概率论课后习题答案第一章.docx

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概率论课后习题答案第一章

2008年4月第一章1.1解⑴记9件合格品分别为正1正2�6�7正9记不合格品为次则Ω正1正2正1正3正1正4�6�7正1正9正1次正2正3正2正4�6�7正2正9正2次正3正4�6�7正3正9正3次�6�7正8正9正8次正9次A正1次正2次正3次�6�7正9次⑵记2个白球分别为w1w23个黑球分别为b1b2b34个红球分别为r1r2r3r4。

则Ωw1w2b1b2b3r1r2r3r4ⅰAw1w2。

ⅱBr1r2r3r4。

1.2解⑴事件ABC表示该生是三年级男生但不是运动员。

⑵ABCC等价于CAB表示全系运动员都是三年级的男生。

⑶当全系运动员都是三年级学生时。

⑷当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。

1.3解⑴1niiA⑵22221222211nCDniCDiCDCDnCDACDCD⑶11nnijijjiAA⑷原事件即“至少有两个零件是合格品”可表为1nijijijAA。

1.4解1—4显然5和6的证法分别类似于课文第10—12页1.5式和1.6式的证法。

1.5解样本点总数为28A8×7。

所得分数为既约分数必须分子分母或为71113中的两个或246812中的一个和71113中的一个组合所以事件A“所得分数为既约分数”包含28A218A×15A3×22×3×52×3×6个样本点。

于是PA23698714。

1.6解样本点总数为5310。

所取三条线段能构成一个三角形这三条线段必须是3、5、7或5、7、9。

所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点于是PA310。

17解显然样本点总数为13事件A“恰好组成MATHEMATICIAN”包含3222个样本点。

所以3222481313PA18解任意固定红“车”的位置黑“车”可处在9×10-189个不同位置当它处于和红“车”同行或同列的9817个位置之一时正好互相“吃掉”。

故所求概率等于1789。

19解每个乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯现有7位乘客所以样本点总数为79。

事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”和相当于“从9层中任取7层各有一位乘客离开电梯”。

所以A包含79A个样本点于是7979APA110解用A表示“牌照号码中有数字8”显然44991000010PA所以491110PAPA。

111解1参看何声武《概率论习题解法探讨》例5。

答案为1/5。

2当该数的末位数是1379之一时其四次方的末位数为1所以答案为42105。

3一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字所以样本空间包含210个点。

用A表示事件“该数的立方的最后两位数字都是1”则该数的最后一位数字必须是1设最后第二位数字为a则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数要使3a的个位数是1必须a7因此A所包含的样本点只有71这一点于是1100PA。

112解16根草的情形。

取定一个头它可与其它的5个头之一相接最后将剩下的两个头相接故对头而言有5·3·1种接法同样对尾也有5·3·1种接法所以样本点总数为5·3·12。

用A表示“6根草连结成一个环”这种连接对头而言仍有5·3·1种连接法而对尾而言任取一尾它只能与和它的头未连接的另4根草的尾连接。

再取另一尾它又只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接最后再将其余的尾连接成环故尾的连接法为4·2。

所以A包含的样本点数为5·3·14·2于是253142815532PA22n根草的情形和1类似得2221nPAn113解先求样本点总数将N个盒子按一定顺序排列好再将n个球放入这些盒中用ix表示第i个盒中的秋熟。

样本点总数等于方程120Ninnxxxx的解的个数它等于21Nnxxx的展开式中nx的系数而21111NNNnnxxxxx1111NnnNnxNxxn所以nx的系数为1Nnn1指定的盒中有k个球在另外N1个盒中放nk个球由上述求样本点总数的结果知事件A“指定的盒中恰好有k个球”包含的样本点数等于11Nnknk于是21NnknkPANnn2先求当n≥N时事件A“没有空盒”的概率。

A包含的样本点数等于方程121Nixxxnxn的解的个数即等于2Nnxxx的展开式中nx的系数即11Nnxx中nNx的系数而11Nnxx1111111NNNnnnnxxxNxxN所以1111nNPANnN现求事件B“有m个空盒”的概率。

先固定m个空盒而将n个球放入N-m个盒中且无一盒为空m个空盒的选择有Nm种由上述结果得1111NnmNmPBNnN3用A“表示指定的m盒中正好有j个球”则另N-m个盒中有n-j个球。

由1知j个球放入m盒共有11mjm种放法另n-j个球放入N-m个盒中有11NmnjNm种放法所以1111mjNmnjmnjPANnn。

1.14解ACB025当乘客在CB之间到达时候车时间不超过3分钟所以所求概率等于CB的长度35。

1.15解截取CD’1nCD当且仅当点P落入CA’B’之内时ABP与ABC的面积之比大于1nn因此所求概率等于ABCABC的面积的面积222221CDCDnCDCD21n。

1.16解分别用x、y表示第一第二艘船到达泊位的时间。

两艘船到泊位时必须等待当且仅当0x-y20y-x1。

xy落入阴影区域。

因此所求概率等于A’BDD’AB’COEFCGHOBCD阴影区域的面积正方形的面积222211242322220.121241.17解1事件1A表示“1x位于2x和3x之间”事件2A表示“2x位于1x和3x之间”事件3A表示“3x位于1x和2x之间”由对称性知P1AP2AP3A.。

2设线段AB的长为1。

A1xA2xA3x能构成三角形当且仅当1x2x3x1x3x2x2x3x1x即点P落入六面体ODEBA之内故所求概率等于111313212ODEBAABCDEFOH六面体的体积正方体的体积OE24BFCGXYDHy-x1x-y2241.18解分别用1A2A3A表示三角形的一个顶点与平行线相合一条边与平行线相合两条边与平行线相交显然P1AP2A0。

所求概率等于P3A。

分别用aAbAcAabAacAbcA表示边abc二边abacbc与平行线相交则P3APabAacAbcA。

显然PaAPabAPacAPbAPabAPbcAPcAPacAPbcA。

所以P3A12PaAPbAPcA22dabcabcd这里用到课文p.23----24例1.12的结果124解事件A表示订甲报事件B表示订乙报事件C表示订丙报。

E2XBC3XDFOHA1X11_______14510833021037335105323PABCPAABACPAPABPACPABCPABCPABABCPABPABCPBACPBPABPBCPABCPCABPCPACPBCPAB先求3085320CBCBC_____________________所以PABCACABPABCPACPAB734PABCACBBCAPABCPACBPBCAPAB-PABCPAC-PABCPBC-PABC1085-33145PABC1-PABC1-9010125解______111111111111.2111111111112nnnnnniiijiiinijniiinnnnniijiinijninpAPApApAApApApAApAnn用数学归纳法略由得1111111111nnnniijiiijninnnniijiinijnipApAApApApAApA126解用Ai表示“第i张签没有被抽到”i12...N。

要求P1niiA。

由上题1的结果先求11112111112201111122122ninijnNnnniinnnijiniiNPAiNNNPAANNNPAANNNNNPANNNNNNPAANNpA所以111nniiNiN127解n阶行列式的展开式中任一项略去符号不计都可表示为a1ia2i…ani当且仅当12…n的排列i1i2…in中存在k使ikk时这一项包含主对角元素。

用Ak表示事件“排列中ikk”即第k个主对角元素出现于展开式的某项中。

则11111112111.25111iijnnniiiiiinpAinnnpAAijnnnniPAini由题的得128解用Ai表示”第i袋的登记表及照片都装对”则110...nPnPAA11111110011...1111111niiniijiijnnniinkknkknkkPAPAPAAPAnnnknkkknnnkknnknk2指定的r袋中登记表和照片装对而其他的n-r袋中未装对的概率等于011nrkknrnrnrknnnrk其中第一个因子表示指定的r袋中登记表装对的概率第二个因子表示指定的r袋中照片装对的概率第三个因子表示其它n-r袋中没有一袋登记表和照片都装对的概率用1.因此rnnrnrPnrnn001111nrkknrkknrknrknrknrk因为0231123nkknknnnnk1nn所以0011111nkknknnPnnknn又因0001111nnkkkknknkPnnknk这是因为当k增加时nknk是减少的。

所以0111Pnn因此0lim1nPn。

显然0101nrkrknrknrPnnrkn因lim0nnrn所以lim0rnPn。

1.29解用bg分别表示男孩和女孩。

则样本空间是bbbbbgbgbgbbbgggbgggbggg其中样本点依年龄大小的性别排列。

A表示“有女孩”B表示“有男孩”则AbbgbgbgbbbgggbgggbgggABbbgbgbgbbbgggbgggb。

所以6/867/87PABPBAPA1.30解1设A表示“所取产品中至少有一件是不合格品”B表示“所取产品都是不合格品”则221212112mMPABPBmPBAPAPAMmmmMmM。

2设C表示“所取产品中至少有一件合格品”D表示“所取产品中有一件合格品一件不合格品”。

则112211122mMmMPCDPDmPDCPCPCMmmMmMmM。

1.31解设iA表示“第i个人摸到”12…n。

1P11kkAAA1111knkn2PkAPkkAAAA121P1AP12AA…P11kkAAA12111nnnnnk1n1.32解用Ak表示“母鸡生k个蛋”B表示“母鸡恰好有r个下一代”则PBkkkrPAPBA1111krkrkrkrkrkrrkrkrrprpkepprkekppkrkrpperkrpeerper1.33解用Ak表示“任选一名射手为k级”k1234表示“任选一名射手能进入决赛”则41kkkPBPAPBA48710.90.70.50.2202020200.645134解用A1表示“任取一只产品系甲台机器生产”A2表示“任取一只产品系乙台机器生产”A3表示“任取一只产品系丙台机器生产”B表示“任取一只产品恰是不合格品”。

则PA125PA235PA34015PBA24PBA32PBA。

由Bayes公式得11131kkkPAPBAPABPAPBA2552525535440269222312869kkkPAPBAPABPAPBA333311669kkkPAPBAPABPAPBA1.35解用A1表示“任取一只机床是车床”A2表示“任取一只机床是钻床”A3表示“任取一只机床是磨床”A4表示“任取一只机床是刨床”B表示“任取一台机床它需要修理”。

则1915PA因9311152315PA3215PA4115PA117PBAk因12317227PBAk337PBAk417PBAk其中k是比例常数。

由Bayes公式得11141iiiPAPBAPABPAPBA9115791322311157157157157922kkkkk1.36解用A1表示“朋友乘火车来”A2表示“朋友乘轮船来”A3表示“朋友乘汽车来”A4表示“朋友乘飞机来”B表示“朋友迟到了”。

则1PA0.3PA20.2PA30.1PA40.4114PBA213PBA3112PBA40PBA。

由Bayes公式得1114112kkkPAPBAPABPAPBA1.37解:

1PA∪BCPAC∪BCPACPBC-PABCPAPCPBPC-PAPBPCPAPB-PAPBPCPA∪BPC2PABCPAPBPCPABPC3PA-BCPA-ABCPAC-ABCPAC-PABCPAPC-PAPBPCPA-PAPBPCPA-PABPCPA-BPC1.38解:

设64186415154321pp4131214326415CBAppp则4164156411PABCPCPBPAP414141641CPBPAP但是.41416411BPAPPABP1.39解:

1PnkKA1nkknkkpAP1112PnkknkknkkpApA1111113PnknkjjjknknkjjjknknkjjjkppAApAA11111111.40解:

一方面PAPB≥0另一方面PAPBPAB0即PAPB中至少有一个等于0所以minPAPB0.1.41解1从5个人任选2人为O型共有52种可能在其余3人中任选一人为A型共有3种可能在余下的2人中任选一人为B型共有2种可能另一人为AB型因此所需求的概率等于52168.013.011.040.046.02322与1类似所需求的概率等于1557.040.046.023533所求概率等于8587.003.0151.42解用kA表示“第k门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”k12...。

B表示“击中飞机”。

则PkA0.6k12...。

1P1AU2A1P21AA1-P1AP2A1-0.240.842P1AU…UnA1PnkKA11-nkkAP110.240.990.24026.54.0lg01.0lg取n6。

至少需要6门高射炮同时发射一发炮弹可保证99的概率击中飞机。

1.43解:

1可靠性RPABCPAPBPCCBAppp2RPAUBUC1-PCBA1-PCPBPA1-1-11CBAppp3111332211332211332211BAPBAPBAPBABABAPBABABAPR333221111111BAppBAPBAPBAP4111122121CBADppppDPCBAPDPDCBADPR由11.44解用A表示“在成功n次之前失败了m次”B表示“在前nm-1次试验中失败了m次”C表示“第nm次试验成功”则PAPBCPBPCpppmnmnm111mnmnmpp111.45解用iA表示“甲盒中尚余i根火柴”jB表示“乙盒中尚余j根火柴”CD分别表示“第2n-r次在甲盒中取”“第2n-r次在乙盒中取”0ACBr表示取了2n-r次火柴且在第2n-r次是从甲盒中取的即在前2n-r-1次在甲盒中取了n-1根其余在乙盒中取。

所以P0ACBr112nrn2121211rnn注应用上题结果可直接得出答案。

由对称性知PrACB0P0ACBr所要求的概率等于12000211122rnrrrnrnCBAPDBACBAP1.46解向任意方向移动一步的概率等于41。

用kA表示“在2n次游动中向上游了k次”k≤njB表示“在2n次游动中向左游了j次”j≤nC表示“游动2n次回到出发点”。

则kACBkn表示“在2n次游动中向上下各游动k次向左右各游动n-k次”PCnkknkCBAP0knknkknkknknkkkn41412241412220knknkkknnkn222224102由于knknkkknnk22222022222220knknknkkkknknnknkknknnnn022nkknnn02222nn所以22241nnCPn