
解：
（1）∵x2﹣mx﹣3＝0，
∵△＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣3）
＝m2+12＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）把m＝2代入方程得到x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1．
21．（6分）已知：
直线GH分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，并且EM∥FN．
（1）如图1，求证：
AB∥CD；
（2）如图2，∠AEF＝2∠CFN，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为135°．
（1）证明：
∵EM∥FN，
∴∠EFN＝∠FEM．
∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
∴∠CFE＝2∠EFN，∠BEF＝2∠FEM．
∴∠CFE＝∠BEF．
∴AB∥CD．
（2）∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵FN平分∠CFE，
∴∠CFE＝2∠CFN，
∵∠AEF＝2∠CFN，
∴∠AEF＝∠CFE＝90°，
∴∠CFN＝∠EFN＝45°，
∴∠DFN＝∠HFN＝180°﹣45°＝135°，
同理：
∠AEM＝∠GEM＝135°．
∴∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．
22．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5）、（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系；
（2）点D（m，n）是△ABC边BC上任意一点，三角形经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（m+6，n﹣2）．
①直接写出点B1的坐标 （4，﹣1） ；
②画出△ABC平移后的△A1B1C1．
（3）在y轴上是否存在点P，使△AOP的面积等于△ABC面积的
，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：
（1）如图，平面直角坐标系如图所示：
（2）①B1（4，﹣1）．
故答案为（4，﹣1）．
②如图，△A1B1C1即为所求．
（3）设P（0，m）．
由题意，
|m|×4
（3×4
2×4
2×3
1×2），
解得m＝±
，
∴P（0，
）或（0，
）．
23．（7分）期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩情况，决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析，已知九年级共有12个班，每班48名学生，请按要求回答下列问题：
【收集数据】
（1）若要从全年级学生中抽取一个48人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的有 ②③ ；（只要填写序号即可）
①随机抽取一个班级的48名学生；
②在全年级学生中随机抽取48名学生；
③在全年级12个班中分别各抽取4名学生；
④从全年级学生中随机抽取48名男生；
【整理数据】
（2）将抽取的48名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图（不完整）如下．请根据图表中数据填空：
①C类和D类部分的圆心角度数分别为 60° 、 30° ．
②估计全年级A、B类学生大约一共有 432 名；
成绩（单位：
分）
频数
频率
A类（80～100）
0.5
B类（60～79）
0.25
C类（40～59）
8
D类（0～39）
4
（3）学校为了解其他学校教学情况，将同层次的第一、第二两所中学的抽样数据进行对比，得下表：
学校
平均数（分）
极差（分）
方差
A、B类的频率和
第一中学
71
52
432
0.75
第二中学
71
80
497
0.82
你认为哪所学校的教学效果较好？
结合数据，请给出一个解释来支持你的观点．
解：
（1）若要从全年级学生中抽取一个48人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的有：
②在全年级学生中随机抽取48名学生；
③在全年级12个班中分别各抽取4名学生；
①④都比较片面，
故答案为：
②③；
（2）①C类和D类部分的圆心角度数分别为：
360°＝60°，
360°＝30°．
②估计全年级A、B类学生大约一共有：
12×48×（0.5+0.25）＝432（名）；
故答案为：
60°，30°，432；
（3）第一中学的教学效果较好，
因为第一中学的极差小，两极分化不严重，
方差小，学生总体成绩波动不大．
24．（7分）倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套280元，430元，且每种型号健身器材必须整套购买．若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过16000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？
解：
设购进x套A种型号健身器材，则购进（50﹣x）套B种型号健身器材，
依题意，得：
280x+430（50﹣x）≤16000，
解得：
x
．
又∵x为正整数，
∴x的最小值为37．
答：
A种型号健身器材至少要购买37套．
25．（7分）【基础模型】
已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB，过点C任作一条直线l（不与CA、CB重合），过点A作
AD⊥l于D，过点B作BE⊥l于E．
（1）如图②，当点A、B在直线l异侧时，求证：
△ACD≌△CBE
【模型应用】
在平面直角坐标性xOy中，已知直线l：
y＝kx﹣4k（k为常数，k≠0）与x轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B．以AB为边、B为直角顶点作等腰直角△ABC．
（2）若直线l经过点（2，﹣3），当点C在第三象限时，点C的坐标为 （﹣6，﹣2） ．
（3）若D是函数y＝x（x＜0）图象上的点，且BD∥x轴，当点C在第四象限时，连接CD交y轴于点E，则EB的长度为 2 ．
（4）设点C的坐标为（a，b），探索a，b之间满足的等量关系，直接写出结论．（不含字母k）
解：
【基础模型】：
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠ECB＝90°，
∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵CA＝CB，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠ECB＝90°，
∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵CA＝CB，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
【模型应用】：
（2）如图1，过点C作CE⊥y轴于E，
∵直线l：
y＝kx﹣4k经过点（2，﹣3），
∴2k﹣4k＝﹣3，
∴k
，
∴直线l的解析式为y
x﹣6，
令x＝0，则y＝﹣6，
∴B（0，﹣6），
∴OB＝6，
令y＝0，则0
x﹣6，
∴x＝4，
∴A（4，0），
∴OA＝4，
同
（1）的方法得，△OAB≌△EBC（AAS），
∴CE＝OB＝6，BE＝OA＝4，
∴OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2，
∵点C在第三象限，
∴C（﹣6，﹣2），
故答案为：
（﹣6，﹣2）；
（3）如图2，
针对于直线l：
y＝kx﹣4k，
令x＝0，则y＝﹣4k，
∴B（0，﹣4k），
∴OB＝4k，
令y＝0，则kx﹣4k＝0，
∴x＝4，
∴A（4，0），
∴OA＝4，
过点C作CF⊥y轴于F，
同【基础模型】的方法得，△OAB≌△FBC（AAS），
∴BF＝OA＝4，CF＝OB＝4k，
∴OF＝OB+BF＝4k+4，
∵点C在第四象限，
∴C（4k，﹣4k﹣4），
∵B（0，﹣4k），
∵BD∥x轴，且点D在直线y＝x上，
∴D（﹣4k，﹣4k），
∴BD＝4k＝CF，
∵CF⊥y轴于F，
∴∠CFE＝90°，
∵BD∥x轴，
∴∠DBE＝90°＝∠CFE，
∵∠BED＝∠FEC，
∴△BED≌△FEC（AAS），
∴BE＝EF
BF＝2，
故答案为：
2；
（4）当点C在第四象限时，由（3）知，C（4k，﹣4k﹣4），
∵C（a，b），
∴a＝4k，b＝﹣4k﹣4，
∴b＝﹣a﹣4，
当点C在第三象限时，由
（2）知，B（0，﹣4k），A（4，0），
∴OB＝4k，OA＝4，
如图1，由
（2）知，△OAB≌△FBC（AAS），
∴CE＝OB＝4k，BE＝OA＝4，
∴OE＝OB﹣BE＝4k﹣4，
∴C（﹣4k，4﹣4k），
∵C（a，b），
∴a＝﹣4k，b＝4﹣4k，
∴b＝a+4，
即：
b＝a+4或b＝﹣a﹣4．
26．（7分）已知AB∥CD，AM平分∠BAP，CM平分∠PCD．
（1）如图①，当点P、M在直线AC同侧，∠AMC＝60°时，求∠APC的度数；
（2）如图②，当点P、M在直线AC异侧时，直接写出∠APC与∠AMC的数量关系．
解：
（1）如图1，延长AP交CD于点Q，则可得到∠BAP＝∠AQC，
则∠APC＝∠BAP+∠DCP＝2（∠MAP+∠MCP），
连接MP并延长到点R，则可得∠APR＝∠MAP+∠AMP，∠CPR＝∠MCP+∠CMP，
所以∠APC＝∠AMC+∠MAP+∠MCP，
所以∠APC＝∠AMC
∠APC，
所以∠APC＝2∠AMC＝120°．
（2）如图2，过P作PQ∥AB于Q，MN∥AB于N，
则AB∥PQ∥MN∥CD，
∴∠APQ＝180°﹣∠BAP，∠CPQ＝180°﹣∠DCP，∠AMN＝∠BAM，∠CMN＝∠DCM，
∵AM平分∠BAP，CM平分∠PCD，
∴∠BAP＝2∠BAM，∠DCP＝2∠DCM，
∴∠APC＝∠APQ+∠CPQ＝180°﹣∠BAP+180°﹣∠DCP＝360°﹣2（∠BAM+∠DCM）＝360°﹣2（∠BAM+∠DCM）＝360°﹣2∠AMC，即∠APC＝360°﹣2∠AMC．
四．解答题（共2小题）
27．已知等腰三角形ABC．
（1）若其两边长分别为2和3，求△ABC的周长；
（2）若一腰上的中线将此三角形的周长分为9和18，求△ABC的周长．
解：
（1）当2为底时，三角形的三边为3，2，3，可以构成三角形，周长为：
3+2+3＝8；
当3为底时，三角形的三边为3，2，2，可以构成三角形，周长为：
3+2+2＝7．
△ABC的周长为8或7．
（2）设三角形的腰为x，如图：
△ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD是AC边上的中线，
则有AB+AD＝9或AB+AD＝18，分下面两种情况解．
a：
x
x＝9，
∴x＝6，
∵三角形的周长为9+18＝27cm，
∴三边长分别为6，6，15，
∵6+6＜15，不符合三角形的三边关系，
∴舍去；
b：
x
x＝18，
∴x＝12，
∵三角形的周长为27，
∴三边长分别为12，12，3．
综上可知：
这个等腰三角形的周长为27．
28．在小学四年级我们学过三角形的内角和等于180°；科学实验又证明，平面镜反射光线的规律是：
射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等（例如：
∠1＝∠4）．利用上述知识进行下面的探究活动：
（一）探究：
（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被平面镜b反射．若被平面镜b反射出的光线n平行于m，且1＝50°，则∠2＝ 100° ，∠3＝ 90° ；
（2）在
（1）中，若∠1＝40°，则∠3＝ 90° ，若∠1＝55°，则∠3＝ 90° ；
（二）猜想：
由
（1）
（2）请你猜想：
当∠3＝ 90° 时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行的．
（三）证明：
请证明你的上述猜想．
解：
（一）探究：
（1）如图，
∵射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，∠1＝50°，
∴∠4＝∠1＝50°，∠5＝∠7，
∴∠6＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵m∥n，
∴∠2+∠6＝180°，
∴∠2＝100°，
∴∠5＝∠7＝40°，
∴∠3＝180°﹣50°﹣40°＝90°，
故答案为：
100°，90°；
（2）∵∠1＝40°，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，
∴∠4＝∠1＝40°，∠5＝∠7，
∴∠6＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∵m∥n，
∴∠2+∠6＝180°，
∴∠2＝80°，
∴∠5＝∠7＝50°，
∴∠3＝180°﹣50°﹣40°＝90°；
∵∠1＝55°，
∴∠4＝∠1＝55°，
∴∠6＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
∵m∥n，
∴∠2+∠6＝180°，
∴∠2＝110°，
∵射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，
∴∠5＝∠7＝35°，
∴∠3＝180°﹣55°﹣35°＝90°；
故答案为：
90°，90°；
（二）猜想：
当∠3＝90°时，m∥n，
故答案为：
90°；
（三）证明：
∵∠3＝90°，
∴∠4+∠5＝180°﹣90°＝90°，
∵∠1＝∠4，∠7＝∠5，
∴∠1+∠4+∠5+∠7＝2×90°＝180°，
∴∠6+∠2＝180°﹣（∠1+∠4）+180°﹣（∠5+∠7）＝180°，
∴m∥n．
五．解答题（共1小题）
29．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作盒身15个或盒底42个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有144张白铁皮，用多少张制作盒身，多少张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒？
解：
设用x张制作盒身，（144﹣x）张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒．
根据题意，得
2×15x＝42（144﹣x）
解得x＝84，
∴144﹣x＝60（张）．
答：
用84张制作盒身，60张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒．
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