八年级数学上期末复习教案.docx
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八年级数学上期末复习教案
八年级上期末复习
第一章三角形的初步知识
1、三角形的定义：
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
2、三角形的分类:
（1）按角分类：
直角三象形
（2）按边分类：
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
■
一他国等腰三角形
二角形锐角三角形，
三角形
、钝角三角形
不等边三角形
3、三角形的主要线段的定义：
（1）三角形的中线：
三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段.
表示法：
①AD是△ABC的BC上的中线.
2BD=DC'BC.③BC=2BD=2DC2
注意:
①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形的内部：
③三角形三条中线交于三角形内部一点；
④中线把三角形分成两个面积相等的三角形.
A
（2）三角形的角平分线：
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的
线段\
表示法:
①AD是△ABC的NBAC的平分线.Z_L_\
IBDC
3Z1=Z2=-ZBAC.③ZBAC=2Z1=2Z2
2
注意:
①三角形的角平分线是线段；
②三角形三条角平分线全在三角形的内部；
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点：
（3）三角形的高:
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段.
表示法:
①AD是AABC的BC上的高线.
4ADLBC于D.③NADB=NADC=90°.
注意：
①三角形的高是线段；
②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边,钝角三角形有两条高在形外;
③三角形三条高所在直线交于一点.
4、三角形的三边关系：
三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
注意：
（1）三边关系的依据是:
两点之间线段是短：
（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边.
5、三角形的角与角之间的关系：
（1）三角形三个内角的和等于180°;
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
（4）直角三角形的两个锐角互余.
6、三角形的稳定性：
三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性.
注意：
（1）三角形具有稳定性；
（2）四边形没有稳定性.
7、全等三角形
（1）全等三角形的概念：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（2）三角形全等的判定
三角形全等的判定定理：
①边角边定理：
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
②角边角定理：
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成''角边角”或“ASA”）
③角角边定理:
有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）
④边边边定理：
有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
⑤直角三角形全等的判定：
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）8、全等变换：
只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
B全等变换包括一下三种：
（1）平移变换:
把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：
将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。
向।
（3）旋转变换:
将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
9、线段的垂直平分线性质:
线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
10、角的平分线的性质:
线上的点到角的两边的距离相等。
典例分析
例1如图，已知N1=N2,则不一定能使AABD名4ACD的条件是（）
A、AB=AGB、BD=CDC、ZB=ZCD、ZBDA=ZCDA
例2
（1）在△ABC中，已知NB=40°,/C=80'，则NA=
（2）在AABC中，ZA=60°,ZC=50°,则NB的外角=
（3）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）
A.3cm.4cm.8cn】B.5cm,6cm,11cmC.5cm,6cm,10cmD.3cm,8cm,12cm
（4）小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_...
例3如图,AD是AABC的角平分线,DFJ_AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和AAED的而积分别为50和39,则4EDF的面积为（）
1例4
例7如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，下列结论:
①AE=CD：
②BF=BG：
③BH平分NAHD;④NAHC=60°：
⑤aBFC是等边三角形：
⑥FG〃AD,其中正确的有（）
A.3个B.4个C.5个D.6个
例8如图:
在中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG二AB,连结AD、AG
求证:
（1）AD=AG
（2）AD与AG的位置关系如何
例9如图，在RtZkABC中，ZACB=45°,NBAC=90°,AB=AC,点D是AB的中点,AF1CD于H,交BC于F,BE#AC交AF的延长线于E,求证：
BC垂直且平分DE.
例10在AABC中，NACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD_LMN于D,BE，MN于E
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证:
DE=AD-BE
（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：
DE=AD-BE
（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？
请直接写出这个等量关系。
例11如图
（1）所示,OP是NMON的平分线，•请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.
请你参考这个作全等三角形方法，解答下列问题：
（1）如图
（2）,在4ABC中，ZACB=90°,ZB=60°,AC.CE分别是NBAC,ZBCA的平分
线交于F,试判断FE与FD之间的数量关系.
（2）如图（3），在AABC中，若NACBH900,而
（1）中其他条件不变，请问
（1）中所得的结论是否仍然成立?
若成立,请证明；若不成立,说明理由.
第二章特殊三角形
知识点概要
1、图形的轴对称性质:
对称轴垂直平分连接两个对称点的线段：
成轴对称的两个图形是全等图形2、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等（简称：
等边对等角）
（2）等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边（三线合一）。
3、等边三角形的性质:
等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
4、直角三角形的性质
（1）直角三角形的两个锐角互余
（2）在直角三角形中，30。
角所对的直角边等于斜边的一半。
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（4）勾股定理:
直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即
（5）常用关系式:
由三角形面积公式可得:
AB・CD=AC・BC
（6）如图,CD是RtZkABC斜边上的高，则NACD=NB,NDCB二NA
5、等腰三角形的判定:
等角对等边.
6、等边三角形的判定：
（1）三个角都相等（都是60°）,
（2）有一个角等于60。
的等腰三角形.
7、直角三角形的判定
（1）两锐角互余的三角形.
（2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半.
（3）两条边的平方和等于第三边的平方.
（4）如图，AD是△ABC的高，且NDAC二NB.
（5）证明一个三角形与另一个直角三角形全等.
典例分析
例1在AABC中,AB=AC,Z1=0.5ZABC,Z2=0.5ZACB,BD与CE
相交于点O,如图，NBOC的大小与NA的大小有什么关系？
若Nl=NABC/3,N2=NACB/3,则NBOC与NA大小关系如何？
若N1=ZABC/n,Z2=ZACB/n,则NBOC与NA大小关系如何？
例2.如图，在AABC中,
（1）PB,PC平分NABC和NACB,交于点P（图1）,则NBPC与NA的关系式为.
（2）PB,PC平分NEBC和NBCF,交于点P（图2）,则NBPC与NA的关系式
为
⑶PB,PC平分NABC和NACE,交于点P（图3）,则NBPC与NA的关系式为
例3.如图，BE、CD交于A点，NC与NE的平分线交于F.若ZF=40°,ZB=50°,则ND=.
例4如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC,•以BP为边作NPBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.
（2）若PA：
PB:
PC=3：
4：
5,连结PQ,试判断的形状，并说明理由.
例5己知：
在AABC中，AB=AC,BD=BC.AD=DE=BE,求NA的度数.
例6如图，己知:
在AABC中，AB=AC.BE=CD,NB=7O°,BD=CF,求：
NEDF的度数.
例7在AABC中,AD是NBAC的平分线,E、F分别为AB、AC上的点，且NEDF+NEAF=180口，求证：
DE二DF.
例8如图，在△ABC中，ZACB=90°,CD是AB边上的高,ZA=30°.求证：
AB=4BD.
例9已知，如图,AF平分NBAC,BCLAF,垂足为点E.点D与点A关于点E对称.PB分别与线段CF,AF相交于点P,M.
（1）求证：
AB=CD;
（2）若NBAC=2NMPC,请你判断NF与NMCD的数量关系,并说明理由.
例10如图，点。
是正aABC内一点，ZAOB=110°,ZBOC=a.
以0C为一条作正△（）€口,连结AD.
（1）当＜】=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究。
为多少度时，AAOD是等腰三角形？
例9如图，AC_LBC,AD1BD,AD=BC.CE±ABtDF±AB,垂足分别是E,F,那么,CERF吗？
例10如图，已知等腰RtAABC中，ZACB=90。
，点D为等腰RtZXABC内一点，NCAD=NCBD=15°,E为AD
延长线上的一点，且CE=CA.
⑴求证:
DE平分NBDC;
⑵连接BE,设DC=a,求BE的长.
例11已知在aABC中，NA=90°，物AC,D为BC的中点.
（1）如图，E、F分别是AB,AC上的动点，且BE=AF,
求证:
ZkDEF为等腰直角三角形：
（2）在
（1）的条件下,四边形AEDF的面积是否变化，
证明你的结论；
（3）若E、F分别为AB,CA延长线上的点，仍有BE=AF,
其他条件不变，那么4DEF是否仍为等腰直角三角形？
证明你的结论.
第三章一元一次不等式
知识点概要
一、不等式的概念
1、不等式：
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集:
对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解°
3、对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，称这个不等式解集。
4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5、用数轴表示不等式的方法
二、不等式基本性质
1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
4、说明:
①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0,那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数,那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0,否则不等式不成立：
三、一元一次不等式
1、一元一次不等式的概念:
一般地,不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母
（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1
四、一元一次不等式组
1、一元一次不等式组的概念：
几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
4、当任何数x都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
5、一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
6、不等式与不等式组
不等式:
①用符号〉尸，（号连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除
以同一个负数，不等号方向相反，
7、不等式的解集：
①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式
典型分析
1
4+2元〉及十3
（1）
7+2汇23汇+6.….…
（2）并在数轴表示解集.
4工一1>5x-3（3）
（
3x-2>4x-5
2n-1<]的正整数解。
例3解不等式-3W3xT<5c（两种解法）
例4有一个两位数，它十位上的数比个位上的数小2,如果这个两位数大于20并且小于40,求这个两位数。
y+9<5y+1
例5
（1）不等式组（'的解集是心>2,则小的取值范围是（）,
x>m+1
（A）mA2,（B）m22（C）〃WL（D）
（2）攵满足时，方程组（'-'中的cl,y>l?
x-y=4
（3）若小〃为有理数，则关于*的不等式（一〃72—1以>〃的解集为.
.
（4）己知关于x,y的方程组F'+2）'=P+L的解满足x>y.p的取值范围4x+3y=p-l
为.
-2x-3>-1
（5）不等式组,的解集在数轴上可表示为（）
f+2W4
AB
例6适当选择a的取值范围，使1.7（1）*只有一个整数解；
（2）x一个整数解也没有.
1Q—kk（x—5）
例7当2/一3）V时，求关于工的不等式――->x—k的解集.
34
x+3x+2
例8已知a=-——-,b=:
，且a>2>b,那么求x的取值范围.
23
3x—4>a
例9已知a是自然数，关于x的不等式组《一’的解集是。
2,求”的值.
x-2>0♦
例10关于X的不等式组‘"一"之°'的整数解共有5个，求〃的取值范围..3-2%>-1
例11某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元,•售价14.5万元.每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变.•现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元不高于200万元.
（1）该公司有哪几种进货方案？
（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润?
最大利润是多少？
（3）利用
（2）中所求得的最大利润再次进货，•请直接写出获得最大利润的进货方案.
例12某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元,•售价14.5万元.每件乙种商品进价8万元,售价10万元，且它们的进价和售价始终不变.•现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元不高于200万元.
（1）该公司有哪几种进货方案？
（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润?
最大利润是多少？
（3）利用
（2）中所求得的最大利润再次进货，♦请直接写出获得最大利润的进货方案.
例13甲、乙两家绿色养护公司各自推出了校园养护服务的收费方案。
甲公司方案:
每月养护费用P（元）与绿化面积x（平方米）是
一次函数关系，如图6所示。
乙公司方案：
绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用
5500元;绿化而积超过1000平方米时，每月在收取5500元
的基础上，超过部分每平方米收取4元。
（1）求如图6所示的），与x的函数解析式；
（2）如果学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：
选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少。
第四章图形与坐标
复习总目
1、掌握平面直角坐标系的建立和坐标点的描述
2、根据需要建立适当的直角坐标系，并在直角坐标系中画出图形
3、掌握坐标平面内的图形的轴对称和平移的变换
知识点概要
1、平面上物体的位置可以用有序实数对来确定。
2、在平面内确定物体的位置一般需要几个数据?
有哪些方法?
（1）用有序数对来确定；
（2）用方向和距离（方位）来确定；
3、在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，就构成了平面直角坐标系。
简称直角坐标系，坐标系所
在的平面就叫做坐标平面
4、掌握各象限上及x轴，y轴上点的坐标的特点：
第一象限（+,+）；第二象限（一,十）；第三象限（一，-）；第四象限（+,一）
5、x轴上的点纵坐标为0,表示为（x,0）；丫轴上的点横坐标为0,表示为（0,y）
6、
（1）关于x轴对称的两点：
横坐标相同，纵坐标互为相反数。
（2）关于y轴对称的两点：
纵坐标相同，横坐标互为相反数,
（3）关于原点对称的两点：
横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数。
7、平移
点a（Xi,yD向右、左平移h个单位，则得到的新坐标a'（Xi±h.yi）
点b（x2,y2）向上、下平移g个单位，则得到的新坐标a'（x?
y2±g）
图2
典型分析
例1：
如图1,在平面直角坐标系中，点E的坐标是（）
A.（1,2）B.（2,1）C.（-1,2）D.（1,-2）
例2:
如图2,闱棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋，为记录棋谱方便，横线用数字表示,纵线用英文字母表示，这样，黑棋①的位置可记为（C,4）,白棋②的位置可记为（E,3），则黑棋⑨的位置应记为.
例3:
如图3,在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图案中左右眼睛的坐标分别是（一4,2）、（-2,2）,右图中左眼的坐标是（3,4）,则右图案中右眼的坐标是.
例4:
已知AABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果AABC，与
△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A，的坐标为（）.
A.（-4,2）B.（—4,一2）C.（4,-2）D.（4,2）
例5：
如图,8X8方格纸上的两条对称轴EF、MN相交于中心点O.
对△/8C分别作下列变换：
①先以点A为中心顺时针方向旋转90°,再向右平移4格、向上平移4格;②先以点。
为中心作中心对称图形,再以点A的对应点为中心逆时针
方向旋转90°;
③先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移4格,再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°.
其中，能将aABC变换成的是（）
③C.③D.QXD③
例6:
如图6,在10x1O正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位.
将△ABC向下平移4个单位，得到△△‘B'C',再把△△‘BfC'绕
点C'顺时针旋转90°,得到△A"B"C〃,请你画出AA'B'C'
和△A"B"C〃（不要求写画法）.
例7观察图形由
（1）一⑵一（3）一（4）的变化过程，写出每一步图形是如何变化的，图形中各顶点的坐标是如何变化的.
例8如图，在平面直角坐标系中,长方形OABC的顶点A,C的坐标分别为（10,0）,（0.4）,D为OA的中点，P为BC边上一点.若aPOD为等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标.
第五章一次函数
复习总目标
1、能用待定系数法求一次函数的解析式
2、会根据一次函数的图象解相应的问题并会取得函数解析式的基本方法和步骤
3、掌握一次函数的性质
知识点概要
1、一次函数:
形如y=kx+b（kWO,k.b为常数）的函数。
注意：
（l）kWO,否则自变量x的最高次项的系数不为1；
（2）当b=0时，y=kx,y叫x的正比例函数。
2、图象:
一次函数的图象是一条直线，
（1）两个常有的特殊点:
与y轴交于（0，b）轴交于（-b/k,0）
（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：
y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。
3、性质:
（1）图象的位置：
（2）增减性
k>0时,y随x增大而增大
k<0吐y随x增大而减小
4.求一次函数解析式的方法
求函数解析式的方法主要有三种
（1）由己知函数推导或推证
（2）由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式,此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不数关系。
（3）用待定系数法求函数解析式。
“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：
①利用一次函数的定义:
构造方程组。
②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点：
直线y=kx+b平行于丫=1<*,即由k来定方向。
③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。
④利用题目已知条件直接构造方程o
典型分析
例1：
已知y=yiy2»其中y1=k/x（kK0的常数），y?
与x?
成正比例，求证y与x也成正比例。
例2：
已知一次函数y尸（n—2）x+/—n—3的图象与y轴交点的纵坐标为-1,判断力=（3一6M"?
是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。
例3:
直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3（x-6）相交，交点在y轴上，求此直线解析式,
例4：
直线与x轴交于点A（-40）,与y轴交于点B,若点B到x釉的距离为2,求直线的解析式。
例5：
已知一次函数的图象，交x轴于A（60）,交正比例函数的图象于点B,且点B在第三象限，它的横坐标为-2,AAOB的面积为6平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。
三角形的初步：
AZ1+Z2=9O°.
例6解:
（1）证明:
••ADJ.BCJNBDA=ZADC=9O0,
在RtABDF^Rt△ADC中，ARtABDFRtAADC（H.L）.AZ2=ZC.
VZ1+Z2=9O°,所以N1+NC=9O0.•••N1+NC+NBEC=180°,/.ZBEC=90°.
例7解：
VAABC与4BDE为等边三角形,，AB=BCBD=BE,NA
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